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IPJ

DIE MECHANIK

DES

HIMMELS.

VORLESUNGEN

VON

CARL LUDWIG CHARLIER,

O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT LUND.

ZWEITER BAND. 4^

MIT ZAHLEEICHEN FIGUEEN.

LEIPZIG

VERLAG VON VEIT & COMP.

1907

251

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig.

Sclilusswort.

Den zweiten Band meiner Vorlesungen über die Mechanik des Himmels habe ich mit einem Abschnitt über Mechanische Quadratur eingeleitet. Da das Problem der drei Körper in complicirteren Fällen nicht analytisch integrirt werden kann, hat man, besonders in der letzten Zeit, sich der mechanischen Quadratur bedient, um derartige Fälle zu behandeln, und es erschien deswegen angemessen, die betreffenden Methoden auseinanderzusetzen. Ich habe an einem ausführlichen Beispiel gezeigt, wie man bei der canonischen Form der Bewegungsgleichungen zweckmässig die Rechnungen anordnen soll. Durch die Untersuchungen von Jacobi und Malmsten, die ich hier auseinandergesetzt habe, ist der Werth des Eestgliedes in der EüLEß'schen Reihe gut bekannt. Ich mache darauf aufmerk- sam, dass es nicht unmöglich erscheint, diese Restuntersuchungen zu erweitern, so dass man im Stande sein wird, die zu befürchten- den Fehler in einer mechanischen Integration direct zu beurtheilen, was von grosser Bedeutung für den numerischen Rechner sein würde.

Bei der Besprechung der periodischen Lösungen halte ich mich ziemlich ausführlich bei solchen in der Nähe der Librationscentra auf. Spätere Entdeckungen haben die practische Wichtigkeit dieser Lösungen dargethan. Die grundlegende Arbeit Hill's über peri- odische Lösungen in der Nähe der Massen gebe ich vollständig wieder. Dann folgt die Methode Poincar^'s zur Aufsuchung peri- odischer Bahnen und ihre Anwendung auf Lösungen der verschie- denen Gattungen. In Bezug auf die periodischen Lösungen der dritten Gattung zeige ich, wie solche Lösungen mit endlichen Werthen der Bahnexcentricitäten gefunden werden können. Da- gegen habe ich nachträglich gefunden, dass meine Behauptung, dass die von Poincar£ gefundenen kreisförmigen Lösungen dieser

Schlusswort.

Gattung niclit stattfinden würden, nicht stichhaltig ist. Die Ele- mente r und F' sind zur Aufsuchung solcher Lösungen nicht ge- eignet, wie aus § 8 hervorgeht.

Im zehnten Ahschnitt behandle ich die Frage von der Con- vergeriz der Beihen in der Mechanik des Himmels. Betreffend das Problem der zwei Körper liegt meines Wissens hier zum ersten Male eine vollständige Behandlung hierher gehörender Convergenz- fragen vor. Die betreffenden Vorlesungen wurden im Frühjahr 1903 gehalten und lagen im September desselben Jahres gedruckt vor, obgleich die Veröffentlichung erst später geschehen konnte. Im März 1904 hat Levi-Civita der Accademia dei Lincei eine Ab- handlung eingereicht, worin er die Lage der singulären Punkte der KEPLER'schen Gleichung bestimmt und zu ähnlichen Eesultaten wie den meinigen kommt. Eine Lücke ist in den Untersuchungen der Paragraphen 1 und 2 insofern vorhanden, als in Bezug auf die hyperbolische Bewegung die Entwickelungen nach Potenzen der Excentricität nicht untersucht worden sind. Diese Lücke ist später von Block ausgefüllt worden (Meddelanden pän Lunds Obser- vatorium No. 23).

In Bezug auf das Problem der drei Körper untersuche ich die Entwickelung nach Potenzen der störenden Massen und die Reihen in der Störungstheorie. Das wichtige Theorem von Beuns und die inter- essanten Untersuchungen Gyldän's über die Wahrscheinlichkeit der Divergenz sind hier von grundlegender Bedeutung. Der Abschnitt endet mit dem Nachweis, dass man bei den practischeu Anwendungen der Störungstheorie zwar Reihen erhält, die eine gewisse Zeit conver- giren, dass aber bei dem jetzigen Standpunkt der Theorie mit der Zeit wachsende Differenzen zwischen Theorie und Beobachtung auf- treten können, ohne dass es möglich ist zu entscheiden, ob diese Differenzen von der Einwirkung fremder Körper herrühren oder auf die Unvollkommenheit der Theorie zurückzuführen sind.

Giebt es eine für practische Zwecke anwendbare Form der Integrale des Problems der drei Körper, welche für alle Zeiten gültig ist? Die Frage muss vorläufig offen bleiben. Das wichtigste Streben des theoretischen Astronomen ist augenblicklich, eine solche Form aufzusuchen. Ich verma^f nicht zu sasen, ob man dem Ziele nahe

Schlusswort.

ist oder nicht. Es ist indessen sehr schwierig, eine Übersicht von Untersuchungen zu geben, welche bis jetzt zu keinem Abschluss gekommen sind.

Im § 1 des elften Abschnittes leite ich das wichtige Trans- formationstheorem von Jacobi ab. Im Anschluss hierzu zeige ich, wie man das Theorem in zwei verschiedenen Eichtungen erweitern kann, deren ich mich bediene, um bei der Behandlung des Problems der di-ei Körper vom Zwei -Centren -Problem auszugehen. Dieser Weg scheint viel versprechend, und ich habe in den Vorlesungen einige Schritte zur weiteren Verfolgung des Problems gethan, ohne indessen bis jetzt zu einem Abschluss gekommen zu sein.

In § 2 gebe ich eine vollständige Behandlung von mechanischen Problemen mit einem Preiheitsgrad, die in § 4 auf das DELAUNAYsche Problem ihre Anwendung findet.

Mit Hilfe dieser Untersuchungen über das ÜELAUNAY'sche Problem werden in § 5 und § 6 die Commeusurabilitäten niedrigen und höheren Grades untersucht. Die Discontinuitäten, welche bei den Commeusurabilitäten höheren Grades auftreten, bilden die grösste Schwierigkeit bei der Aufsuchung einer allgemein gültigen Form für die Integrale des Problems der drei Körper.

Die drei letzten Paragraphen sind der trigonometrischen Form dieser Integrale gewidmet. Die von Tisseeai^d versuchte Methode, mit Hilfe der DELAUNAY'schen Transformationen zu dieser Form zu gelangen, wird erörtert. Sie scheitert au den Commeusurabili- täten höheren Grades, die übrigens in der einen oder der anderen Form auch alle anderen bis jetzt aufgestellten Methoden, zu dieser Form zu gelangen, illusorisch machen. Im § 8 wird gezeigt, dass man in Bezug auf das asteroidische Drei-Körper-Problem zu practisch anwendbaren trigonometrischen Reihen gelangen kann, die für die kleinen Planeten mit ihren raschen Perihel- und Knoten-Bewegungen den störungstheoretischen Reihen mit Eutwickelungen nach Potenzen der Zeit vorzuziehen sind.

Im neunten Paragraphen wird die Methode von Bohlin, zu einer trigonometrischen Form der Integrale zu gelangen, auseinander- gesetzt. Sie besitzt die Eigenthümlichkeit, die kleinen Divisoren gänzlich zu vermeiden. Diese treten indessen anderswo in ver-

Schlusswort.

kleideter Form auf und üben immer noch ihren nachtheilgen Ein- fluss auf die Convergenz aus.

Es war meine Absicht, an diesen Untersuchungen die mit den Stabilitätsfragen in Zusammenhang stehenden Probleme zu erörtern. Es handelt sich dabei theils um die Stabilität der verschiedenen particularen Lösungen zum Problem der drei Körper, theils um die Frage von der Stabilität im Planetensystem. Diese kann so formulirt werden: sind die Abstände der Planeten von der Sonne für alle Zeiten zwischen endlichen von Null verschiedenen Grenzen eingeschlossen? Verschiedene Betrachtungen, die zum Theil in den hier vorliegen- den Vorlesungen zu finden sind, haben mich im Laufe der Zeit zur Ueberzeugung geführt, dass diese Frage verneinend beantwortet werden muss. Ich halte es indessen noch verfrüht, die Gründe dieser Ueberzeugung auseinanderzusetzen, und habe daher die Be- handlung der Stabilitätsfragen hier nicht mit aufgenommen.

Indem ich diesen Band abschliesse, erlaube ich mir den Herren, die mir in der einen oder der anderen Weise bei der Fertigstellung desselben behilflich gewesen sind, meinen herzlichen Dank auszusprechen. Ich richte mich dabei in erster Reihe an Herrn Prof. Brendel, der mit nie versagender Geduld die Abzüge auch von diesem Band in Bezug auf die deutsche Sprache verbessert hat. Herr Cand. G. Nüe^n ist mir in vieler Hinsicht bei der Aus- arbeitung der Vorlesungen behilflich gewesen und hat im Be- sonderen den grössten Theil der numerischen Rechnungen des achten Abschnittes ausgeführt, wofür ich ihm hiermit meinen besten Dank abstatte. Herrn Dr. A. Wilkens verdanke ich ein sorgfältiges Verzeichniss der Druckfehler im ersten Bande, das zum Theil am Ende dieses Bandes wiederzufinden ist.

Zuletzt will ich dem Herrn Verleger für die Geduld, mit welcher er Verspätungen meinerseits mit der Fertigstellung des Manuscriptes u. dergl. aufgenommen hat, meinen besten Dank aus- sprechen.

Lund, den 18. September 1907.

C. V. L. Charlier.

Inhalt.

Achter Abschnitt.

Mechanische Quadratur.

Seite

§ 1. Die EuLER'sche Summationsformel 3

§ 2. Anwendungen der EuLER'schen Reihe 17

§ 3. Relationen zwischen Differentialquoiienten und DiflFerenzen ... 23

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur 44

§ 5. Numerische Beispiele 53

Neunter Abschnitt.

Periodische Lösungen.

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper 89

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra .... 102

§ 3. Die HiLL'sche Grenzcurve 111

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. Forts. . 117

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen 137

§ 6. Das CAüCHY'sche Existenztheorem. Erweiterung desselben von

PoiNCARfi 172

§ 7. Methode von Poincar^, die periodischen Lösungen aufzusuchen . 187 § 8. Fortsetzung. Methode von Poincar6, die periodischen Lösungen

aufzusuchen 198

§ 9. Die Form der Entwickelung der Störungsfunction 202

§ 10. Periodische Lösungen der ersten Gattung 206

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Gattung 215

§ 12. Periodische Lösungen der dritten Gattung 231

§ 13. Andere Gattungen periodischer Lösungen 240

viii Inhalt.

Zehnter Abschnitt Conrergenz der Reihen iu der Mechanik des Himmels.

Seite § 1. Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper 255

§ 2. Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. Fortsetzung 273

§ 3. Die HiLL'sche Grenzcurve 289

§ 4. Convergenz der Entwickelungen nach Potenzen der störenden

Massen 296

§ 5. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie 304

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. Fortsetzung . . . 321

Elfter Abschnitt.

Ueher die Form der luteg-rale im Problem der drei Körper.

§ 1. Ein Transformationstheorem in der Mechanik 333

§ 2. Ueber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad 356

§ 3. Entwicklung der Störungsfunction im asteroidischen Dreikörper- Problem 367

§ 4. Das DELAUNAv'sche Problem 375

§ 5. Ueber die Commensurabilitäten niedrigen Grades 388

§ 6. Ueber Commensurabilitäten höheren Grades 418

§ 7. Ueber die Darstellung der Integi-ale des Problems der drei Körper

in rein trigonometrischer Form 434

§ 8. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der drei Körper

in trigonometrischer Form. Fortsetzung 447

§ 9. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der drei Körper

in trigonometrischer Form. Zweite Fortsetzung 466

Sachregister 477

Berichtigungen zum ersten Bande 479

ACHTER ABSCHNITT MECHANISCHE QUADRATUR

Chaelier, Mechanik des Himmels. II.

§ I. Die EuLER'sche Summationsformel.

Unter dem Namen mechanische Quadratur werden alle solchen Rechenoperationen verstanden, mittelst welcher man den Werth eines Integrals berechnen kann, ohne die Integration analytisch aus- zuführen. Die Methoden, die man zu diesem Zwecke benutzt, lassen sich mehr oder weniger direct auf eine Formel zurückführen, die ungefähr gleichzeitig von Maclauein und von Euler gefunden wurde, und die gewöhnlich mit dem Namen EuLER'sche Summations- formel oder EuLEi^sche Beihe bezeichnet wird. Ich habe es des- wegen für zweckmässig betrachtet, diesen Abschnitt mit der aus- führlichen Auseinandersetzung der Eigenschaften dieser interessanten Formel anzufangen. — Der üebergang zu den gewöhnlichen Formeln für mechanische Quadratur geschieht dann ohne Schwierigkeit. Dieser Weg hat ausserdem den wichtigen Vortheil, dass man mit Hilfe der eingehenden Untersuchungen über die EuLEE'sche Reihe zu einer Auffassung der Grösse des Fehlers, den man bei einer nume- rischen Berechnung des Integrals zu befürchten hat, gelangen kann.

Um die EuLEE'sche Summationsformel abzuleiten, geht man von der Identität

f{a + «) - f[d) = Jf [a JrOi-z)dz ü

aus. Durch theilweise Integration giebt diese

CO U) CO

j f [a + (ü — z)dz = / zf" [a -\- ü) — z) -\- j z f" (a + « — 2) o? z ,

Mechanische Quadratur.

so dass

f[a + «) - f{a) =^ cof [a] + J z f" [a + co - z)d ;

ist.

(1)

Wird dies Verfahren weiter fortgesetzt, so erhält man ' Af{a) = /•(« + a>) - f{a] = ^f [a] + ^f"[a] + ...+

0

P = fn+i{a + (o-z). Durch Differentiation erhält man aus (1)

Jf [a) =f[a + co)- f [a) = ^ /"' [a] + ^f" («) + ...+

+ ^" /-"^^ («) + /^/'"■'' (a + « - z) t^ r . ~ 0 ^

Durch theilweise Integration erhält man aber

a> CO

f^fn+2 (a + cü- z)dz = -—f^+^a) + f^^Pdz. J \n ' ^ ' \n' J N-1

Man hat also

^f («) = ^r(«)+;^r («) +^V"'(«) + - + -^^■/■"(«)+/-^^^^>

J/-'(a) =

Yf W+^/^ («) + •..+

•1 /. «-1

Prf!

§ 1. Die EuLER'sche SummaUonsformel.

äf" (a) = ^rw + - + ^~/-''W+/-^

-2

:pdz

Af^-\a)

Werden diese Gleichungen der Beihe nach mit 1 , A^co, A^co^, . . ., An-ico'^-^ multiplicirt und die Coefficienten A^, A^, . . ., An-\ SO bestimmt, dass, wenn sämmtliche Gleichungen summirt werden, die Coefficienten von f" [a), f" [a), . . ., /^^ (a) auf der rechten Seite verschwinden, so erhält man

(2)

A f[a) -\- A^oj Af [a) + A^(o^ Af" [a] + ... + A_i «""^ /"""i («) = = cof'[a)-B^,

Pd

z .

Die Formel (2) ist die EuLEß'sche Reihe.

Die Coefficienten A^ , A^ u. s. w. sind durch folgende Formeln bestimmt:

-ji- + A =0, 1 , A

13

— + ^'-T + "' + 4^ + A-i = o

\n \n-l ^

6 Mechanische Quadratur.

durch welche die Coefficienten Ä^, A^ u. s. w. successive berechnet werden können.

Führt man die Bezeichnung

(4) *,M = -|- + ^' + - + ^

ein, so können die Bedingungsgleichungen für die Coefficienten A^, A^ u. s. w. kurz in der Form

(5) ^.(1) = 0 (r = 2, 3...71)

geschrieben werden.

Wird in den Ausdruck (3) für U^

eingesetzt, so bekommt man

(6) i^„ = - w"+ 1 TcP,^ (m) Vdu.

0

Die Untersuchung über das Restglied — i?^ — der EuLEE'schen Reihe, wie diejenige über den Werth der Coefficienten A^ hängt also nahe mit den Eigenschaften der Function ^[u) zusammen. Wir wollen deswegen zuerst diese Function näher untersuchen.

Wir bemerken zuerst, dass nach (4) und (5)

(7) 0^(O) = o==a>,(i).

Zum näheren Studium der Function 0 bedient man sich mit Vortheil der Hilfsfunction

(8) m-^-^-T-

Wird diese Function nach Potenzen von v entwickelt, setzt man also (8*) f[v)=\^a,v^a^v'^^.,.,

§ 1. Die EüLER'sche Summationsformel.

so ist

V = {e" — l)2^j"'

und mau bekommt zur Bestimmung der Coefficienten die Gleichungen 0 = -i^ + «1

0 = -r^ + ^ + a,

\L ^

SO dass also die Coefficienten a^ , a^ u. s. w. mit den Coefficienten A^, A^ u. s. w. zusammenfallen.

Hieraus leitet man leicht den Satz ab, dass alle Coefficienten A. mit ungeraden Indices verschwinden, mit Ausnahme von J^, der gleich — ^ ist. Man hat in der That

V V V ^ e^ + 1

e" - 1 2 2 e" - 1

Das zweite Glied dieses Ausdruckes ist aber eine gerade Function von v und wird nicht verändert, wenn v gegen — v ver- tauscht wird, woraus der Satz folgt.

Es ist also

(9) I

hi+i = 0 (i=l, 2, 3...)

Weiter ist

WO -Sj, B^, B^ die BEENOULLi'schen Zahlen bezeichnen. Man hat also

Mechanisclie Quadratur.

Nach dem bekannten Ausdruck für die BEENOULLi'schen Zahlen hat mau also

(10*) ^2^ = 4:^2 4

2 n roTl m

Die numerischen Werthe der ersten Coefficienten sind

A, =

A

= +

1

12

^4

= -

1

720

A

= +

1 30240

^10 = +

1209 600

1 47900160

Jeder Coefficieut ist ungefähr 4%^ {=■ 39.4784) mal kleiner als der nächst vorhergehende, wie aus der Formel (10*) unmittelbar hervorgeht.

Die Eigenschaften der Function 0{ii), die wir noch brauchen, um das Restglied der EuLER'schen Reihe näher zu studiren, werden leicht erhalten, wenn man mit Schlömilch die Function

MD 1

(11) 5^ ("; ^) = « ^r— -

einführt. Wird diese Function nach Potenzen von v entwickelt, so erhält man offenbar

(in ^(^,^^) = 2^™(^^)"™-

Die Formel (11) giebt aber

ff [v, l — u) = p {- v,u) + V ,

so dass, in Hinsicht auf (11*),

(12) (DJl-u)=:{-ir(liJu),

wo m = 2 , 3, 4, ...

§ 1. Die EuLEB'sche Sirnimationsformel.

Es ist weiter identisch

1 e^ —1 Iv V

e^-l e^ -1 e'-l

oder

so dass nach (11*) und (8*) Es ist also

Diese Formel giebt nach (9)

(13) 02i + i(i) = O [1 = 1,2...],

wogegen

(13*) <i>2il-]=-2A2ill-4

Aus (12), (13) und (13*) gehen die wichtigsten Eigenschaften der Functionen ^'2i[u) und 0^21 -^liv) leicht hervor. Es ist nämlich

n A\ fU f \ ^^^ , ÄiU^^~^ , Xm^*~^ , , Ä2i-2U^

(14) ^,.(^*) = -|27 + -|i^:rr- + -jh^ + ••• + -|^' und

(14^) ^2^^.i(^) = ^T^pr + ^^ + -\h^rY- + -■' + fr-

Es ist also im Besonderen

,,- , V M^ , . M (m - 1)

10 Meclmnische Quadratur.

welche Function für m = 0 und für m = 1 verschwindet und zwischen diesen Werthen negativ bleibt. Die Function hat ein einziges Minimum, das man für m = i erhält, und es ist

übereinstimmend mit (13*).

Es lässt sich nun zeigen — und dies ist der Hauptsatz über die Function 0 [u] — dass 0^ [u), für Werthe von u zwischen 0 und 1, positiv ist mit einem einzigen Maximum (für m = i), dass 0g [u] stets negativ, (p^ [u] stets positiv bleibt u. s. w., vorausgesetzt, dass u zwischen den Grenzen 0 und 1 liegt.

Um dies zu beweisen, wollen wir annehmen, dass ^^i^^') P'^^^t^^ ist und ein einziges Maximum besitzt zivischen 0 und 1. Wir wollen dann zeigen, dass 02i+2(m), für Werthe von u zwischen 0 und 1, negativ bleibt und ein einziges Minimum besitzt.

Nach (14) und (14*) hat man

(15) Qi2i^M = %M + ^,i'

Da 02i+i(O) = 02i+i(l) = 0 ist, so muss Ö^'o^+i (?<), nach dem Theorem von Eolle, wenigstens einmal zwischen 0 und 1 ver- schwinden. Die Gleichung

(16) a>2,(z.) + J3, = 0

muss also wenigstens für einen Werth von u zwischen 0 und 1 befriedigt sein. Da nach der Voraussetzung 02iM positiv ist und zwischen den genannten Grenzen ein einziges Maximum besitzt, so muss also die linke Seite von (16) zweimal und nur zweimal ver- schwinden. Hieraus folgt nach (15), dass 0'2i+\[u) zwischen 0 und 1 zweimal verschwindet.

Die Function ^2i-^\[u) besitzt also zwischen 0 und 1 ein ein- ziges Maximum sowie ein einziges Minimum und verschwindet also nur für einen einzigen Werth von u zwischen diesen Grenzen, und zwar ist nach (13)

'^2. + l(i) = 0.

§ 1. Die EuLEB'sche Siwwiationsformel.

11

Nun ist aber nach (14) und (14*)

(17) ^'■2i+2{li) = ^2i+l{u).

Die rechte Seite dieser Gleichung verschwindet für einen ein- zigen Werth von u zwischen 0 und 1 — nämlich f ür m = i — , folglich verschwindet 021 +2 [u] für einen einzigen Werth von u zwischen diesen Grenzen, d. h. 02i+2 i^i) hat ein einziges Maximum oder Minimum zwischen 0 und 1. Es ist leicht zu zeigen, dass es ein Minimum sein muss.

Da nach der Voraussetzung ^giW positiv ist und (16) zwei Wurzeln hat zwischen 0 und 1, so muss offenbar A^. negativ sein.

Nach (14*) hat Qi2i-^i{u) für kleine positive Werthe von u das- selbe Zeichen wie Ä^., ist also negativ. Folglich ist nach (17) ^2i+2 (") für kleine positive Werthe von u negativ, und da ^2;+2(0) = 0, so ist also ^2i+2(w) für kleine positive Werthe von u negativ und muss also, nach dem Obigen, zwischen 0 und 1 negativ bleiben.

Wäre 02i(^) iiGgs^tiv gewesen und hätte es ein einziges Mini- mum zwischen 0 und 1 gehabt, so hätte man in ähnlicher Weise be- wiesen, dass Q>2i+2[u) zwischen den- selben Grenzen ein einziges Maxi- mum besitzt und positiv bleibt.

Nun haben wir oben gesehen,

dass 02 (^) negativ ist zwischen 0 und 1, und ein einziges Minimum besitzt; folglich muss, innerhalb der- selben Grenzen, 0^ [u] positiv sein und ein einziges Maximum haben ; 0g [u) bleibt negativ u. s. w.

Die Functionen 0^ [n) haben also das Aussehen, das durch die neben- stehenden Zeichnungen (Fig. 1) dar- gestellt wird. Die Richtung der Tangenten in den Punkten 0, i, 1 ergiebt sich aus den Formeln (15) und (17), welche geben:

12 MeekaniscJis Quadratur.

Wir haben also gezeigt:

1) dass ^2n(^) laicht das Zeichen wechselt zwischen m = 0 und u = \\

2) dass ^2n(")' zwischen den genannten Grenzen, negativ ist für n ungerade und positiv für n gerade;

3) dass der Maximalwerth von ^^ni^) ^^^

Max. a>2„W=-2^2„(l-^

der für u = \; erreicht wird. Mit Hilfe dieser Sätze lässt sich der Werth des Restgliedes der EüLER'schen Reihe leicht discutiren. Es ist in der That

nach (6)

1

0

oder

1

(18) i?2n = - «-" + 'J^2 »(«)/'-"■*■' (a + W(l - U)) du.

Ein bekannter Satz aus der Integralrechnung sagt aber aus, dass, wenn F{x) und G[x) zwei Functionen einer reellen Veränder- lichen X bezeichnen und G[x) zwischen den Integrationsgrenzen das Zeichen nicht wechselt, sondern entweder stets positiv oder stets negativ bleibt,

h h^

(19) fF{x) G [x] dx =F{a + d[b- a)) j' G [x)dx

ist, wo d positiv und kleiner als 1 ist.

§ 1. Die EüLEji'sche Sirnrniationsformel. 13

Da nun bewiesen worden ist, dass ^^M) zwischen 0 und 1 das Zeichen nicht wechselt, so können wir die Formel (19) auf (18) anwenden, und wir bekommen dann

	^2.	=	- w2»+l^-2»	+ i(« + öa>)J
oder nach	(15)
(20)	^2„	=	An^^'^'^'r	!«+i [a + d(o)

Dieser allgemeine Ausdruck für das Restglied in der Euler' sehen Eeihe ist zuerst von Malmsten gegeben worden (Ceelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik Bd. XXXV (1847), ab- gedruckt in Acta Mathematica T. 5).

Der MALMSTEN'sche Ausdruck für das Restglied ist allgemein und vollständig unabhängig von den Eigenschaften der Function f[a) und ist in den meisten Fällen auch bequem anzuwenden. Der folgende Ausdruck, der von Jacobi herrührt (Grelle, Bd. XII), ist zwar nicht immer anwendbar, führt aber zu einer noch bequemeren Formel für das Restglied.

Wenn nämlich /"^n+i (a + (o{\ — m)) zwischen den Grenzen u = 0 und u= 1 das Zeichen nicht wechselt, kann man nach (19) schreiben

1 i?2„ = _ ft,2n+l il)^^ (ö) J/'2" + i (a + m[\- u)) du 0 = _,,2.,/>^JÖ)[/-2«(« + «)-/2«(«)].

Nun haben wir aber bewiesen, dass die Function ^2n(^) (0 < ö < 1) das Zeichen nicht wechselt und für d — \ ihren Maximal- werth erreicht, und zwar ist

*..(!)=- 2^... (1-^)- Man hat also (21) i?2„ = «-"2Ö./3„(l - -^)[r"(a + «) -/•2«(a)]

14 3Iechamsche Quadratur.

und somit

(22) i?2„ < «2« 2 1 ^2. ! [/•'" (« + «) - /"-" («)] •

JFenn also f-"+'^(a + w (1 — m)) zwischen den Grenzen u = 0 und u = 1 das Zeichen nicht wechselt, so ist der Fehler, den man zu befürchten hat, toenn man die EuLER'sche Eeihe mit dem Glied

Ao,_ow'--'^Ap-Ha]

abbricht, kleiner als der doppelte If erth des ersten vernachlässigten Gliedes.

Die EnLEE'sche Reihe gehört bekanntlich im Allgemeinen zu den divergenten Reihen. Wenn aber die Grösse des Restgliedes bekannt ist, so liegt natürlich nichts im Wege für die Anwendung solcher Reihen, Wenn z. B. der Ausdruck (21) für das Restglied gültig ist, so weiss man, dass der zu befürchtende Fehler immer kleiner ist als der doppelte Werth des ersten vernachlässigten Gliedes. Man setzt also in diesem Falle ruhig die Reihe so lange fort, bis die Glieder der Reihe zu wachsen anfangen und man braucht also niemals einen grösseren Fehler zu befürchten als den doppelten Betrag des kleinsten Gliedes in der Reihe. Andererseits folgt offenbar hieraus, dass man mit Hilfe dieser Reihe im All- gemeinen nicht eine Function mit beliebig grosser Genauigkeit be- rechnen kann. Es giebt indessen verschiedene Kunstgriffe, durch welche man die Convergenz der Reihe vergrössern kann, wie man an einem Beispiel im nächsten Paragraphen findet.

Die Form (2) für die EuLEE'sche Reihe war

CO f [a] = f[a + 0.) - f[a) + Ä, o, [f [a + co) - f (a)] +

n-l

+ 2

i = l

2^2i«-^[P(« + «)-/"-'"(«)] +

Wird hier, statt f[a), eine Function 7.[a) eingeführt, so defi- nirt, dass

).[x)==f'{x)

§ 1. Die EuLER'sche SvmmaUomformel

15

und also

so bekommt man

jl[x)dx=f[a + co)-f{a),

(23)

;. [a] = p. [a)da-^ A^co [l [a + co] - l (a)]

+

+ 2 ^2i «''■ [^"^ - M« + «) - ^'^ - M«)] + t = 1

oder, wenn man sich erinnert, dass A^ = — |- ,

(23*)

n -1

1

+ ^2n-

Wird in (23) a gegen a + w, a + 2c-j, a + 3ü; u. s. w. vertauscht und die so erhaltenen Gleichungen addirt, so bekommt man:

(24)

wo

(24*)

co^l[a^r(o) = fX{x)dz + A^co[X{a + äw) - l{a)] +

+ ^Ai^-' V-'-^ [a + sco]- ;.2^--i («)] + i = i

i?!;' = 4 w2n+i 2 ;.2" (a + r « + Ö,. w) ,

" " " r = 0

wenn wir den allgemeinen MAijMSTEN'schen Ausdruck für das Best- glied benutzen. Hier ist ö,. im Allgemeinen als eine Function von r

16 Mechanische Quadratur.

zu betrachten. Wenn ^^«(a + rw + öw) für 0<Ö<1 das Zeichen nicht wechselt, und ausserdem '/?'^~^[x) zwischen x = a und x=-a + sb) stetig wächst oder stetig abnimmt, kann man den jACOBi'schen Ausdruck (21) für das Restglied anwenden und erhält einfach:

(24**) Rf^ = w2n 2 ö ^2„ [A2«-i (a + 5 w) - A2«-i (a)] ,

so dass auch in diesem Falle das Restglied kleiner als der doppelte Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes ist.

Die Formel (24) wird öfters in der folgenden Form geschrieben;

s — 1 ^

a)^l[a -{- r (o) = C -{■ \ l[a) d a + A^ a l[a •\- s G)) ■{-

r = 0 ^

a

1

wo unter C eine Constante verstanden wird. Diese Schreibweise ist aber offenbar im Allgemeinen nicht gestattet. Es ist in der That

C = — Ä^co'k[a) - 1

-2^2i«'^^'^-M«)

und ist also C keine Constante, sondern ihr Werth hängt von n ab. x^uch wenn man in diesen Formeln n gegen die Unendlichkeit wachsen lassen wollte, so würde die obige Schreibweise im All- gemeinen nicht zulässig sein, da die Summe

2^J2.«2U2i-i(a)

im Allgemeinen divergent ist, und der Werth für C also entweder unendlich gross oder unbestimmt ausfallen würde.

§ 2. Anwendungen der Eüler' sehen Reihe. 17

Wir werden also im Folgenden uns der Form (24) für die EuLEß'sche Eeihe bedienen, und je nach den Umständen die Form (24*) oder die Form (24**) für das Restglied anwenden.

Die Formel (24) wird gewöhnlich die EuLER'sche Summations- formel genannt, weil man sie anwenden kann, um die in der linken Seite gezeichnete Summe zu berechnen, wenn der Werth des Integrals l[(i) bekannt ist.

Umgekehrt kann man aber dieselbe Formel auch benutzen, um den Werth des Integrals der rechten Seite zu finden. Wird die Aufgabe gestellt, das Integral

/

I X{x)dx

zu finden, wird das Intervall b — a m s Theile von gleicher Länge [co] getheilt, so dass

b — a

CO =

s

Man kann dann mit Hilfe der Formel (24) das Integral aus den Werthen der Function l{x), für

or = a 4- r w (r = 0, 1 . . . , 5 — 1),

und aus den Werthen der abgeleiteten Functionen von l{x), für X = a -}- s 0} und X = a, berechnen.

In dieser Fassung enthält die Formel (24) die allgemeine Lösung der Aufgabe, den Werth eines Integrals durch mechanische Quadratur zu berechnen.

§ 2. Anwendungen der EuLER'schen Reihe.

Wir wollen die EuLER'sche Reihe zuerst benutzen, um einige Summationen auszuführen. Als erstes Beispiel nehmen wir die classische sogen. STiELiNG'sche Formel.

Charlier, Mechanik des Himmels. II. 2

18 Mechanische Quadratur.

Wir setzen

l [x] = log X , Es ist nun

|2^■-2 |2^-l

und mitkin nach (24)

, a + SO)

s — l p j

V log (a + r oj) = I log .r rf;i- — — « [log [a + s co) — log a]

r = 0 «^ ^

a

+ 2'^2i |2^-2 ro2^T- "—-^ - ^

(1)

oder wenn man

ß = 1 , (0=1

setzt und die Integration ausführt

log[^=(5+i)log(^+l)-

t = i I

Man kann hier den jAcoBi'schen Ausdruck für das Restglied benutzen (weil die )J-'{x) für alle x, die hier in Frage kommen, negativ sind, und die ??^-'^{x) zwischen x = l und x = s + l stetig abnehmen), der Fehler ist also immer kleiner als der doppelte Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes.

Wird in dem obigen Ausdruck s gegen s — 1 vertauscht, und dann beiderseits logs addirt, so ist also

log \s ={s -i- \)\ogs - s -\-l

+ 2^2. |2^-2 [-1^-1

§ 2. Anwendungen der Euler sehen Beihe.

19

oder, nach Einsetzung der numerischen Werthe der Coefficienten,

(2)

log^=(* + |)

+ ^)log.

+ 1

+	1 12	1 1 ^\ V * /
-	1 360
+	1 1260	( ^ -{]
-	1 1680	■(^-)
+	1 1188	(^-)

Die Glieder fangen hier an zu wachsen, und man erreicht also die grösste Genauigkeit, wenn man mit dem Glied

1

1260

-1

die Reihe abbricht.

Man würde indessen leicht eine andere Reihe für log i s er- halten können, mit welcher man eine bedeutend grössere Genauig- keit erhalten könnte. Setzt man nämhch zu diesem Zwecke in (1) a = 2, so kann man die Genauigkeit viel weiter treiben, oder man setzt a = '6 (und addirt log 2 auf beiden Seiten) , in welchem Falle die Convergenz eine noch grössere wird.

Als zweites Beispiel setzen wir

l [x] = sin a: ,

und erhalten

f s-l _

co^sm[a + rot) = — cos(a + Äw)4-cos a — ^oj [sin (a + ä «) — sin a]

1)' +^ [cos [a + SO)) — COS a]

20 Mechanische Quadratur.

Der jAcoBi'sche Ausdruck für das Restglied kann nur aus- nahmsweise hier benutzt werden (für kleine co und s). Indessen zeigt der MALMSTEN'sche Ausdruck § 1 (24*) unmittelbar, dass das Restglied gegen Null geht, wenn nämlich [mit Hinsicht auf § 1 (10*)]

j«|< 2.T

ist, in welchem Falle die Formel (3) benutzt werden kann, um die Summe auf der linken Seite von (3) mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Wir bekommen also in diesem Falle

^1 '/• =1

(4) \cü\ßm[a + s(ü) — sin«] + co^'&m[a + r co) = -5[cos(a + Ä(ü) — cosa],

wo

^ = -i + 2^2i(-ir^

w-

Es ist bemerkenswerth, dass B nur von co, nicht aber von a und s abhängig ist.^

Die Anwendung der EuLER'schen Reihe zur Summation von Reihen spielt seit langer Zeit eine grosse Rolle in der Analysis. Sie ist auch zu diesem Zwecke sehr bequem, so oft die Discussion des Restgliedes ausgeführt werden kann.

Von grösserer Bedeutung dürfte indessen ihre Anwendung zur numerischen Berechnung von Integralen sein. Die Formel § 1 (24) wird dann in folgender Form geschrieben

(5)

a + sco ^_^

{l {x)dx = a^l[a + r(D) + \a) [l [a + s O)) - l (a)] - "2^2i«''['^-'"M« + SCO)- A2-i(a)] -

n-l

; = i

Im Hinblick auf § 1 (10) ergiebt sieb, dass

CJ , Cd

ycotg-

5 = - -^ cotg

ist;

§ 2. Anwendungen der Euler' sehen Reihe. 21

r = 0

Ist ein Integra]

fl[x)dx

vorgelegt, so wird das Intervall b — a in s Theile von gleicher Grösse getheilt, und man kann dann nach (5) den Werth des Inte- grals berechnen aus den speciellen Werthen der Function und ihrer abgeleiteten Functionen. Sehr oft kann man sich dabei mit der ersten Zeile rechter Hand in (5) begnügen, wenn nur co klein genug genommen wird. Mittelst (5*) lässt sich dann die Genauigkeit des Eesultates beurtheilen.

Es kann vorkommen , dass alle abgeleiteten Functionen ungerader Ordnung für x = a und x = a + s m verschwinden, in welchem Falle die zweite Zeile rechter Hand in (5) verschwindet, so dass

(6)

/«— 1 A[x)d X = (o^l[a -\- r (ü) -\- \ co[^K{a + s (o) — l (a)] — r = 0

R''^

ist.

Der untere Index [n) bei dem Restglied kann hier beliebig gewählt werden, ohne dass der Werth des RestgUedes verändert wird. Dagegen dürfte R^^^^ mit wachsendem s gegen Null abnehmen.

Nehmen wir beispielsweise an, dass das Integral

dx

^J 1/1+ a«

yi +a*- 2acosiC

vorgelegt wäre. In diesem Falle ist offenbar

•;.2-i(o) = /.2-i(;r) = 0 (^-=1, 2, 3...),

22 Mechanische Quadratur.

und die Berechnung geschieht nach der Formel (6). Wird w = 1 gesetzt, so ist dann

s-l

m^) = ^2 «^ 2 ^-" [a + d(o + roj),

r = 0 WO

3 a* sin^ x

'i ff t \ '-*■ ^vo »v ,

71 [1 + a'^ - 2« COS x\ ' 71 [1 + «2 - 2a cos x] *

Ist u genügend klein, kann man genähert A" (a + ö w + r a>) = — setzen, und man hat also

oder, da

m^)

=

A

71

u

S(0 =

.T,

A

1

~ 12

^(^) =

1 "12

-awr- =

■ 12s''

ist,

durch welche Formel man den Maximalfehler berechnen kann, den man begeht, indem man das genannte Integral durch Theilung des Intervalles [it) in s Theile berechnet.

Aehnliche Betrachtungen gelten, so oft ?.{x) eine gerade und periodische Function bezeichnet (mit der Periode ti] und es sich um die Berechnung des Integrals

I X [x] d X

0

handelt.

Die weitere Ausdehnung dieser Betrachtungen auf Doppel- integrale führen zu Resultaten, die besonders für die Berechnung der secularen Störungen der Planeten von Interesse sind.

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 23 Im Allgemeinen werden indessen die Functionen

und

A2i-i(«)

Yon Null verschieden sein. Die Formel (5) fuhrt dabei leicht zur Berechnung des Werthes des Integrals, so oft die Ableitungen von / [x] ohne Mühe erhalten werden können. In vielen Fällen empfiehlt es sich indessen, einen anderen Weg einzuschlagen.

Bei der Anwendung der Formel (5) braucht man nämlich die numerischen Werthe der Functionen

/. [a] , / (a + (o) , l[a -\-2cx)) . . ., l{a + soi).

Wird jede Function in dieser Reihe von der nächstfolgenden sub- trahirt, so entsteht eine Reihe von Differenzfunctionen oder Diffe- renzen. Hieraus erhält man in ähnlicher Weise die zweiten Diffe- renzen, dann die dritten Differenzen u. s. w. Nun lassen sich aber die Ableitungen verschiedener Ordnung der Function l[x) durch solche Differenzen ausdrücken, und es ist also möglich, die Formel (5) in eine andere umzuformen, wo ausser den Functionswerthen /.(a + rw), (r = 0, 1, 2 ...,ä) nur die Differenzen verschiedener Ordnung vorkommen. Da aber die Differenzen numerisch viel leichter erhalten werden können als die Ableitungen, so erhält man in dieser Weise eine Formel, die für numerische Rechnungen be- deutende Vorzüge besitzt.

Wir werden im nächsten Paragraphen die Relationen zwischen den Ableitungen einer Function und den Differenzen verschiedener Ordnung aufstellen, um dann im vierten Paragraphen zu den defini- tiven Formeln für mechanische Quadratur überzugehen.

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen.

Wir werden uns im Folgenden der ExcKE'scheu Bezeichnungen für die Differenzen bedienen, deren Bedeutung aus dem nach- stehenden Differenzschema hervorgeht.

24 Mechanische Quadratur.
Argument	Function	1^'^ Diff.	2*^ Diff.	3''= Diff.
a —2co	/'(a-2w)	/;'(«-!«)
a — CO	f[a- CO]	/;'(«-i«)	/•;'(a-o.)	fö"{a-\co)
a	m	/"o'l^ + i«)	/;"(«)	ro"'(« + io.)
a -{- CO	f{a+ CO)	A'(« + l«)	/;"(« + «)
a +2w	f{a-^2co)

Es ist also

^'(a - 1«) =/-(« - oj)-f{a -2co),

^' (« - i «) = /"(«) - f[a - w) ,

fo (« + i «) = /■(« + «) - /"(«) u. s. w.

fo' [a-co)= /;' (a - i w) - /;' (a - f w) ,

Z'o" («) = fo (« + i «) - /"o' (« - i «) .

^" (a + «) = /;' (a + f «) - /;' (a + i «) u. s. w.

Nach dem Theorem von Tayloe hat man, vorausgesetzt, dass die betreffenden Keihen convergiren,

f{a + «) = f\a) + -|^ /•' (a) + -l^f (a) + ^f" (a) + . . . /•(a +2«) = /-(a) + ^f' [a] + ^V" («) + T^V'" («) + ••• /■(« +3«) = f[a) + jff [a] + ^V" (a) + ^f" («) + • • •

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 25 Hieraus erhält man durch Subtraction

^'(a + i«) = /•(a+ co)-f{a) =^/"(a) + -^r(«) + n^r(«) + -

fo'{a + ioo) = f{a + 2co)-f{a+ co) = ^f'{a) + ^r{<^H^r» + -

fo{a+ico) = f{a + Sco)-f{a + 2o,) = ^r{a) + ^f'\a)-i-'jfr{^) + -'-

u. s. w.

Werden diese Eeihen von einander subtrahirt, so erhält man weiter

/;;' [a + CO) = /•; (a + 1 o;) - /;' (« + i «) = « Y" («) + « Y'" («)+••• /;"(« -t-2«>) =. /;(« + 1«) -^'(a + i «) = «Y"(«) +2«Y"'(«) + ...

u. s. w.

Hieraus bekommt man

f,"'{a + I«) =^"(a + 2«) -^"(a + «) = «Y"'(«) + .•• u. s. w.

Es ist leicht ersichtlich, dass sämmtliche Differenzen durch die Ableitungen der Function f{a) ausgedrückt werden können, und zwar wird die Differenz w*" Ordnung durch Ableitungen der n*^" und höheren Ordnungen ausgedrückt.

Wir wollen die Differenzen

/;'(a + ia>), ^"(a + w), /;'" (a + | w) . . . , f'^ l^a + —aj , . . .

mit dem Namen adjungirte Differenzen der Function f[a) bezeichnen. Die adjungirten Differenzen der Function f{a + w) sind dann

/•;(a + |«), ^"(a + 2ü>)..., /•;(« + « + !«) ,...

26 Meehanische Quadratur.

und, allgemein gesprochen, sind alle Differenzen

/;(a + 5« + |-«) (n= 1,2,3,...)

als adjungirte Differenzen der Function f{a + sco) zu betrachten.

Wir nehmen nun an, dass wir für f^la + Y^) *^^i® folgende Formel erhalten haben

(1)

(2)

+ Af «"+2 fn+2 (,^) + J-) ö,n+3^-n+3 (a) + . . .

Wir können hier a gegen a -{- co vertauschen und erhalten

/; ^a + ö, + 1- «j = w«/"" (« + «) + ^i'^«"+^ /■"+^ [« + «) +

+ J^"^(ü«+2/'«+2(a + oj) +

+ 4"^««+ V'""^-^(« + «) + •••

(3)

Werden f"{a + w), f''+'^{a + &») u. s. w. nach dem TATLOE'schen Lehrsatz nach Potenzen von co entwickelt, bekommen wir hieraus

+ (1 + jf)a)«+i/'"^U«) + Es ist aber

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 27 Indem wir (1) von (3) abziehen, erhalten wir also

(4)

+ (p- + ^ii«"'''/'"^'(«) +

An)

+ ...

Diese Formel kann nach (1) auch in folgender Form ge- schrieben werden

+ 4""^^^ «"+V"+^ («) + ...,

so dass zwischen den Coefficienten A^ , A^ u. s. w. folgende Recursions- formeln bestehen

.(« + 1) _ 1 Jn)

(5)

An) j{n + l) _ J_ _1_ An)

4 ' 13 ^ |2 ^3 '

Da

^m = J u. s. w.

- iL

so kann nach (5) die allgemeine Form der Coefticienten A^^\ a!^^ u. s. w. gefunden werden. Man bekommt

28

Mechanische Quadratur.

(6)

		An) n ^1 =^'
		<' = ^(3^+l).
		^r=^(-+i).
		u. s. w.
Wir habe	m hier

/'o(« + Y«)

als adjungirte Differenzen der Function f[a) betrachtet. Man kann mit demselben Recht auch die Differenzen

als adjungirte Differenzen von f[a) betrachten. Wenn wir setzen (^) /"o (« - Y ") = «"/""(«) +^1^' «"+!/•"+' («) + 4"Vo"+Y"-^'(«) + . . •

und a gegen a — co vertauschen, erhalten wir nach dem TATLOE'schen Lehrsatz

+ (_l+^«)a>«+i/'»+i(a) +

+ (^-^+^rH-v-^ +

+ .

Da

fia-^co]-f;[a-Gi-'^co]= fl

+ l( n + 1

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 29

so erhalten wir die Recursionsformeln

(8)

ß{n + \)

)(n+l)

+ K\

|3 12 ^^2 '

J i ^ 1 p ^»J

Nun ist

/;'(« - i-w) = /•(«) - f{a - a>) =

so dass

5<i)

^, 4»= + ^, 4>.=_-i- U.S.W.

Die Formeln (8) geben

(9)

^(n)

2 '

(7j) w(3w + l)

^r =

24

ü(n) _ _ n^{n + l) 3 - 48

Es ist also

(10)

/""(«-!«) = «"/■"(«) - Y «"^ Y"^M«) +^^^^0,'«+ Y«-^^^(a)-

^'(» + l)^«+3^7»+3(a) + ...

30

Mechanische Quadratur.

Ist n eine ungerade Zahl, so lauten die Gleichungen (1) und (7)

^2n+l ( _ 2^^,j = ,,,2„4-l/'2. + W«) + ^^2n + l) ^^2n+2^-2n+2 (^) +

_^^2« + l)^^2n4-3yr-2„+3^a) + ...

Wird in diesen beiden Formeln a gegen a — nco beziv. a + nbj vertauscht, erhalten wir

_j_^,2n4-l)Jn + 2^2. + 2,^_^^^^^^^_^ + ...

Werden die rechten Seiten dieser beiden Formeln nach den Potenzen von w entwickelt, so erhält man, nachdem man die Reihen nach den Potenzen von co geordnet hat

/>2n + l /■.IN 2k + 1 />2n + l / s ,

+ o.2"-^y"^^a)[/;"^^^-.] +

2>i+3 /.27!+3, N

+ oj /• [a)

+ ...,

>(2n + l) ^ ^f2n + l)

^r"^'-w^r"" + il^l +

42n^-l)_^42„ + l)^_^y2„+l)

+

§ 3. Belationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 31

fl^^\a-ico) = a>'^^'f^'\a) +

^(2n.l)_^^^r2n.l)^ n^

+

2n + 4 /.2n + 4/ .[ -.

CO f {a)\l

)(2n + l)

I2n + 1) , n' D(2n + 1) , W

+ ^^Ä^"■^^^ +

L

5'

+ ...

Aus dem Differenzschema findet man, dass

ist.

Führen wir weiter die Bezeichnung ein, und bemerken, dass nach (6) und (9)

^(2n + l)

<— -n = i=-[^;;

/2n + l)

/2n+l)

«<'"^ + tJ

^

« + 2 12

^(2« + i) ^ ^^(2„+i) _^ n

IL.'

l(2n+l)

.(2n+l) «^ A2n + 1)

^2 -T T2'"^l ~

\1.

n + 1 24

= - L5

|^(2..1)^^^(2n.l)_j. n^^(2„.l)^^

SO erhalten wir durch Addition und Subtraktion, und, indem wir gegen n — 1 vertauschen

32 Mechanische Quadratur.

f^-'\a) = «2-7^"-^ (ö) + Cj')«^«+V'"^'(«) +

(12)

C.

(n) W + 1

1 12 '

1 12 ■

Es ist hier stillschweigend vorausgesetzt worden, dass die Relationen

(13)

V 2i 2i

für a//e 2 ihre Gültigkeit haben, obgleich sie oben nur für einige Werthe von i bewiesen worden sind. Man kann indessen leicht die allgemeine Gültigkeit dieser Relationen darlegen. Führt man nämlich eine Hilfsfunction fp^{y) durch folgende Relation ein:

i-i A\ / \ t y 1 \n n . in) n + 1 . {n) ?i + 2 .

so lässt sich leicht beweisen, dass die Coefficienten a^^^ in der Entwickelung dieser Function nach Potenzen von y mit den Coef- ficienten Af^ übereinstimmen. Um dies darzulegen, bemerken wir zuerst, dass

aus welcher Gleichung man dieselben Recursionsformeln für die Coefficienten a.^"^ ableitet, welche in (5) für die Coefficienten Af^ er- halten wurden. Da weiter

§ 3. Relationen zwischen DifferenUalquotienten und Differenzen. 33 so hat man offenbar allgemein

(14*) af^=Ä^;\

Führen wir eine neue Hilfsfunction

(15) V^M = (1 - e-y = / + bf^/^' + Ä^"V"^' + . • •

ein, so zeigt sich, dass

(15*) bf'^=Bf\

und da offenbar

so sind hiermit die Relationen (13) allgemein bewiesen.

Die Hilfsfunctionen (f^^ [y) und i//^ [y) werden übrigens mit grossem Vortheile benutzt, um verschiedene Eigenschaften der Coeffi- cienten J.-"^ und B^^^ abzuleiten. Im Besonderen können die Um- kehrungen der Reihen (1) und (10), mit welchen wir uns später be- schäftigen wollen, leicht mit Hilfe dieser Functionen erhalten werden.

Wir haben oben die Differenzen/'" ( a + ^ w], für w = 1, 2, 3, ... ,

und /*Q [^ — -^^A) für w= 1, 2, 3, . . . , als die adjungirten Differenzen

der Function f{a) bezeichnet. Wir können offenbar auch die zu- nächst durch (12) gegebenen Differenzen als adjungirte Differenzen betrachten und gelangen somit zu den folgenden vier Beihen von adjungirten Differenzen der Function f{a)

fl (« + f«) (« = 1,2,3,...),

fl («->) (n=l, 2, 3,...),

/t"'(«) (n=l, 2, 3, ...),

f; («) {n=\, 2, 3, ...).

Eine solche Reihe adjungirter Differenzen hat die Eigenschaft, dass man mit ihrer Hilfe die Ableitungen der Function f{a) ohne

Charlier, Mechanik des Himmels. II. 3

34

Mechanisclie Quadratur.

Hinzunahme anderer Differenzen ausdrücken kann. Die adjungirten Differenzen derselben Eeihe befinden sich in dem Differenzschema sämmtlich auf einer geraden Linie, die durch die Function f[a) hindurchgeht.

In Bezug auf die adjungirten Differenzen

flM

ist zu bemerken, dass sie nicht in dem Differenzschema direct vorkommen, sondern nach (11) das arithmetische Mittel zwischen zwei benachbarten Differenzen sind.

Die Darstellung der Ableitungen von f{a) durch die adjungirten Differenzen geschieht durch Umkehrung von (1), (7) und (12). In- dem man nach einander in (1) n gegen n -\- \, w + 2 u. s. w. ver- tauscht, erhält man

nn ( , n \ n nn , \ , v(n) m + 1/.n + l/ s , j(7i) n + 2 _^n + 2 , ^ ,

fo [''+^ coj=(ü f {a)+Ä[' G) f [a)+Ä^^(ü^ f ^ {a) +

+ Äf^ co^^^T'->) +

o,^^Y^\a)+Ä':^'^co^'^Y^\a) +

^n + 3/ , W + 3 \

+ 4"+v-^7""+V) + .--

+4'+v+V"+^(«) + ...

o/+V"+^(a) + ...

co'^'^Y^\a) +

Bestimmen wir gewisse Zahlen a^'', a:^', u^' u. s. w. so,

(16*)

+ <

(n)

,in) An+1

+ c^>Ä^^" +al

((»)

An) An + 1)

(«) /ni-2)

A'^> + «;"^4"-*-^^ + CC^Ä^^'^ + «f = 0

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 35 so erhalten wir

(16)

durch welche Keihe die Differentialquotienten von f{a) durch die adjungirten Differenzen vom Typus

ausgedrückt werden.

Die Werthe der Coefficienten «|"^ können aus (16*) erhalten werden, oder bequemer unter Anwendung der Hilfsfunction cp^{y).

Aus der Formel

erhält man

74 , All) 71+1 , An) 71 + 2 .

/ = 9.„+«;"V^,^^^ + f4"V„^.2 +

wo die «^."^ durch (16*) bestimmt sind. Da cp^ = 9", so können wir diese Formel auch in folgender Form schreiben

und die Aufgabe ist somit, ?/" nach Potenzen von ff^ zu entwickelu. Nach (14) ist aber

und also

y =log(l +fA) = <jr^i -i^Pj^ + i^i^-..., woraus

n n 71+1 , 7^(3» + 5) «+2 n(n + 2)(n + S) n+3 , = n-^'Px + 24 "Pl 48 ^1 +•••

36

Mechanische Quadratur.

Es ist also

(17)

«(") - - -^

^1 - 2

in) « (3 w + 5) «2 = 24—'

(n) _ w(?z + 2)(w + 3)

Um die Differentialquotienten durch die adjungirten Diffe- renzen vom Typus

auszudrücken, bedienen wir uns der Hilfsfunction i/;^

^.= (1 -^~'y = y' + K'f' + </""' + • •

Diese giebt

y =_log(l-'^J = t//, +ii//,2 + i-i//,3 + ...,

mithin

^/=^l{l + l-t/^i +i^i' +

Setzen wir also « f («) =/^o «-T*" + /^i A «--^«

j(„) ..«+2 / n + 2 \

+ ...,

ist

(18)

'1 ~ 2

3(„) w(3w + 5) ^2 = 24 '

3(n) _ n{n + 2)(w + 3) '2 - 48

u. s. w.

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 37

Was endlich die adjungirten Differenzen von der Form

f^;^-'{d) und ff{a)

betrifft, so kann man auch für sie ähnUche Hilfsfunctionen auf- stellen. Aus der Definition für diese Differenzen folgt, dass zwischen denselben folgende Relationen bestehen

(19)

Setzen wir in diese Ausdrücke die Reihen (12) ein, so be- kommen wir, wenn wir nach Potenzen von co entwickeln, für &J^^ und i).*^"' folgende Recursionsformeln :

(20)

^(« + 1) _ (j(n) _

CS— -<5--!, „

(t*TL)

(20*)

^(..H-l)_^(n)_

^2 ^2 -^(^^+ ^j

Zur vollständigen Bestimmung von Cf"^ und i)'."' brauchen wir noch die Werthe dieser Coefficienten für n =z 1. Es ist aber

= ![/'(« + «)-/•(«-«)]

if r(«) + -j^rw+n^r(«) + -.-,

t_'

38 Mechanische Quadratur.

und

/'o"(«)=/'o'(« + i«)-/'oH«-i«)

= /'(a + o>)+/'(a- w)-2/-(a)

= «Y" («) + ^r{a)-^^r{a) + . ..,

und man hat also

7)(l)_ 2 7.(l)_ 2 ^(i)_ 2

und hiermit sind die Werthe sämmtlicher Coefficienten &r' und D'^f völlig bestimmt. Diese Werthe lassen sich natürlich leicht aus den obigen ßecursionsformeln ableiten. Indessen geschieht diese Be- stimmung noch leichter, wenn man sich gewisser Hilfsfunctionen be- dient. Setzt man (21) GM = H{y)[ey-\-e-y-2Y-\

wo unter H[y) irgend eine von n unabhängige Function von y ver- standen wird, die mit y verschwindet, und die entweder gerade oder ungerade ist, so dass

WO s eine ganze Zahl bezeichnet, so bekommt man für die Coeffi- cienten Ä/") die Recursionsformeln

,(n + l) ,(n) 2

\ -\ = IT" '

"2 ■"2 - 16 ' 14

also Eelationen von der Form (20) und (20*). Es ist also ersieht-

§ 3. Relationen umsehen Differentialquotienten und Differenzen. 39

lieh, dass wir die Function H{j/) so bestimmen können, dass die Coefficienten ä.W entweder mit den Coefficienten (7/"^ oder mit i>.W zusammenfallen. Setzt man

H,{!/) = l/-bCf^I/' + Cf / + ..., so wird offenbar

r?Jy) .= H^ [y) [ey + e-y- 2)"-l = y^^-l + C^(n) y2n+l + C^in) ^2n+S + . _ ^

und führt man eine Function ff^iy), durch die folgende Gleichung definirt, ein

SO wird

Aus den Werthen der C.(i) und J)P-^ findet man, dass

y -p-y

UM 2 '

^2(^) = «' + ^"'-2-

Die beiden Hilfsfunctionen, die wir hier einzuführen haben, sind also die folgenden, die wir mit T[y) und /(?/) bezeichnen, nämlich

^„ [y) = i (^^ - «" ') i^" + e-y - 2f -1 ,

(22)

■/M = [ey + e-y -2Y, und man hat

Da

SO kann die Entwickelung von x ^^ leicht erhalten werden, nachdem X bekannt ist. Es wird

40 Mechanische Quadratur.

y^n + l I

12 -^ ^ 1440

'„ y -r 12 •5' ^ i44n -^ ^

(23) so dass

(23*)

^« = r"" + ^^3/'"-^' + — niö — ^ +

/o(n) n + 1 j.(7i) n

^1 =-12"' -^1 =12"'

^(n)_ 5w^ + 9w- 2 /)(")_ 5^^'^- w 2 "~ 1440 ' 2 -~ 1440

Will man die Differentialquotienten durch die Differenzen ausdrücken, muss man die Eeihen (23) umkehren, und somit ;/ durch T„, r„+i, t„+2, • • • und /„, Xn+i, Xnv2, • • ■ ausdrücken. Dies kann durch directe Umkehrung geschehen, oder indem man sich der analytischen Form der Hilfsfunctionen bedient, um die Transformation zu erleichtern. Zu dem Zweck bemerken wir, dass

(24) z.n = n>

und folglich braucht man nur die Entwickelung von y nach Potenzen von 7j aufzusuchen, um die betreffende Umkehrung zu erhalten. Es ist aber

( IL _ä\2

}(^ = ey -{- e-y — 2 = (e- — e 2 j und also

(25) y = 21og(r + ]/rTT2), wo

Mit Hilfe der bekannten Entwickelung der rechten Seite von (25) wird ?/ durch die Potenzen von Yx[ ausgedrückt und hieraus erhält man zuletzt

oder, was auf dasselbe herauskommt.

§ 3. Delationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 41

3/2" = Xn + SiXn+l + S^Xn+2 + • • • ,

und also auch

Die Aufsuchung der entsprechenden Entwickelung der Diffe- rentialquotienten ungerader Ordnung durch die adjungirten Func- tionen von der Form

t Ve («)

würde sich in dieser Weise nicht so leicht ergeben, und es ist vor- zuziehen, die Reihe (23) für r^ direct umzukehren. Wir erhalten somit

und die Umkehrung der Reihe für Xn giebt

o„ n , 5«' + 11»

y =Xn-^ Xn^X + 1440 /n + 2 - . . .

Auf die Differentialquotienten und die Differenzen übertragen, lauten diese Relationen

wo

^ (n) _ _ n + 1 ^{n) W_

^1 — 12 ' ^1 — 12 '

(„) _ 5w'^ + 21w + 22 ä(") _ 5»^ + 11?^

^2 - liTo ' 2 — niö '

Stellen wir die Resultate zusammen, haben wir also folgende

42 Mechanische Quadratur.

Ausdrücke für die Differentialquotienten durch die adjungirten Differenzen erhalten:

^+1 \ ,

24

''' 48

/•/■^^(a

+ . . .

,2«-l p.-l («) ^ f,n-l («) _ ^/;2" + l (a) +

,'2 -^^ ;j

5«^ + 21^^ + 22 .,„^3 ^ 1440 /x/, ^""^

„2n ^2. (a) = /;2« (a)_ ^^^2«+2(«) +

-t- 1440 /o W

Indem wir die Differenzen sechster und höherer Ordnung ver- nachlässigen, erhalten wir hieraus für w = 1 , 2 , 3 u. s. w.

§ 3. Relationen zwischen Differentialquotienten und Differenzen. 43

«Y^' (a) = f,'' [a + 2«) - 2/7 (a + |a>)-... «YM«) = ^^ (« + !«)_.. .

« /"^ («) = f,' (« - i «) + i^" (« - «) + i /;"'(« - f «) +

«Y" («) = /;" (« - 2«) + 2/;^ («_!«)+ ... «Y' («) = ro' («-1«) + ...

« r («) = /:;, («) - i /:;r («) + io f^i («) - • • •

( «Y" («) = ^" («) - tV /;"(«) + i^r» - • • • ^Y"(«)=/;"(«)-•••

Die beiden letzten Formelgi'uppen enthalten Differenzen mit nur ungeraden bez. mit nur geraden Ordnungszahlen, wogegen in

44 Mechanische Quadratur.

den zwei ersten Gruppen Differenzen aller Ordnungen vorkommen. Die Formeln III und IV sind deswegen stärker convergent und müssen daher bei numerischen Rechnungen vorgezogen werden, so oft nämlich diese Formeln überhaupt zur Anwendung kommen können. Es kommt indessen öfter vor, dass die in III und IV vorkommenden Differenzen nicht bekannt sind, obgleich die Diffe- renzen rechter Hand in I oder in II gegeben sind, und dann muss man sich der letztgenannten Formeln bedienen. Wir werden in den folgenden Paragraphen Gelegenheit finden, diese Verhältnisse näher zu beleuchten.

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur.

Nachdem wir die Relationen zwischen den Differentialquotienten und den Differenzen abgeleitet haben, ist es nun unsere Aufgabe in der Formel (5) § 2 für numerische Quadratur die daselbst vor- kommenden Differentialquotienten gegen Differenzen zu vertauschen, um zuletzt zu den definitiven Formeln für numerische Quadratur zu gelangen. Da in der EuLER'schen Reihe (in der Form (5) § 2) nur die Differentialquotienten ungerader Ordnung vorkommen, so erhalten wir drei verschiedene Quadraturformeln, je nachdem man das Formelsystem I, II oder III im vorigen Paragraphen benutzt.

Die EuLER'sche Formel lautete:

(1)

wo

p. [x] dx = «2 l[a-\- r(ß) + ^0) [l [a + s m) — l («)]

!=1

i^?,

(1*) 7?Ji - . /„^^ r,7-"+' V ;.-" [a + Ö,. oj + r co) .

und

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur. 45

Setzen wir hier nach § 3 (16) die Keihen

^2i-l X2i-l (« + 5 ft>) = V^--l L + SCO+ ^^ Co) +

+ ...

+ ... ein, so bekommen wir

a + äoj

/s— 1 'A [x] dx = öj 2 ''• (« + ^ ft>) + 1 w [A (a + 5 <y) — A (a)] r =0

<»2^2i Uo'-^-i(«+5wH-^^w) _;.^2i-lL_j_!^^

i=l

n-1

2 "/ "tJ V 2

a + -^a>

w

wo man auch das Eestglied durch die Differenzen ausdrücken kann.

46

Mechanische Quadratur.

Führen wir die numerischen Werthe der Coefficienten A„

in (1) ein, so ist

(3)

/s— 1 l [x) dx = f-j 2 A (a + r oj) + -1- w [A [a -\- s O)) — X («)] —

12

1 720

1

30240

[r (a + 50j)-r («)] +

+ T2öW-^t^™(« + -'^)-^-^"(«)]

Zur Abkürzung setzen wir

(4)

^. = w2^'(« + ^f*>) + i«[^(« + ^«) - ;.(«)]^

so dass I'^ also den gewöhnlichen Näherungswerth eines bestimmten Integrals bezeichnet.

Setzen wir die Werthe § 3 (I) in (3) ein, so bekommen wir

(5)

19 (j

720

[V"(«+^«+|«)-V"(« + l'>J)] +

+ f|r[VM« + ^« + 2o.)-V^(a + 2«)]-

160

^^[V (a + .r.+|«)-V (« + f ^^]] +

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur.

47

Unter Anwendung des Formelsystems II § 3 bekommt man

(6)

a

720

3w

[Ao'^ {a-\-sco-2o))- Ao'" (« - 2 «)] 60480 ^^o" (a + 5W-f «)-V' («-|«)]

160 863 ü)

Das System III giebt uns endlich, folgende bequeme Integra- tionsformel

C?)

a + s CO

Cx{x)dx = T^

12

[l\^^{a+ süi) -l\M +

Das Restglied habe ich hier nicht hingeschrieben, da sein ge- nauer Werth nicht aus der hier gemachten Untersuchung hervor- geht. Man bekommt in der That nach (1*) für das Restglied eine unendliche Reihe, deren Werth zuerst untersucht werden muss. Eine derartige Untersuchung liegt aber bis jetzt nicht vor, obgleich eine solche wohl ausführbar wäre. Ohne Zweifel würde eine solche Untersuchung von der aUergrössten Bedeutung für den praktischen Rechner sein, und es lässt sich a priori erwarten, dass das wichtige Resultat sich ergeben würde, dass, für hinreichend kleine Werthe von (0, der Fehler bei der Anwendung irgend einer von diesen

48

Mechanische Quadratur.

Formeln kleiner ist als der doppelte Betrag des ersten vernach- lässigten Gliedes, analog wie es der Fall ist, wenn man rechter Seite die Difierentialquotienten statt der Differenzen benutzt.

Von besonderem Interesse in astronomischer Hinsicht ist der Fall, wo in den obigen Formeln s = \ gesetzt wird. Indem wir bemerken, dass

und dass T^ in folgenden verschiedenen Formen geschrieben werden kann:

7; = w ;. (a) + -1- w [X {a + «) - A («)] =

= w /L (a) + i w /"vp^ [a + -|- w) =

= w /l (« + «) — 1 w /l(|' (a + l" &*) =

= |-[A(a + «) + A(a)],

so erhalten wir aus (5) für s = 1:

(8)

fl [x] dx = w l («) + i « ^^0' (« + i ^'^) -

\

863

60480

^V'(« + 3o>) +

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur.

49

und aus (6):

(9)

I l [x] dx = CO /L (a 4- 0)) — ~ A,,' (« + -i- w) —

24 "0 ^"'	2 "'>/
720 '^o ^"^	- o>)-
160 ^0 («	-1«)-
863 w 5 VI / 60480 0 l«	-2w)-

Was die Formel (7) betrifft, so lässt sie sich, für ähnlicher Weise umformen. Führt man die Bezeichnung

(10) f:l (« + i «) = 1 [f; (a + CO) + fl' («)]

ein, so wird nämlich

f^-\ + 0.) - f:;-\a) = /•^;(a + 1 o.),

und aus (7) erhalten wir also für s = 1 :

\ 'k[x)dx = 0) Ai/j (« + ^ w) —

= 1, in

(11]

- -^ A" («+!«) +

191ü)

60480

A-(« + |.ö,) +

+ •

Chaklier, Mechanik des Himmels. II.

50

Mechanische Quadratur.

Die Formeln (8), (9) und (11) genügen, um die numerische Be- rechnung von Integralen bequem auszuführen. Es wird sich aber empfehlen, die Formel (9) gegen eine andere zu vertauschen, die eine andere Reihe von adjungirten Differenzen enthält, nämHch die- jenigen Differenzen, welche der Function l[a) adjungirt sind, statt der Differenzen, welche zu der Function A(a + «>) gehören und die in (9) vorkommen. Aus dem Differenzschema erhält man unmittelbar die folgenden Relationen

l (a + «) = A (a) + l^' [a-\ w) + Z^" (« " ^^) + ^o'" (« - f w) + . . .

V (« + i«) = V(« - i^) + V(« - «) + V"(« - foj) + ...

A^"(a_w) + Ao"^(a_|oj)+.

V"(a

«)+...

u. s. w., und setzt man diese in (9) ein, so erhält man

(12)

1/M.)^.=

;. [a]

1 2	A; [a -	-i«) +
5 12	V(«-	- w) +
3 8	V"(«-	-!«) +
251 720	l-{a-	-2o.) +
95 288	K (« -	-fr.) +
19087 fin4.80	K"" (« -	-3o.) + ...

Ich habe neben den obigen Formeln durch einen Pfeil die Richtung derjenigen Linie angegeben, an der die adjungirten Diffe- renzen des ersten Elementes im Differenzschema liegen.

§ 4. Formeln für mechanische Quadratur.

51

Wir werden im nächsten Paragraphen näher untersuchen, unter welchen Bedingungen man die eine oder die andere der obigen Formehl zur numerischen Berechnung eines Integrales wählen soll. Die Formeln (8), (12) und (11) sind hierfür die bequemsten und ich stelle sie hier nochmals zusammen:

^-h{x)dx= l [a) + ^rX{x)dx =

(A)

+ 1 V (« + i«)

— i^V(«+ (o) +

-^V^(« + 2«) +

A {a)

+

(B)

+	2	^^0^	{a-	- hoj) +
+	5 12	^o"	[a -	- w) +
+	3 8	^o"	[a -	-lw) +
+	251 "720	^o'^	[a -	-2«) +
+	95 288	^0^	[a -	-f«) +

+ .^

i/^('

x]d:

hj„ (a + \(o)

— A"J« + |«) +

(C)

+ W ^'I(« + i«)

''' ll[a + \co) +

60480 V + ...

Ich werde diese Formeln im Folgenden kurzweg mit (A), (B) und (C) bezeichnen.

Zuletzt werde ich noch eine Integrationsformel ableiten, die

52 Mechanische Quadratur.

in vielen Fällen grosse Vorzüge besitzt. "Will man das definite Integral

/<^(0

dt

mittelst mechanischer Quadratur berechnen, so wird das Intervall b — am eine Zahl — s — von Theilen getheilt, und man geht bei der Berechnung von den Werthen der Function cp{t) für t = a, ö + w, a + 2w, ... a -\- sfß aus, wo

b — a

ist. Hieraus erhält man unmittelbar den Werth von T^. Um aber auch die Werthe der in die Formeln eingehenden Differenzen zu erhalten, wird es nothwendig werden, noch einige Functionswerthe zu berechnen, nämlich für t = a -\- [s -{- \)(x) , t = a -{- [s -{- 2) lo u. s. w., oder für t = a — co, ^ = a — 2oj, u. s. w. Es erscheint deswegen als wünschenswerth eine Formel abzuleiten, wo nur solche Differenzen vorkommen, die aus den Functionswerthen cp{a), cp{a -j- co), . . ., ff{b) erhalten werden können, und eine solche Formel ist in der That leicht zu erhalten. Man muss zu dem Zweck in der Formel (3) für

X-^'~^ [a + s m)

die adjungirten Differenzen von der Form

und für

die adjungirten Differenzen von der Form

einführen. Aus der Combination von I und II im vorigen Para- graphen findet man unmittelbar die gesuchte Form und da sie unter Umständen von Nutzen ist, so führe ich sie hier an. Man bekommt:

(13)

§ 5. Nwm&risGlie Beispiele. 53

o+sw a

- ^ [VM« + ^«- f'.) + VMa+ 0.)]

- w [V"(« + ^«-l«)-V (« + !«)]

- W l^^o"' {a + so,-2co) + A„'^ (« + 2f.)] -^ ^^^0^' (« + ^ « - f «) - >.o' (« + I«)]

eine Formel, die ebenso einfach ist wie die Formeln (5) und (6) und die nur die Kenntniss der Functionswerthe innerhalb der Inte- grationsgrenzen erfordert.

Wird in (13) s = 1 gesetzt, so kommt man, nach einigen Um- formungen, auf die Formel (C) zurück.

§ 5. Numerische Beispiele.

Bei den numerischen Anwendungen der Formeln für mecha- nische Quadratur muss man zwischen zwei wesentHch verschiedenen Fällen unterscheiden. Wir nehmen an, dass die folgende Differen- tialgleichung zur Integration vorgelegt sei:

(^) -01 = "^'

Es kann dann vorkommen entweder, dass (p eine gegebene und völHg bekannte Function von t ist, oder dass die Function cp so- wohl von t wie von x abhängt.

Im ersteren Falle ist

dx ,...

und

X = \ cp{t)dt. h

54 Mechmiisclie Qiuidratur.

Die Formeln im vorigen Paragraphen lassen sich hier direct anwenden. Man theilt das Intervall zwischen t^ und t^ in s Theile, so dass

CO = — ^,

s

berechnet die Werthe von (f'{t) für t=tQ, t=fQ-\-(o, t=tQ-\-2(o,..., t=t-{-soi = t^, und bildet das entsprechende Differenzschema. Wenn es nöthig ist, berechnet man auch einige Werthe der Function cp{t) für solche Werthe von t, die ausserhalb des Gebietes t^ — % Hegen. Irgend eine von den Formeln (5), (6), (7) oder (13) im vorigen Para- graphen giebt dann ohne weitere Schwierigkeit den gesuchten Werth des Integrales,

Wir nehmen beispielsweise an, dass man das Integral

10

t

=/4

berechnen will. Hier ist cp{t) = — und man muss zuerst einen

bestimmten Werth für co wählen. Je kleiner w gewählt wird, um so genauer lässt sich der Werth des Integrales berechnen. Es ist nicht immer zu erwarten, dass man die Genauigkeit — was für einen Werth co auch haben mag — dadurch beliebig gross machen kann, dass man hinreichend viele Glieder in den Integra- tionsformeln mitnimmt. Wir wissen schon, dass diese Reihen im Allgemeinen divergent sind und dass die Glieder im Allgemeinen nicht gegen Null abnehmen, sondern hinreichend weit in der Reihe in vielen Fällen sogar zu wachsen anfangen. Wenn man aber oj hinreichend klein macht, so kann man immer — wenn es sich um analytische Functionen handelt — die Genauigkeit beliebig weit treiben und zwar aus zwei Gründen, theils weil die Differenzen mit abnehmendem w kleiner werden, theils weil jedes Glied in den Inte- grationsformeln « als Factor enthält.

In dem vorliegenden FaU liegt es am nächsten oj = 1 zu wählen. Da aber die untere Grenze des Integrales nahe einer

§ 5. Nimierische Beispiele. 55

Unendlichkeitsstelle der Function qD(^) liegt, so werden die Differenzen

i

Y

sehr gross und es empfiehlt sich m kleiner zu wählen.

Die folgende Tabelle enthält die Resultate, die man für co = \ erhält. Es ist nicht nothwendig die Differenzen in der Mitte des Schemas auszuschreiben, sondern es genügen so viele Differenzen im Anfang und am Ende, wie erforderlich sind, um die in der Formel vorkommenden Differenzen zu erhalten.

t	1	<Po'	«^o"	«Po«'	<' <
1.0	1.0000	-0.3333
1.5	0.6667	-0.1667	+ 0.1666	-0.099{)
2.0	0.5000		+ 0.0667		+0.0665
		-0.1000		-0.0334	-0.0473
2.5	0.4000	-0.0667	+ 0.0333	-0.0142	+ 0.0192
3.0	0.8833	-0.0476	+ 0.0191
3.5	0.2857
4.0	0.2500
4.5	0.2222
5.0	0.2000
5.5	0.1818
6.0	0.1667
6.5	0.1538
7.0	0.1429
7.5	0.1383	-0.0083
8.0	0.1250	-0.0074	+ 0.0009	-0.0000
8.5	0.1176	-0.0065	+ 0.0009	-0.0002
9.0	0.1111	-0.0058	+ 0.0007	-0.0002
9.5	0.1053	-0.0053	+ 0.0005
LÜ.O	0.1000

56 Mechanische Quadratur.

Die Tabelle giebt

T= 2.3227

l^^ {a-\- SCO - \co) - X^' (a + |oj) = + 0.3280 V' {a + sa- w) + Z^" [a + «) = + 0.1671 V" (« + 5 ft) - |fo) - A^"' (« + !«) = + 0.0997 V"" (a + 5w - 2fo) + V^(a + 2ro) = + 0.0665 1/ (a + s w - |w) - V (« + f w) = + 0.0473

und nach (13) § 4 bekommt man also, wenn man die Differenzen der sechsten und höheren Ordnungen vernachlässigt,

/

10

dt

^ = 2.3033

i

Der wahre Werth ist 2.3026 und der Fehler ist also 7 Ein- heiten in der vierten Decimalstelle. Die Nähe der Unendlichkeits- stelle der Function (p {t) macht sich noch fühlbar. Wäre die untere Grenze weiter von Null entfernt, würde man, mit demselben Werth von CO, bedeutend genaueren Werth für das Integral erhalten können.

Bei der numerischen Rechnung empfiehlt sich den Coeffi- cienten der dritten Differenzen in der Form

19 _ _i i_

720 "" 36 720

ZU schreiben. Für den Coefficienten der vierten und fünften Diffe- renzen kann eine ähnliche Umformung von Nutzen sein, indem nämHch

3

=

1

40

1

160

863

1

60480 70 60480

ist.

In demjenigen Specialfall der Gleichung (1), den wir jetzt be- handelt haben — dass nämlich cp nur eine Function von t ist — ,

§ 5. Numerische Beispiele. bl

sind die Schwierigkeiten bei der Berechnung der Integrale von nur technischer Natur. Liegt die Aufgabe vor, eine zusammengehörige Reihe von Integralen zu berechnen, so sind gewisse systematische Anordnungen der Berechnung von Nutzen. Man findet diese Seite des Problems in den grundlegenden Arbeiten von Encke in dem „Berliner astronomischen Jahrbuch" für 1837 und 1862 aus- führlich auseinandergesetzt. Diese Rechnungsvorschriften, die man jetzt in den meisten Lehrbüchern wiederfindet, sind besonders für die numerische Berechnung der speciellen Störungen der Planeten ausgearbeitet.

Ist die rechte Seite von (1) nicht nur von t, sondern auch von X abhängig, gestaltet sich die numerische Berechnung des Integrales bedeutend schwieriger. Die numerischen Werthe der Function cf {x, t), für eine Reihe von Werthen von t, lassen sich dann nicht "direct berechnen und die Berechnung des Integrales kann nur geschehen, indem man schrittweise um ein Intervall w von\'ärts geht.

Wir nehmen zuerst an, dass die Werthe für (p und x für eine Reihe von ^-Werthen bekannt sind. Wir nehmen an, dass diese Werthe für t = t^, t — t^ — co, t = t^ — 2 co , ... bekannt sind und wir wollen den Werth von x für t = t^ -\- co erhalten.

Aus den gegebenen Werthen von (p können wir nun die Diffe- renzen

9Po'(^o-i«)» <(^-«). ^o'"('-|«). •••

erhalten, und setzen wir diese Werthe in (B) ein, so erhalten wir das Integral

/

h + co

cp dt,

und also auch den Werth von x für t= t^^ + (o. Mit Hilfe dieses Werthes berechnet man den Werth von (f für x = t^ -\- co , woraus eine neue Reihe von Differenzen erhalten wird. Aus (B) folgt dann der Werth von x für t=t^-{-2co, und die Rechnung kann beliebig weit fortgesetzt werden.

Wir haben hier vorausgesetzt, dass eine Reihe von r/^^-Werteu schon vorliegt. Es ist auch nothwendig zu zeigen, wie man die

58 Mechanische Quadratur.

Rechnung anlegen soll, wenn nur der Werth für t — t^ bekannt ist, wenn man also die Rechnung „anfangen" soll.

Wir bezeichnen den Werth von x für t = t^ -^ Im mit x^, und den entsprechenden Werth von ff mit cf^. Beim Anfang der Rech- nung ist nur x^ und q^^ bekannt.

Der Zuwachs von x, indem t von ^^ bis t^ + w wächst, wird aus der Formel [k) erhalten, die hier lautet:

to + O}

•^•i - Xi,= J(p[x,t)dt= (0{(f {t^)

+ i < (^0 + ¥^) -

(2)

In dieser ist aber nur das erste Glied rechter Seite bekannt. Wenn aber co verkleinert wird, so weiss man, dass das zweite Glied in der Parenthese auch verkleinert wird, ivogegen das erste Glied — cp [t^ — unverändert bleibt. Wir können deswegen für kleine w in der ersten Annäherung

(3) X^ = ^/l' = X^ + 09 9„

setzen. Mit diesem Werth von x^ berechnet man einen genäherten Werth für (f'{x^, t -\- co), den wir r/^^'^' nennen wollen. Der Unter- schied zwischen ^^'^' und cp^ giebt uns einen genäherten Werth für ffo^it^ + -g-w), welcher in (2) eingesetzt einen verbesserten Werth für x^ giebt. Mit diesem Werth für x^ wird ein verbesserter Werth für ^-Q^it^ + ^f-o) berechnet und gleichzeitig ein genäherter Werth für x^ , aus dem ein Werth für r^^" [t^ + ro) hervorgeht. Die Rech- nung wird wieder vom Neuen angefangen und so lange fortgesetzt, bis hinreichend genaue Ausgangswerthe für x und (p erhalten worden sind.

Das Rechnungsverfahren, das ich oben skizzirt habe, und das in der Praxis oft recht mühsam ausfallen kann, ist in der

§ 5. Numerische Beispiele. 59

Hauptsache mit einer Entwickelung von x nach den Potenzen von w, d. h. nach den Potenzen von t—t^, identisch. In denjenigen Fällen, in denen es nicht allzu unbequem ist, die Difierential- quotienten von cf analytisch darzustellen und numerisch zu be- rechnen, wird es geeignet sein, die Berechnung der Anfangswerthe für X durch eine directe analytische Entwickelung nach den Potenzen von CO auszuführen. Es ist

(4) jcpdt=o,cp + ^cf^^^cp- + -^cf-^^...,

wo zu bemerken ist, dass die Werthe für die Function cp und ihre Ableitungen für t=tQ zu berechnen sind, und dass sämmtliche diese Functionen von t wie von x abhängen. Es ist also

I d (p dtp dx d (p d (p

, (d<pY , o d'cp

Als einfaches Beispiel nehmen wir an, dass die folgende Diffe- rentialgleichung vorgelegt wäre:

dx

~di ~'^'

mit der Bedingung, dass x = 1 ist für t = 0. Es ist also

i

(5) x-1 = Cxdt.

0

Werden die Anfangswerthe mittelst einer Potenzreihe berechnet, so gestaltet sich die Rechnung hier sehr einfach, indem diese nämlich lautet:

60 Mechanische Quadratur.

Setzen wir w = 0.1 und berechnen aus der Potenzreihe die Werthe von x für t=co, 2(.o und 3w, so können die übrigen Werthe mittelst (B) berechnet werden. Wir erhalten

t	X = (f	W	<fo"	•Po"'	W^
0.0	1.0000	+ 0.1052
0.1	1.1052	+ 0.1162	+ 0.0110	+ 0.0012
0.2	1.2214	+ 0.1284	+ 0.0122	+ 0.0014	+ 0.0002
0.3	1.3498	+ 0.1420	+ 0.0136	+ 0.0013	-0.0001
0.4	1.4918	+ 0.1569	+ 0.0149	+ 0.0016	+ 0.0003
0.5	1.6487	+ 0.1734	+ 0.0165	+ 0.0017	+ 0.0001
0.6	1.8221	+ 0.1916	+ 0.0182	+ 0.0020	+ 0.0003
0.7	2.0137	+ 0.2118	+ 0.0202	+ 0.0021	+ 0.0001
0.8	2.2255	+ 0.2341	+ 0.0223	+ 0.0023	+ 0.0002
0.9	2.4596	+ 0.2587	+ 0.0246
1.0	2.7183

Die Berechnung der .r- Werthe geschieht viel schneller und an- genehmer mittelst mechanischer Quadratur als mit Hilfe der Potenz- reihe. Die letzte Zahl giebt den Werth von e — der Basis der natürlichen Logarithmen — genau bis auf die vierte Decimalstelle.

Wollte man in diesem Falle auch die Anfangswerthe mittelst mechanischer Quadratur berechnen, würde sich die Eechnung folgendermaassen gestalten.

Wir setzen

=/

im dt.

(z-l)o.

Die Werthe, die man für zl"'^ in der ersten, zweiten u. s. w. Annäherung erhält, bezeichnen wir mit A-^^^\ Jg® ^- ^- '^• Nach (3) erhalten wir in der ersten Annäherung

J^d* = w:r^ = 0.1,

woraus für x das genäherte Differenz Schema

§ 5. Numerische Beispiele. 61

1.0000

+ 0.1000 1.1000

entsteht. Mittelst (A) berechnen wir hieraus einen Werth für J<^> in der ztoeiten Annäherung

A^'^' = 0.1 [1.0000 + 0.0500] = + 0.1050 und mittelst (B) einen Werth für A'-'^^ in der ersten Annäherang 4^2) = + 0.1150. Wir erhalten hieraus das zweite Differenzschema für x:

1.0000

+ 0.1050 1.1050 +0.0100

+ 0.1150 1.2200

Wir können nun die dritte Annäherung für J*^' vornehmen, welche giebt [nach (A)]

^3'!' = + 0.1052.

Die zweite Annäherung für J*^) giebt nach (A)

J^'^' = + 0.1163

und die erste Annäherung für J'* ist nach (B)

zl,<3)= 4. 0.1282.

Wir erhalten hieraus das dritte Differenzschema:

1.0000

+ 0.1052 1.1052 +0.0111

+ 0.1163 +0.0008

1.2215 +0.0119

+ 0.1282 1.3497

Noch eine vierte Annäherung muss gemacht werden, die aber nur unbedeutende Correctionen der eben erhaltenen Werthe giebt.

62 Mechanische

Dann erhalten ^vir aber die endgültigen Anfangswerthe, mit denen man nach (B) in derselben Weise wie früher fortsetzen kann.

Wenn man die Formel (B) mit der Formel (9) des vierten Paragraphen vergleicht, so findet man, dass die Coefficienten der Differenzen in (9) bedeutend kleiner sind als die entsprechenden Coefficienten in (B), woraus folgt, dass, so oft eine Wahl möglich ist, die Formel (9) der Formel (B) vorzuziehen ist. Wenn es sich um den allgemeineren Fall handelt, dass in den Diö'erentialquotienten sowohl die abhängigen wie die unabhängigen Veränderlichen vor- kommen, also wenn in der Differentialgleichung

dx

-dt = 'f

die rechte Seite von t und x abhängt, so kann die Formel (9) nicht direct zur Anwendung kommen, wogegen man mittelst (B) mit den Integrationen schrittweise vorwärts schreiten kann.

In indirecter Weise kann aber die Integration auch mit Hilfe von (9) allein ausgeführt werden. ^ Wenn nämlich die Functions- werthe für t = t^, t^ — oj, t^ — 2 oj u. s. w. gegeben sind, so kann man durch Extrapolation sich einen Functionswerth für t = t^ -\- oi verschaffen und sich dann der Formel (9) für die Integration be- dienen.

Eine solche Extrapolation kann beispielsweise so geschehen, dass man eine Differenz höherer Ordnung — etwa der 4^^^^ oder 5ten Ordnung — als constant betrachtet und dann durch eine ein- fache Addition den Functionswerth für t ^ t^ + a und die ent- sprechenden Differenzen höherer Ordnung ableitet.

Der extrapolirte Functionswerth stimmt nicht immer mit dem durch die Integration erhaltenen Werth für die gesuchte Function überein. Es wird dann nothwendig sein, eine neue Kechnung aus- zuführen, unter Anwendung des durch die Integration erhaltenen Functionswerthes.

^ G. H. Darwin, der die mechanische Quadratur in grosser Ausdehnung benutzt hat, bedient sich immer der Formel (9).

§ 5. Numerische Beispiele. 63

Ist das Intervall w zu gross gewählt, so lässt sich mittelst (B) der Werth des Integrales nicht mit hinreichender Genauigkeit be- rechnen. Es ist dann im Allgemeinen nothwendig, die Rechnung mit kleinerem ffj-Werthe durchzuführen. Wird das Intervall oj gegen moj vertauscht, so werden die Differenzen n^^^ Ordnung um m" ver- grössert bez. verkleinert, je nachdem m grösser oder kleiner als die Einheit ist. ^ Wenn man beispielsweise das Intervall halbirt, w-erden die Differenzen l'^"" Ordnung halbirt, diejenigen der 2***° Ordnung viermal verkleinert, der S**"" Ordnung achtmal verkleinert u. s. w. Eine Halbirung des Intervalles hat also einen bedeutenden Einfluss auf die Convergenz der Integrationsformehi.

Die Wahl von co hängt von der bei der Integration beabsich- tigten Genauigkeit des Resultates ab. Je kleiner co ist, desto grösser ist die Genauigkeit, die bei der Rechnung erreicht werden kann. Es kann auch vorkommen, dass die Formel (B) die ge- wünschte Genauigkeit nicht giebt, dass dagegen eine solche mittelst (9) erreicht werden kann. In diesem Falle müssen bei jeder Inte- gration zwei Annäherungen gemacht werden, indem man einmal die Formel (B) benutzt und sich hierdurch einen genäherten Werth des Functionswerthes verschafft, und dann mittelst (9) eine zweite Inte- gration ausführt. Man kann in solchem Falle vielleicht mit gleichem Vortheil bei beiden Annäherungen sich der Formel (9) in oben be- schriebener Weise bedienen.

Bei der numerischen Rechnung muss man darauf achten, nicht allzu viele Glieder in der Integrationsiormel mitzunehmen. Diese Formel ist fast immer divergent, und es ist also kein un- bedingter Vorteil, sehr viele Glieder in der Formel zu benutzen. In der Praxis bin ich dem Prinzip gefolgt, die Reihe mit dem kleinsten Glied abzubrechen (das kleinste Glied wird nicht mit- genommen), und den Fehler ungefähr gleich dem doppelten Betrag des kleinsten Gliedes geschätzt. Es ist zwar, wie oben bemerkt worden ist, nicht bewiesen, dass dem wirklich auch so ist, aber das

* Vgl. Eice: The Theoiy and Praetice of Interpolation, wo man über verschiedene Fragen, die mit dem hier behandelten Thema zusammenhängen, interessante Aufschlüsse findet.

64 Mechanische Quadratur.

wahre Resultat wird nicht weit hiervon abweichen, wenn (o so klein gewählt worden ist, dass die Differenzen innerhalb des Intervalles nicht das Zeichen wechseln.

Wenn es sich um die Berechnung eines Doppelintegrales handelt, kann man entweder das obige Integrationsverfahren zweimal benutzen, oder die zweifache Integration direct ausführen, wofür man mit (A), (B) und (C) analoge Integrationsformeln aufstellen kann. In- dessen ist die letztere Methode im Allgemeinen nicht zu empfehlen, wenn im Ausdrucke für das zweite Differential sowohl die unab- hängige Veränderliche, wie die abhängige Veränderliche und deren erster Differentialquotient vorkommt, also wenn die Differential- gleichung die Form

(Px I dx\

rfF = -^ (^' ^' m]

hat. Man führt dann besser eine neue Veränderliche

dx

y = -dt

ein und schreibt die Grleichung in der Form dy

(6)

dt '^(^'^'^)' dx

dt

= y^

welche Gleichungen mittelst der Formeln (A), (B) und (C) integrirt werden können.

Die canonischen Differentialgleichungen in der Mechanik haben alle diese Form, und um die Frage von der Integration solcher Gleichungen mittelst mechanischer Quadratur zu Ijeleuchten, werde ich hier die Integration der canonischen Differentialgleichungen mit zwei Freiheitsgraden an einem bestimmten numerischen Beispiele ausführlich auseinandersetzen.

Es handelt sich um die Bewegung eines Körpers mit ver- schwindender Masse, der von zwei Körpern m^ und m^, die sich in einem Kreise um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, attrahirt

§ 5. Numerische Beispiele. 65

wird. Die rechtwinkligen Coordinaten q^ und g^ sind auf den Schwerpunkt bezogen, und die ar-Achse dreht sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit, so dass sie stets gegen die Masse m^ gerichtet ist. Die Geschwindigkeit — n — der Achsendrehung hat somit den Werth

(7) n = ]/rVf^ = l+ !" =l+v,

1 + yi + fi

wenn wir die Masse des grossen Körpers — tw^ — mit Eins be- zeichnen und die Masse von m^ mit fi.

Die Differentialgleichungen der Bewegung sind nach § 8 des ersten Abschnittes

(8)

wo

und p^ und o^ die Abstände des massenlosen Körpers von m^ und m^ bezeichnen.

Die Gleichungen (8) besitzen das Integral

wo

(9-) 2i2 = ,,' + |-+^(,/+A)

ist.

Die Anfangslage und die Constante C wurden so gewählt, dass sie einer der von Darwin in seiner Arbeit „On periodic orbits" berechneten periodischen Lösungen der Differentialgleichungen (8) entsprachen. Für ^i ist derselbe Werth wie in der betreffenden Arbeit Darwin's, nämlich

^ = 0.1 ,

Charlier, Mechanik des Himmels. II. 5

66 Mechanische Quadratur.

angenommen, und für C der Werth

(7=3.950.

Die Werthe der Coordinaten und der Geschwindigkeiten für t = 0 sind

^jO = _ 0.97409 , ^2« = 0.00000 ,

9i"= 0, y/«= 1.462,

welcher letztere Werth aus dem angenommenen Werth für C er- halten worden ist. Die Differentialgleichungen geben hieraus

A' = 0, p/ =-2.484,

;,/«=+ 21.94, ;)/o= 0.

Für das Intervall oj wurde der Werth

CO = O.Ol gewählt.

Die Berechnung der Werthe von g. und p. für ?'=0.00, O.Ol, 0.02 , 0.03 wird hier übergangen. Sie geschah in früher be- schriebener Weise mittelst mechanischer Quadratur, könnte aber in diesem Falle leichter durch Entwickelung nach Potenzen von t er- mittelt werden. In der folgenden Tafel I sind also die Werthe von g^', g^', p/, p^' für ^=0.00, O.Ol, 0.02 und 0.03, und die entsprechenden Differenzen als gegeben anzusehen.

Die Rechnung geschieht auf drei verschiedenen Zetteln, welche wir als Blatt I, 11 und III bezeichnen wollen. In Blatt I werden die jedesmal erhaltenen Werthe von g^', g^', p^^ p^ eingetragen. Auf Blatt n wird die Berechnung dieser Werthe aus der Formel (8) ausgeführt und endlich werden auf HI die Integrationen vollzogen.

Das Intervall [At — O.Ol) ist etwas zu gross gewählt, so dass die Formel (B) nicht hinreichend genaue Werthe für die Integrale giebt, wie man aus der Grösse der vernachlässigten Differenzen findet. Die Ungenauigkeit ist aber nicht so gross, dass eine Ver- kleinerung des Intervalles nothwendig ist, sondern ich habe vorge- zogen, die Rechnungen für jedes Intervall zweimal auszuführen,

§ 5. Numerische Beispiele. 67

indem das erste Mal die Integrationsformel (B), das zweite Mal die Formel (9) benutzt wurde.

Der Gang der Eechnung ist somit der folgende, nachdem sie bis t = tf^ fortgeschritten ist.

Zuerst werden auf Blatt III unter Anwendung der Formel (B) die Werthe von ^^, g^, p^ und p^ für t=t^-\-(x) berechnet. Mittelst dieser Werthe werden auf Blatt IL die entsprechenden Werthe der Ableitungen q^', q^, p^, p^ erhalten. Diese Grössen, die nur als Annäherungen zu betrachten sind, werden mit Bleistift in die Tabelle I eingetragen. Man kehrt dann zum Blatte III zurück und führt die Integration zwischen t^ und t^ -\- w mittelst (9) aus. Die so erhaltenen Coordinatenwerthe geben auf Blatt 11 die defini- tiven Werthe der Ableitungen, welche dann in das Blatt I einge- tragen werden.

Die Rechnung, die durchgehend vierstellig geführt wurde, hat folgendes Aussehen.

(Siehe Tabellen auf Seite 68—85).

Die zweifache Ausführung der Integration und die entsprechende zweifache Berechnung der Ableitungen auf Blatt 11 ist natürlich ein Uebelstand, der vermieden werden könnte, wenn man das Intervall verkleinerte, z. B. halbirte. Man würde aber hierdurch nicht an Zeit gewinnen, sondern umgekehrt, da die Berechnung der Ableitungen — der mühsamste Theil der Arbeit — bei der zweiten Rechnung verhältnissmässig bequem ist. Erstens kann man die Rechenarbeit hier dadurch sehr erleichtern, dass man bei der ersten Rechnung die Tabellendifferenzen bei allen Logarithmen einträgt, wie es in der folgenden Rechnung in der kleinen Columne jedes Inter- valles geschehen ist. Hierdurch erspart man bei der zweiten Rech- nung alle Nachschlagungen von Logarithmen. Zweitens sind gewöhn- lich die bei der ersten Annäherung erhaltenen Werthe so genau, dass man nur einen Theil der zweiten Rechnung auszuführen braucht. In der obigen Rechnung sind für ^ > 0.12 nur un- bedeutende Correctionsrechnungen bei der zweiten Annäherung er- forderlich.

5*

68

Mechanisehe Quadratur.

\	<£>	o	lO	lO	,_,
	■^

o	o	o	o	o	o
o 1	t	o 1	o 1	o 1	o I

o

co

\

CD

00

o

CO

o

=D

i

CO

in

CO •TD

lO

§

CO

c-

<J5

t-

1

o

1

o

1

c

1

o

1

o

1

o

1

o

1

o

1

o

1

o

1

i

o

3

CO

o

s

o

§

o

OD

o

C5

o

5<l

CO

■^

o

(M	-^	o	OD


o	o	o	o
o	o	o	o
+	+	+	+

	,_<			o	J-i
				IM
o	o	o	o	o	o
o 1	o 1	o 1	o 1	o 1	o 1

i

CO

CO iC CO

1«

05

CO

t-

2

IM

00

in

CO 00

o

00

CO lO CO 00

CO IM

ao

in

5

00

oo

o

00

CO

(M

CO

o

+

g

o

§

CO

o

§

s

§

o

-

N

CO

^

12

o

§ 5. Nttmerisehe Beispiele.

69

o q q o ö ö d ö i + + I

CO

B

o

b

o

1

g

o

1

o 1

o

+

o

+

o

+

o

+

o

+

o

+

1

o

-*

g

CD

00

CO

o

CO

m

CD

CO

o

^

00

^:l

w

Od

(M

;i;

o

C-.

CO

t-

CO

lO

o

+

i

o

§

s

§

5

§

o

^

w

cc

■*

lO

o

o ^

o

ö

o

6

ö

= o

1 1

o

1

o

1

o

1

o

i

o

+

I I

^ c; o

+ +

lO CO in T-i

CO t- Ol 00

(M i-H tH o

+ + + +

			CO	,_4
o		o

lO	l-H	CO	lO	■*
1	1	o 1	o 1	o 1

05

cn

05 (M

CO

o

00

(M

g

00

'*

1

o:

1

CO

i

CO CO

C5

»3

g

00

■*

;^

t-

>«

CO

^

==^

o

C'

^

'-^

^

—

+

1

s

o

§

o

§

s

CO

o

^

(M

CO

Tjl

lO

o

*

70

Mechanische Quadratur.

t	0.04	0.05
(?1	-0.959580		-0.959552	-0.952616		-0.952589
'■-.:.	-1.050489		-1.050461	- 1.043525		- 1.043498
^'-r^.	, -0.050489		-0.050461	-0.043525		-0.043498
?J	-0.05399		-0.054010	-0.064992		-0.064976
^^^(^-i:.)	0.0214,.	41	0.0214„	0.0185„	42	0.0185„
^'^(^^■"l + J	8.7032„	9	8.7030„	8.6387„	10	8.6384„
log 5^2	8.7323„	8	8.7325„	8.8128„	7	8.8127„
log ?2-	0.0428		0.0428	0.0370		0.0370
7.4646		7.4650	7.6256		7.6254
?2^	1.1036 0.002915	2 6	1.1036 0.002917	+ 1.0890 + 0.004223	2 10	+ 1.0890 + 0.004221
?l'	1.1065		1.1065	+ 1.0932		+ 1.0932
log Ol'	0.0439	39	0.0439	0.0387	40	0.0387
log^i	0.0219.5		0.0220	0.0194		0.0194
'°«('' + i!J	7.4064		7.4060	7.2774		7.2768
	0.002549 0.002915	6	0.002547 0.002917	0.001894 4223	5	0.001891 4221
?2»	0.005464		0.005464	+ 0.006117		+ 0.006112
log 92'	7.7375	8	7.7375	7.7866	8	7.7862
l0g?2	8.8687.5		8.8688	8.8933		8.8931
?2	-0.05399	! -0.054010	-0.064992		-0.064976
»'J«	-0.00263	-0.00263	3172		3171
W?2	-0.05662	-0.05664	-0.068164		-0.068147
^1	; +0.7087		+ 0.7085	+ 0.8036		+ 0.8029
?l'	! +0.6521		+ 0.6519	+ 0.7354		+ 0.7347

§ 5. Numerische Beispiele,

71

0.07

-0.944963		-0.944942	-0.936870		-0.936868
-1.035872		-1.035851	-1.027779		-1.027777
-0.035872		-0.035851	-0.027779		-0.027777
-0.074749		-0.074738	-0.083376		-0.083359
0.0153„	42	0.0153„	0.0118„	42	0.0118„
8.5548„	12	8.5546„	8.4437„	15	8.4437„
8.8736«	6	8.8735«	8.9211„	6	8.9210„
0.0306		0.0306	0.0236		0.0236
7.7472		7.7470	7.8422		7.8420
+ 1.0730	2	+ 1.0730	1.0558	3	1.0558
+ 0.005588	13	+ 0.005585	0.006953	16	0.006950
+ 1.0786		+ 1.0786	1.0628		1.0628
0.0328	40	0.0328	0.0264	41	0.0264
0.0164		0.0164	0.0132		0.0132
7.1096		7.1092	6.8874		6.8874
0.001287	3	0.001286	0.000772	1.8	0.000772
5588	13	5588	6953		0.006950
+ 0.006875		+ 0.006871	0.007725		0.007722
7.8373	6	7.8371	7.8879	6	7.8877
8.9186		8.9185	8.9440		8.9438
-0.074749		-0.074738	-0.083376		-0.083359
3647		3647	4009		4009
-0.078396		-0.078385	-0.087385		-0.087368
+ 0.8692		+ 0.8678	+ 0.9099		+ 0.9093
+ 0.7908		+ 0.7894	+ 0.8225		+ 0.8219

72

Mechanische Quadratv/r.

Blatt n

t	0.04	0.05
-ii	+ 0.959580		+ 0.959552	+ 0.952616		+ 0,952589
-"?!	+ 0.04683		+ 0.04682	+ 0.04649		4648
-nq^	+ 1.00641		+ 1.00637	+ 0.99911		0.99907
P2	- 2.1647		- 2.1630	- 2.0361		- 2.0349
?2'	- 1.1583		- 1.1566	- 1.0370		- 1.0358
'°K'--i:.)	0.0214„		0.0214„	0.0185„		0.0185„
log ^i"	0.0658		0.0659	0.0581		0.0581
log 4	9.9556„		9.9555„	9.9604«		9.9604„
^^^'^(^'-^1+,)	7.7032„		7.7030«	7.6387„		7.6384„
log q^^	6.6063		6.6063	6.6799		6.6793
log 5	1.0969„		1.0967„	0.9588„		0.9591„
Pi	- 2.1647		- 2.1630	- 2.0361		- 2.0349
vPi	- 0.1057		- 0.1057	- 0,0994		994
np^	- 2.2704		- 2.2687	- 2.1355		- 2,1343
-A	+ 0.9028	20	+ 0.9026	+ 0.9128	21	+ 0.9128
np^-A	- 1.3676		- 1.3661	- 1.2227		- 1,2215
-B	+ 12.497	3	+ 12.491	+ 9.095	21	+ 9.101
Pi	+ 11.129		+ 11.125	+ 7.872		+ 7,880
log 92	8.7323„		8.7325„	8.8128„		8.8127„
log ^i'	0.0658		0.0659	0.0581		0.0581
log (7	8.6665„		8.6666„	8.7547„		8.7546„
l0g/^?2	7.7323„		7.7325„	7.8128„		7.8127„
log §2'	6.6063		6.6063	6.6799		6.6793
logZ)	1.1260«		1.1262„	1.1329„		1.1334,,
-i^l	- 0.7087		- 0.7085	- 0.8036		- 0.8029
-"Ä	- 0.0346		- 0.0346	393		393
-WÄ	- 0.7433		- 0.7431	- 0.8429		- 0,8422
-c	+ 0.0464	11	+ 0.0464	+ 0.05685	14	+ 0.05684
-«;?!- (7	- 0.6969		- 0.6967	- 0.7860		- 0.7854
-Z) i	+ 13.370	3	+ 13.373	+ 13.577	3	+ 13.592
1 P% 1	+ 12.673		+ 12.676	+ 12,791		+ 12.807

§ 5. Numerische Beispiele.

73

0.06	0.07
+ 0.944963		+ 0.944942	+ 0.936870		+ 0.936868
+ 4611		+ 4611	+ 4571		+ 4571
+ 0.99107		+ 0.99105	+ 0.98258		+ 0.98258
- 1.9092		- 1.9091	- 1.7903		- 1.7906
- 0.9181		- 0.9181	- 0.8077		- 0.8080
0.0153«		0.0153,,	0.0118„		0.0118„
0.0492		0.0492	0.0396		0.0396
9.9661,,		9.966 1„	9.9822,,		9.9822„
7.5548„		7.5546,,	7.4437„		7.4437
6.7558		6.7555	6.8320		6.8314
0.7990„		0.7991„	0.6117,,		0.6123«
- 1.9092		- 1.9091	- 1.7903		- 1.7906
932		932	873		873
- 2.0024		- 2.0023	- 1.8776		- 1.8779
+ 0.9249	21	+ 0.9249	+ 0.9599	22	+ 0.9599
- 1.0775		- 1.0774	- 0.9177		- 0.9180
+ 6.295	15	+ 6.297	+ 4.090	10	+ 4.096
+ 5.217		+ 5.220	+ 3.172		+ 3.178
8.8736„		8.8735,.	8.9211«		8.9210«
0.0492		0.0492	0.0396		0.0396
8.8244«		8.8243,,	8.8815,,		8.8814«
7.8736„		7.8735„	7.9211,,		7.9210«
6.7558		6.7555	6.8320		6.8314
1.1178„		1.1180	1.0891«		1.0896«
- 0.8692		- 0.8678	- 0.9099		- 0.9093
424		424	444		444
- 0.9116		- 0.9102	- 0.9543		- 0.9537
+ 0.06674	15	+ 0.06672	+ 0.07612	18	+ 0.07610
- 0.8449		- 0.8435	- 0.8782		- 0.8776
+ 13.114	3	+ 13.120	+ 12.273	3	+ 12.288
+ 12.269		+ 12.276	+ 11.395		+ 11.410

74

Mechanische Quadratur.

t	0.08	0.09
Qi	-0.928558		-0.928556	-0.920153		-0.920158
'.-r^	-1.019467		-1.019465	-1.011062		-1.011067
?2	-0.019467 -0.090938		-0.019465 -0.090925	-0.011062 -0.097524		-0.011067 -0.097528
-('.-ri,)	0.0084„	43	0.0084„	0.0048„	43	0.0048„
l0g?2	8.2893« 8.9588„	22 4	8.2893„ 8.9588„	8.0438„ 8.9891„	39 4	8.0440„ 8.9891„
log 22^	0.0168 7.9176		0.0168 7.9176	0.0096 7.9782		0.0096 7.9782
	1.0396 0.008271	2 19	1.0396 0.008271	1.0222 0.009510	2 22	1.0222 0.009510
?i^	1.0479		1.0479	1.0317		1.0317
log?i'	0.0203	42	0.0203	0.0135	42	0.0135
logpi	0.0102		0.0102	0.0068		0.0068
''^(^^■'1 + ,«)	6.5786		6.5786	6.0876		6.0880
	0.000379 0.008271	0.9	0.000379 0.008271	0.000122 0.009510	0.3	0.000122 0.009510
?2^	0.008650		0.008650	0.009632		0.009632
log Q^	7.9370	5	7.9370	7.9837	5	7.9837
l0g?2	8.9685		8.9685	8.9918		8.9918
?2	-0.090938		-0.090925	-0.097524		-0.097528
vq2	4439		4439	4759		4759
nq^	-0.095377		- 0.095364	-0.102283		-0.102287
Pi	+ 0.9335		+ 0.9329	+ 0.9426		+ 0.9430
Qi	+ 0.8381		+ 0.8375	+ 0.8403		+ 0.8407

§ 5. Numerische Beispiele.

75

0.10	0.11
-0.911770		-0.911772	-0.903468		-0.903474
-1.002679		-1.002681	-0.994377		-0.994383
-0.002679		-0.002681	+ 0.005623		+ 0.005617
-0.103294		-0.103279	-0.108269		-0.108271
0.0011„	43	0.0011„	9.9976„	4	9.9976„
7.4279„	16	7.4282„	7.7499	8	7.7494
9.0140,.	42	9.0139,.	9.0345„	40	9.0345„
0.0022		0.0022	9.9952		9.9952
8.0280		8.0278	8.0690		8.0690
1.0054	2	1.0054	0.9890	22	0.9890
0.01067	2	0.01067	0.01172	3	0.01172
1.0161		1.0161	1.0007		1.0007
0.0069	43	0.0069	0.0003	43	0.0003
0.0034		0.0034	0.0002		0.0002
4.8558		4.8564	5.5998		5.5988
0.00001		0.00001	0.00004		0.00004
0.01067		0.01067	0.01172		0.01172
0.01068		0.01068	0.01176		0.01176
8.0286	41	8.0286	8.0704	37	8.0704
9.0143		9.0143	9.0352		9.0352
-0.103294		-0.103279	-0.108269		-0.108271
5041		5041	5283		5283
-0.108335		-0.108320	-0.113552		-0.113554
+ 0.9438		+ 0.9436	+ 0.9369		+ 0.9371
+ 0.8355		+ 0.8353	+ 0.8234		+ 0.8235

76

Mechanische Quadratur.

t	0.08	0.09
-?1	+ 0.928558		+ 0.928556	+ 0.920153		+ 0.920158
-"?!	+ 4533		+ 4533	+ 4498		+ 4498
-nq^	+ 0.97389		+ 0.97389	+ 0.96513		+ 0.96514
P2	- 1.6810		- 1.6805	- 1.5812		- 1.5814
?/	- 0.7071		- 0.7066	- 0.6161		- 0.6163
>°«(--x^)	0.0084„		0.0084«	0.0048«		0.0048«
log ^i"	0.0306		0.0306	0.0204		0.0204
log 4	9.9778„		9.9778	9.9844		9.9844
''^^[^^■^x^)l	7.2893„		7.2893«	7.0438«		7.0440«
log ?2'	6.9055		6.9055	6.9754		6.9754
logS	0.3838,,		0.3838«	0-0684«		0.0686«
Vi	- 1.6810		- 1.6805	- 1.5812		- 1.5814
vPi	- 820		820	772		772
nPi	- 1.7630		- 1.7625	- 1.6584		- 1.6586
- A	+ 0.9502	22	+ 0.9502	+ 0.9647	23	+ 0.9647
np^ - A	- 0.8128		- 0.8123	- 0.6937		- 0.6939
-B	+ 2.420	6	+ 2.420	+ 1.170	4	+ 1.171
Pi	+ 1.607		+ 1.608	+ 0.476		+ 0.477
l0g?2	8.9588,,		8.9588«	8.9891«		8.9891«
log ?i'	0.0306		0.0306	0.0204		0.0204
logC	8.9282«		8.9282„	8.9687«		8.9687«
l0g^?2	7.9588„		7.9588«	7.9891«		7.9891«
log ^2"	6.9055		6.9055	6.9754		6.9754
logZ>	1.0533«		1.0533«	1.0137«		1.0137«
-Px	- 0.9335		- 0.9329	- 0.9426		- 0.9430
-vpi	456		456	460		460
-npi	- 0.9791		- 0.9785	- 0.9886		- 0.9890
- C	+ 0.08476	20	+ 0.08476	+ 0.09305	21	+ 0.09305
-np,-G	- 0.8943		- 0.8937	- 0.8955		- 0.8960
-D	+ 11.306	2	+ 11.306	+ 10.321	3	+ 10.321
P%	+ 10.412		+ 10.412	+ 9.425		+ 9.425

§ 5. Numerische Beispiele.

11

(Fortsetzung).

0.10	0.11
+ 0.911770		+ 0.911772	+ 0.903468		+ 0.903474
+ 4450		+ 4450	+ 4409		+ 4409
+ 0.95627		+ 0.95627	+ 0.94756		+ 0.94756
-1.4915		-1.4920	-1.4120		-1.4117
-0.5352		-0.5357	-0.4644		-0.4641
0.0011„		0.0011„	9.9976„		9.9976„
0.0102		0.0102	0.0006		0,0006
9.9909,.		9.9909„	9.9970„		9.9970„
6.4279,,		6.4282,,	6.7499		6.7494
7.0429		7.0429	7.1056		7.1056
9.3850,,		9.3853„	9.6443		9.6438
-1.4915		-1.4920	-1.4120		-1.4117
- 728		- 728	- 689		- 689
-1.5643		-1.5648	-1.4809		-1.4806
+ 0.9793	23	+ 0.9793	+ 0.9931	23	+ 0.9931
-0.5850		-0.5855	-0.4878		-0.4875
+ 0.2427	5	+ 0.2429	-0.4409	10	-0.4404
-0.3423		-0.3426	-0.9287		-0.9279
9.0140«		9.0139„	9.0345„		9.0345„
0.0102		0.0102	0.0006		0.0006
9.0038		9.0037	9.0339„		9.0339»
8.0140,,		8.0139,,	8.0345,.		8.0345„
7.0429		7.0429	7.1056		7.1056
0.9711„		0.97 10„	0.9289„		0.9289„
-0.9438		-0.9436	-0.9369		-0.9371
- 460		460	- 457		- 457
-0.9898		-0.9896	-0.9826		-0.9828
+ 0.10086	2	+ 0.10084	+ 0.10808	2	+ 0.10808
-0.8889		-0.8888	-0.8745		-0.8747
+ 9.356	22	+ 9.354	+ 8.490	20	+ 8.490
+ 8.467		+ 8.465	+ 7.616		+ 7.615

78

Mechanische Quadratur.

t		0.12			0.13
?1	-0.895317		-0.895316	-0.887331		-0.887334
	-0.986226		-0.986225	-0.978240		-0.978243
-^Th^	+ 0.013774		+ 0.013775	+ 0.021760		+ 0.021757
?2	-0.112588		-0.112587	-0.116304		-0.116303
'»^('■-r\|7)	9.9940„	4		9.9904„	5
'"«(" + i + j	8.1391	32		8.3377	20	8.3376
l0g?2	9.0515„	39		9.0656„	37
'-('.-.:.)'	9.9880			9.9808
log 32^'	8.1030			8.1312
(-ri,)*	0.9727	23		0.9568	22
?2^	0.01268	3		0.01353	3
?1^	0.9854			0.9703
log ?i*	9.9936	5		9.9869	4
log Ol	9.9968			9.9934
^^^(^^ + 14-^)	6.2782			6.6754
(^^ -^ / )^	0.00019	3		0.00047
V" 1 + W ?2^	0.01268			0.01353
Q.'	0.01287			0.01400
log ?2'	8.1096	34		8.1461	31
log 92	9.0548			9.0730
^2	-0.112588			-0.116304
»'?2	5495			5676
W?2	-0.118083		-0.118082	-0.121980		-0.1220
Pl	+ 0.9256		+ 0.9256	+ 0.9106 .		+ 0.9107
?/	+ 0.8075		+ 0.8075	+ 0.7886		+ 0.7887

§ 5. Niumerische Beispiele.

79

0.14	0.15
-0.879558		-0.879558	-0.871977		-0.871977
-0.970467			-0.962886
+ 0.029533			+ 0.037114
-0.119478		-0.119479	-0.122174		-0.122173
9.9870„	4		9.9836„	4
8.4705	15		8.5696	11
9.0763„	37		9.0870„	35
9.9740			9.9672
8.1526			8.1740
0.9419	22		0.9272	22
0.01421	3		0.01493	3
0.9561			0.9421
9.9805	4		9.9741	*
9.9902			9.9870
6.9410			7.1392
0.00087			0.00138	3
0.01421			0.01493
0.01508			0.01631
8.1784	29		8.2125	26
9.0892			9.1062
-0.119478			-0.122174
5831			5963
-0.125309			-0.128137		-0.1281
+ 0.8933		+ 0.8933	+ 0.8741		+ 0.8743
+ 0.7680		+ 0.7680	+ 0.7460		+ 0.7462

80

Mechanische Quadratur.

t	0.12	0.13
- il	+ 0.895317			+ 0.687331
- vqx	4359			+ 4330
-nq^	+ 0.93892		+ 0.93892	+ 0.93063		+ 0.9306
Pi	-1.3390	-1.3394	-1.2744		-1.2742
i2	-0.4001		-0.4005	-0.3438		-0.3436
'»^('■-rf-J	9.9940,,			9.9904„
log ?i'	9.9904			9.9802
log^	0.0036„			0.0102,,
log«(?. + 1^^)	7.1391			7.3377		7.3376
log ?2'	7.1644			7.2190		7.2190
log 5	9.9747			0.1187		0.1186
Pi	-1.3390		-1.3394	-1.2744		-1.2742
vPi	- 654		- 654	- 622		- 622
np^	-1.4044		- 1.4048	-1.3366		-1.3364
- A	+ 1.0082	2	+ 1.0082	+ 1.0236	3	+ 1.0236
npi- A	-0.3962		-0.3966	-0.3130		-0.3128
- B	-0.9434	22	-0.9434	-1.3141	3	-1.3138
Pi	-1.3396		-1.3400	-1.6271		-1.6266
l0g?2	9.0515„			9.0656»
log Ol 3	9.9904			9.9802
log C	9.0611,,			9.0854„
log .« '?2	8.0515„			8.0656„
log «2*	7.1644			7.2190
logZ>	0.8871,,			0.8466,,
-Pl	-0.9256			-0.9106		-0.9107
- VPI	- 452			- 444		- 444
- npi	-0.9708			-0.9550		-0.9551
- C	' +0.1151	2		+ 0.1217		+ 0.1217
-np^- C	-0.8557			-0.8333		-0.8334
-D	+ 7.711	18		+ 7.025		+ 7.025
Pi	+ 6.855		+ 6.855	+ 6.192		+ 6.192

§ 5. Nivmerische Beispiele.

81

0.14	0.15
-0.879558			-0.871977
- 4292			- 4256
-0.92248			-0.91454		-0.9145
-1.2152		-1.2152 -1.1618		-1.1616
-0.2927		-0.2927	-0.2468		-0.2471
9.9870,,			9.9836„
9.9706			9.9610
0.0164„			0.0226„
7.4705			7.5696
7.2676			7.3186
0.2029			0.2510
-1.2152			-1.1613		-1.1616
- 594			- 567		- 567
-1.2746			-1.2180		-1.2183
+ 1.0388	2		+ 1.0532	2	+ 1.0532
-0.2358			-0.1648		-0.1651
-1.5956	6		-1.7820	4	-1.7820
-1.8314		-1.8314	-1.9468		-1.9471
9.0763,,			9.0870„
9.9706			9.9610
9.1057„			9.1260«
8.0768„			8.0870„
7.2676			7.3186
0.8087„			0.7684„
-0.8933			-0.8741		-0.8743
- 436			- 427		- 427
-0.9369			-0.9168		-0.9170
+ 0.1275	2		+ 0.1337	3	+ 0.1337
+ 0.8094			-0.7831		-0.7833
+ 6.437	15		+ 5.867		+ 5.867
+ 5.628		+ .5.628	+ 5.084		+ 5.084

Chablier, Mechanik des Himmels. II.

82

pq

^

CD

eo

^

w

CO

-*

o

tn

OD

(M

-*

o

^

o

^

CO

t-

CO

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CO

CD

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o

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o

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o

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o

05

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o

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CO

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1

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1

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1

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q

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CO

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CO

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o

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o

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q

o

05

q

o

Ol'

Ol

o

CD

«2

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o

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Si.

86

Mechanische Qitadratur.

Das Integral (9) liefert eine Controlle, die zwar nicht voll- ständig ist, aber doch eine erhöhte Sicherheit in der Rechnung giebt. Die Werthe der Constanten C — die gleich 3.950 sein soll — für die obigen Intervalle sind aus der folgenden Tabelle ersichtlich.

Controlle.

t	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09	0.10	0.11	0.12	0.13	0.14	0.15
log ?i'	9.8142	9.8661	9.8973	9.9148	9.9229	9.9247	9.9219	9.9156	9.9071	9.8969	9.8854	9.8728
log?/ 2	9.6284	9.7332	9.7946	9.8296	9.8458	9.8494	9.8438	9.8312	9.8142	9.7938	9.7708	9.7456
log ?2'	0.0632	0.0152	9.9628	9.9074	9.8492	9.7898	9.7290	9.6666	9.6062	9.5361	9.4664	9.3929
log?/^	0.1264	0.0304	9.9256	9.8148	9.6984	9.5796	9.4580	9.3332	9.2124	9.0722	8.9328	8.7858
Qr-	0.4250	0.540	0.6231	0.6755	0.7012!o.7069 0.6979	0.6779	0.6519	0.6220	0.5899	0.5567
?/- ,1.3382	1.073	0.8425	0.6528	0.49930.3798	0.2871	0.2154	0.1631	0.1181	0.0857	0.0611
v"^	1.7632	1.613	1.4656	1.3283	1.2005	1.0867	0.9850	0.8933	0.8150	0.7401	0.6756	0.6178
log?i	0.0220	0.0184	0.0164	0.0132	0.0102	0.0068	0.0034	0.0002	9.9968	9.9934	9.9902	9.9870
l0g?2	0.2790	0.2816	0.2846	0.2878	0.2908	0.2942	0.2976	0.3008	0.3042	0.3076	0.3108	0.3140
8.8688	8.8931	8.9185	8.9438	8.9685	8.9918	9.0143	9.0352	9.0548	9.0730	9.0892	9.1062
-^	0.4322	0.4079	0.3825	0.3572	0.3325	0.3092	0.2867	0.2658	0.2462	0.2280	0.2118	0.1948
2	1.901	1.912	1.926	1.940	1.953	1.969	1.984	1.999	2.015	2.030	2.045	2.061
2^ 92	2.706	2.558	2.412	2.276	2.150	2.038	1.934	1.844	1.763	1.690	1.628	1.566
1.106	1.093	1.079	1.063	1.048	1.032	1.016	1.001	0.986	0.970	0.956	0.942
M92'	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.001	0.002
2i2	5.714	5.564	5.418	5.280	5.152	5.040	4.935	4.845	4.765	4.691	4.630	4.571
v^	1.763	1.613	1.466	1.328	1.200	1.087	0.985	0.893	0.815	0.740	0.676	0.618
C	3.951	3.951	3.952	3.952	3.952	3.953	3.950	3.952	3.950	3.951	3.954	3.953

Die Uebereinstimmung ist also eine befriedigende.

NEUNTER ABSCHNITT PERIODISCHE LÖSUNGEN

§ I. strenge Lösungen des Problems der drei Körper.

Obgleich es bis jetzt nicht gelungen ist, die Integrale des Problems der Körper in ihrer Allgemeinheit kennen zu lernen, sind indessen seit langer Zeit gewisse Configurationen der drei Körper bekannt, für welche die Lösungen streng erhalten werden können. Diese Lösungen, welche von Lageange in einer seiner schönsten Abhandlungen gefunden wurden , scheinen beim ersten Blick nur von oberflächlichem Interesse zu sein. ^ Verschiedene Untersuchungen haben indessen gezeigt, dass sie von der grössten Bedeutung für das allgemeine Problem sind, und dass sie wahr- scheinlich in engem Zusammenhang mit den wesentlichen Singula- ritäten der Integrale stehen. Diese LAGEANGE'schen Lösungen bilden den Ausgangspunkt einer Gattung periodischer Lösungen des Problems der drei Körper, und sie können selbst als die einfachsten periodischen Lösungen dieses Problems betrachtet werden. Es ist deswegen angemessen, diesen Abschnitt mit diesen strengen Lösungen des Problems der drei Körper einzuleiten.

Bei der Ableitung der LAGRANGE'schen Lösungen werde ich der von Laplace in seiner „Möcanique Celeste" Tome IV gegebenen Methode folgen. Sie steht zwar der LAGEANGE'schen Methode nach, insofern sie zum Theil auf geometrischen Betrachtungen be- ruht. Grerade hierdurch giebt sie aber einen guten Einblick in die mechanischen Grrundbedingungen dieser Lösungen, und wir werden später Gelegenheit haben, die singulären Punkte der LAGEANGE'schen Lösungen in analytischer Weise wiederzufinden.

Laplace geht von der Bemerkung aus, dass man unter den folgenden Bedingungen offenbar zu einer strengen und einfachen

^ LAGRANaE sagt selbst (Oeuvres VI, 230): „cette recherche n'est ä la vörite que de pure curiosit6."

90 Periodische Lösungen.

Lösung des Problems der n Körper gelangen würde. Angenommen, dass die n Körper im Anfang in einer Ebene so geordnet seien, dass die Resultante der auf jede Masse wirkenden Kräfte durch den gemeinsamen Schwerpunkt — G — des ganzen Systemes geht; wenn weiter diese Resultante, ihrer Grösse nach, dem Abstände von G proportional ist, so ist klar, dass die Massen immer in derselben gegenseitigen Lage bleiben werden, wenn man dem ganzen System eine Rotation um G giebt, von solcher Grösse, dass die durch diese Rotation entstandene Centrifugalkraft gleich der be- treffenden Resultante werde.

Aus einer geometrischen Betrachtung, die weiter unten aus- einandergesetzt wird, findet man, dass ein ähnlicher Gleichgewichts- zustand entsteht, wenn die Anfangsgeschwindigkeiten der Massen eine schiefe Richtung im Verhältniss zu den Verbindungslinien mit dem Schwerpunkt haben, wenn sie nur sämmtlich denselben Winkel mit diesen Linien bilden, und der Grösse nach dem Abstand von G proportional sind. Die Configuration der Massen bleibt auch in diesem Falle dieselbe, nur die Dimensionen werden sich ändern.

Es fragt sich, welche Anordnung der Massen hierfür erforder- lich ist.

Wir nehmen an, dass es sich um drei Körper mit den Massen m, m', m handelt. Ihre rechtwinkligen Coordinaten in Bezug auf ein durch G gelegtes Coordinatensystem seien x, y\ x, y \ x", y". Ihre Abstände von G bezeichnen wir mit r, r und r", und ihre gegen- seitigen Entfernungen mit s, s und s", so dass

Abstand von m' und

m

s = ,, ,y m „ m ,

s" = „ „ m „ m

ist.

Wir nehmen an, dass sich die pj 2 Körper mit einer Kraft ^ [s] anziehen,

die eine Function der gegenseitigen Entfernung s ist. Die Beschleunigungen der Massen m, m, m" parallel der X-Achse seien X, X' und X", dann ist

m

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper.

91

(1)

X =m ^ „ ' [x —X ) + yn ^\ ' [x —x ),

,(s)

(p {s")

X = m ^ Ma: —x ]-\-m ^ \, [x —x ), := m , [x —X )-\-m ^^ ' [x —x),

und ähnliche Ausdrücke erhält man für die Beschleunigungen 7, T, Y" parallel der 7-Achse.

Wenn die Eesultante der auf m, m und /n" wirkenden Kräfte durch den Anfangspunkt der Coordinaten gehen soll, so ist

(2)

X =K X , Y ^K y X' = K' X , r = K' y . X"^K"x", Y"=K"y".

Die Grösse der Resultanten ist bez.

K-f^+f, K'^x'^ + y'^ Z"]/a:"2+/'S

und wenn sie den Abständen von G proportional angenommen

werden, so muss

(2*) K=K' = K"

sein.

Die Gleichung (1) giebt

(3) 0 ■= mx -\- rn x' -\- m" x" .

die übrigens aus der Eigenschaft des Schwerpunktes folgt.

Wenn man mittelst (3) x" aus der ersten Gleichung (1) eliminirt, so erhält man, unter Berücksichtigung von (2)

(4) -Rx = x[m ^^ + (m + m )^j + m x j^^^-^^j. Für die ?/-Coordinaten erhält man die ähnliche Gleichung

(4*) -Ky=y [m 'E^ + {m + m )^j + m y (^^ - ^j •

92 Periodische Lösungen.

Aus diesen Gleichungen folgt,

(5) , x:x' =y: y, wenn nicht

(6) y(0 _ y(^") ^ 0

also auch

(6*) m'^+(m + m")^ = 0

ist, welche Gleichungen gleichzeitig bestehen.

Wir wollen zuerst den Fall betrachten, dass die Eelation (6) stattfindet. Sie ist befriedigt, wenn

woraus nach (4)

(7) _ Z = (m + m + 77z") ^

Die übrigen Gleichungen (1) geben den nämlichen Werth für K unter Voraussetzung, dass

(8) s = s' = s".

Die Verbindungslinien zwischen den drei Massen bilden also ein gleichseitiges Dreieck.

Die Beschleunigungen der drei Massen sind

Kr, Kr', Kr",

wo K durch (7) gegeben ist

Zwischen den Seiten s, s', s" eines Dreiecks und den Ab- ständen r, r', r" vom Schwerpunkt bestehen die Eelationen

(9)

[m + ni + m"Y r^ = — m m s^ + (wi' + m") [m" s'^ + rri s"^), [m -\- m -j- m")^ r ^ = — m"m s"^ -\- [m" -{- m )[m s'^-^-m's^ ), [m-\-m' -\- m')^ r" ^ = — m m s" ^ -{- {m -{-m')[m' s'^ -\-m s'^),

die aus den E^igenschaften des Schwerpunktes leicht abgeleitet werden.

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper. 93

Wenn

s = s = s" , so ist also

m + m' + m"

ym' * + w' m" + m" *

und nach (7) wird der Ausdruck für die Beschleunigung der Masse m

V tl >9 , '/ — T, — , 779. \ m + m' + m" 1

TÄ = — ym ^ + m m -\- m ^ w \ - r •

^ ^ lym'^ + m'm" + m"^ J

In dem in der Natur vorkommenden Fall hat man

		^ (^) ^ ^
und also
(11)	rK = -	(w'2 + m'm" + m"'*fl' {m + m' + m"f r«

Die Bewegung geht also so vor sich, als ob jede Masse von dem Schwerpunkt mit einer Kraft angezogen würde, die dem Quadrate des Abstandes vom Schwerpunkte umgekehrt proportional wäre. Jede Masse beschreibt also einen Kegelschnitt, dessen Brennpunkt im Schwerpunkte liegt. Die Abstände zwischen den drei Massen bilden immer ein gleichseitiges Dreieck, und wenn die Kegelschnitte Parabeln oder Hyperbeln sind, so können die Abstände ins Unendliche wachsen.

Diese ist die erste der von Lageange gefundenen strengen Lösungen des Problems der drei Körper.

Wenn nicht s — s = s", so ist nach (5)

x'.x =y:y',

so dass m und m auf einer durch den Schwerpunkt gehenden Geraden liegen. Die drei Massen liegen dann auf einer geraden Linie. Ihre Lagen können aber nicht beliebig auf dieser Linie ge- wählt werden. Wenn der Abstand zwischen zwei der Massen be- stimmt ist, dann kann die Lage der dritten Masse nicht willkürHch gewählt werden.

94

Periodische Lösungen.

Wir nehmen an, dass die Körper in der Reihenfolge m, m\ m" auf der geraden Linie liegen. Setzen wir

fix ^

V X ,

so ist V nothwendigerweise eine positive Zahl, wogegen ^ positiv oder negativ ist. Wir erhalten weiter

s — [v — fi)r , s' = (1 + v)r , s"^{l+fi)r.

Werden diese Werthe in (1) eingesetzt, so bekommt man

(12) \

.'^(l+/.)-m"^(l+.).

f^K = -m"^^{v-fx)+m ^(1 + /i),

-VÄ

m ^{l+r) + m'^{v-fi),

Die Relation (3) lautet

(13)	m -	- m fx	— m" V = 0 .
Ist
		cf{s	) = *''S
so hat man

(14)

K = — m {l + /i)"r"-i — m"{l + t/)«r«-i,

— (X K = — m" {v — fi)'' r»-i + m (1 + fi^ r"-i,

— vK= m (1 + j/)»r"-i -j- m (v — ^a)"r"~^.

Wird die erste dieser Gleichungen mit (^a + v) multiplicirt, und addirt man die Gleichungen, erhält man, nachdem durch r"-i dividirt worden ist, unter Berücksichtigung von (13)

(15) 0 = {m - m") [— v{l + fi)'^ + fi{l + i/)*^ + {v — /*)"] .

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper. 95

Es ist also eütweder

(16) m' — m" = 0, oder

(17) 0 = - 1/(1 + fi'r + fJi{l + vY + (i; - nY,

von welchen Gleichungen indessen nur (17) eine unabhängige Lösung giebt.

Wir setzen mit Laplace

j; _ /A = (1 + ^) 2: ,

so dass

1 +i;=.(l +/.)(! +z), und nach (13)

1 , w 4- m' + m" ^ , {m + m' + m") (1 + %)

'^ 7n' + ?n" {l + x) m' + m" (1 + %)

Wird ausserdem angenommen, dass die Anziehung der Massen nach dem Gesetz von Newton geschieht, so dass n — —2 ist, so bekommt man für z die folgende Gleichung

(18) 0 = - m z2 [(1 + zf - 1] + m' (1 + zf (1 - z3) + m [(1 + zf - z\

eine Gleichung fünften Grades, die wenigstens eine reelle und positive Wurzel besitzt.^ Dieser Wurzel entspricht immer ein positiver Werth von 1/, da nämlich

m + (m + ni')x

m" (1 + x)

ist, wogegen (x negativ ausfallen kann, weil

m — m %

m' + m" (1 + %)

ist, und also ein negativer Werth für /x einem positiven Werth für z entsprechen kann.

' Ich werde unten zeigen , dass diese Gleichung eine einzige reelh Wurzel besitzt.

96

Wird fi negativ, so liegt der Schwerpunkt z\^ischen m und m".

Wir haben also den folgenden Satz gefunden:

Drei Körper mit willkürlichen Massen — m, m' und m" — seien gegeben. Die Massen m und m" werden in einen beliebigen Abstand von einander gebracht. Dann giebt es auf der geraden Linie zwischen m und m" immer eine bestimmte Lage für m, die einer strengen Lösung des Problems der drei Körper entspricht. Sind die Massen von verschiedener Grösse, so hat man also immer drei verschiedene Configurationen, die einer strengen Lösung ent- sprechen, je nachdem man die grösste, oder die kleinste oder die dritte Masse in die Mitte legt.

Die von den drei Massen beschriebenen Bahnen werden auch in diesem Falle Kegelschnitte, welche im Schwerpunkt ihren Brenn- punkt haben.

Wir werden in den folgenden Paragraphen Grelegenheit haben,

diese Lösungen näher zu untersuchen.

Es wurde zu Anfang dieses Paragraphen n'ach Laplace behauptet,

dass es für die Entstehung einer strengen Lösung nicht nothwendig

ist, dass der ursprüngliche Stoss senkrecht zur Verbindungslinie zwischen der Masse und dem Schwerpunkt stattfände , sondern dass es hinreichend ist, dass die Anfangsgeschwindigkeiten der verschiedenen Massen denselben Winkel mit dieser Linie bilden, wenn nur die Grösse dieser Anfangsgeschwindigkeiten dem Abstände vom Schwerpunkte propor- tional ist. Da die Eichtigkeit dieser Be- hauptung nicht unmittelbar einleuchtet, so werde ich den Beweis ausführen.

Es seien Ä und B die ursprünglichen Lagen zweier Massen, G der gemeinsame Schwerpunkt des ganzen Systems. Es wird angenommen : 1) dass die Grössen der Resultanten der auf Ä und B

wirkenden Kräfte sich wie die Abstände ÄG:BG verhalten :

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper. 97

2) dass die Anfangsgeschwindigkeiten ÄÄ und B B' in dem- selben Verhältnisse [AG: B G) zu einander stehen ; und

3) dass der Winkel Ä AG gleich dem Winkel B' B G ist. Nach einem Zeitmoment nehmen die Körper A und B die

Lage Ä und B' ein. Wir finden, dass die beiden Dreiecke ABG

und Ä B' G einander ähnlich sind. Es ist in der That nach der Annahme

I A'A:AG = B'B:BG,

\ r\Ä AG= /\B' BG.

(a

Die beiden Dreiecke Ä A G und B' B G sind also ähnlich und folglich ist:

AG:BG = Ä G:B G,

A A G Ä= AB G B' , folc^lich ist auch

A AGB = A A' GB' ,

(b)

und unter Berücksichtigung von (b) finden wir also, dass die Drei- ecke ABG und Ä B' G einander ähnlich sind. Hieraus folgt aber, dass die von den Massen gebildete Configuration nach einem Zeit- moment der ursprünglichen Configuration ähnlich ist. Nur der Massstab hat sich geändert.

In dem zweiten Zeitmoment spielen die wirkenden Kräfte mit ein; da indessen die Grössen der Resultanten in dem Verhältnisse ÄGiB'G zu einander stehen, so werden die Voraussetzungen 2) und 3) noch Gültigkeit behalten und das von den Massen gebildete Polygon wird immer sich selbst ähnlich bleiben. W. z. b. w.

Es lässt sich beweisen, dass die Gleichung (18) von Lagrange eine einzige reelle — und zwar positive — llurzel besitzt

Zu dem Zweck ordnen wir die Glieder nach fallenden Potenzen von z. Die Gleichung lautet dann

(18*)

0 = {in + m:

)z' + {3m + 2m )z'' + (3/// + 7>i')z-' - - [m' + 3m")r2 - (2w/ + 3m") z - ( w' + m") .

echanik des Himmels. 11. 7

Charlibr, Mechanik des Himmels.

98 Periodische Lösungen.

Diese Gleichung enthält einen einzigen Zeichenwechsel und vier Zeichenfolgen und nach dem Theorem von Descartes hat die Gleichung also höchstens eine positive Wurzel und höchstens vier negative Wurzeln, Sie kann aber keine negative Wurzel besitzen. Wird nämlich in (18) z gegen —u vertauscht, so lautet die Gleichung

18**) 0=mu^\l-[\- uf\ + m (1 - uY (1 + u^ + m" [1 - uf + u%

und die Coefficienten von m, m' und m" rechter Seite dieser Gleichung sind immer positiv für positive 7/-Werthe.

Die Gleichung (18) hat also eine einzige, und zwar positive Wurzel.

Es existirt also, wenn die Reihenfolge der drei Massen auf einer geraden Linie gegeben ist, und man für den Abstand zwischen den äussersten Massen einen bestimmten Werth gewählt hat, eine einzige Lage für den mittleren Körper, die einer strengen Lageange'- schen Lösung des Problems der drei Körper entspricht. Wird die Reihenfolge der Massen geändert, erhält man drei, im Allgemeinen verschiedene, Lösungen.

Diejenigen Punkte , in denen eine LAGRANGE'sche strenge Lösung des Problems der drei Körper vorkommt, wollen wir mit GYLDfiN Librationscentra nennen.

Für die Anwendung dieser Sätze auf das Planetensystem sind besonders diejenigen Fälle von Interesse, in denen eine Masse die übrigen an Grösse bedeutend übertrifft. Wir wollen die Lage der Librationscentra in diesem Falle untersuchen.

Wir nehmen an, dass die drei Massen immer in der Reihen- folge m, m, m" liegen. Es können nun zwei Fälle vorkommen:

1) entweder, dass die grosse Masse die äusserste ist; oder

2) dass sie in der Mitte zwischen den beiden kleinen Massen liegt.

Im ersteren Falle können wir m sehr gross, m und m" klein annehmen. Aus (18*) geht unmittelbar hervor, dass die Gleichung eine kleine positive Wurzel besitzt, deren Werth genähert durch die Formel

§ 1. Strenge Lösungen des Problems der drei Körper. 99

19) .^\/'^

gegeben wird. Hieraus folgt, dass die Massen ni und m" genähert die folgenden Abstände vom Schwerpunkte haben

m + tu'

J_ rry," \ ' ''

SO

dass

(20) r -r =r y ^^^^^

oder mit demselben Grad von Annäherung

m '■"-^'='-"\ßi.

Die Librationscentra für m und m" liegen also einander sehr nahe.

Nehmen wir zweitens an, dass die grosse Masse in der Mitte hegt, so dass m gross ist, so hat (18) eine Wurzel, welche der Einheit nahe ist. Setzen wir

z=l +]/

in (18) ein und entwickeln nach Potenzen von y, so lautet diese Gleichung :

0=-m (1 + 2y + ;/)(7 + 12// + ^r + jA +

_ ni (4 + 4;/ + ?/^ [Sij + 3//^ + f) +

+ m" (7 + 9y + 3^^) ,

und wenn man in Betracht zieht, dass m sehr gross ist im Ver- hältniss zu /// und m", so findet man, dass diese Gleichung eine

7*

100 Periodische Lösungen.

Wurzel hat, die sehr klein ist, und deren Werth genähert durch den Ausdruck

V^^^ y 12m'

gegeben ist.

Die hieraus sich ergebenden Werthe für fx und v sind

m — m
^ m'
.= 1 + 4;	m — m"

und die Abstände zwischen den drei Massen:

5 V) — m" \

1 +

12 w'

IT ni — m"

Wir können immer annehmen, dass m > m",

wenn die beiden Massen nicht gerade gleich gross sind, in welchem Falle sich die beiden Massen, wenn sie in den Librationscentren liegen, sich in gleichem Abstände von m befinden. In den obigen Formeln bedeutet r den Abstand des Schwerpunktes von m. Der Abstand der grösseren Masse von m ist gleich s", und für den Abstand — s — der kleineren Masse von m bekommen wir den Werth

Von besonderem Interesse ist der Fall, dass die eine von den

§ 1. strenge Lösungen des Problems der drei Körper. 101

kleinen Massen verschwindend klein ist, so dass man sie ohne merk- baren Fehler gleich Null setzen kann. Wir wollen die sehr grosse Masse mit M und die kleinere, aber endliche Masse mit m be- zeichnen. Weiter bedeute a den Abstand zwischen M und m, und b den Abstand zwischen M und der unendlich kleinen Masse, Aus (20), (20*) und (22) erhalten wir dann die folgenden Werthe für b:

(23)

^-^l-l/a^)

"■^^^m,

. 7 m

"^^- Uli

Die drei durch diese Formeln bestimmten Librationscentra werde ich mit L^, L^ und L^ bezeichnen. Ihre Lagen sind aus der nachstehenden Figur ersichtlich:

Lage der Librationscentra.

^ 1—

Fig. 4.

Wenn man nur die Anziehung der Sonne und eines Planeten in Betracht zieht, so gehören also zu jedem Planeten im Sonnen- system drei Librationscentra, welche die Eigenschaft besitzen, dass ein kleines Partikelchen — z. B. ein Meteor — , das sich in einem dieser Librationscentra befände und eine passende Anfangs- geschwindigkeit besässe, durch die Anziehung der Sonne und des betreffenden Planeten für immer eine Ellipse um die Sonne be- schreiben würde, und zwar so, dass dies Partikelchen immer auf der durch die Sonne und den Planeten gehenden Geraden bleiben würde.

In unserem Planetensystem haben die Librationscentra der verschiedenen Planeten folgende Lage:

102 Periodische Lösungen.

Librationscentra im Flanetensystem. Abstände von der Sonne.

	L,	L,	^3
Mercur	0.9966	1.0034	-0.00000007
Venus	0.9907	1.0093	-0.00000143
Erde	0.9899	1.0101	-0.00000178
Mars	0.9952	1.0048	-0.00000019
Jupiter	0.9332	1.0698	-0.000 557
Saturn	0.9550	1.0464	-0.000167
Uranus	0.9758	1.0246	-0.000026
Neptun	0.9743	1.0261	-0.000030

Die Abstände sind im mittleren Abstand des Hauptplaneten von der Sonne als Einheit ausgedrückt.

Die Librationscentra L^ und L^ liegen bei allen Planeten — vom Planeten aus gerechnet — misserhalb der bekannten Satelliten des Planeten. Bei der Erde liegen L^ und L^ auf ungefähr dem vierfachen Abstände des Erdmondes von der Erde. Wir werden im einem folgenden Paragraphen finden, dass die Lage der Librations- centra in engem Zusammenhang mit der Stabilität der Bewegung steht.

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra.

Die allgemeinen Integrale des Problems der drei Körper mit der genügenden Zahl willkürlicher Constanten sind zwar bis jetzt nicht bekannt, dagegen hat man verschiedene partikuläre Integrale gefunden, welche eine geringere Zahl willkürlicher Constanten ent- halten. Unter diesen haben die periodischen Integrale in der letzten Zeit eine grosse Rolle gespielt, und mit ihrer Hilfe hat das Studium des Drei-Körperproblems in neue Bahnen eingelenkt, die Vieles vom grössten theoretischen Interesse ergeben haben. Die Untersuchungen dieser Bahnen sind schon so weit entwickelt worden,

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. 103

dass sich auch für die numerischen Berechnungen der Bahnen der Himmelskörper neue Horizonte geöffnet haben.

Die periodischen Lösungen wurden in die Astronomie von G. W. Hill eingeführt in einer schönen Eeihe von Abhandlungen, die im ersten Band (1878) des „American Journal of Mathematics" veröffentlicht wurden.^ Man findet in diesen Aufsätzen den ersten Ursprung vieler der wichtigsten Untersuchungen in der Astronomie in den letzten Jahrzehnten. Wir werden im Folgenden öfters Ge- legenheit haben, auf diese grundlegende Arbeit von Hill zurück- zukommen.

Die allgemeine Theorie der periodischen Lösungen ist später von PoiNCAEE, unter Anwendung der gewaltigen mathematischen Hilfsmittel, die ihm zu Gebote stehen, entwickelt worden, zuerst in seiner Stockholmer Preisschrift vom Jahre 1889: „Sur le probleme des trois corps et les öquations de la dynamique", und dann aus- führlich in seinem classischen Werke ,,Les M6thodes nouvelles de la möcanique Celeste".

Die periodischen Bahnen sind dadurch charakterisirt, dass die Körper nach einer gewissen Zeit zu einer einmal eingenommenen Configuration wiederkehren. Es ist angemessen, sie in zwei Classen zu theilen. In der ersten Classe bleiben die Veränderungen der von den Körpern eingenommenen Configuration immer unendlich klein, in der zweiten sind sie endlich. Die periodischen Bahnen der zweiten Classe können im Allgemeinen durch jeden beliebigen Punkt der Ebene oder eines continuirlichen Gebietes der Ebene gelegt werden Die periodischen Bahnen der ersten Classe können dagegen nur bei ganz bestimmten Configurationen der Körper auftreten.

Die Bahnen der letzteren (ersten) Classe sind leichter analy- lytisch aufzusuchen und zu behandeln. Wir werden deswegen die Untersuchung über die periodischen Bahnen mit dieser Classe einleiten.

Ich werde mich dabei auf einen besonderen Specialfall des Problems der drei Körper beschränken, denjenigen nämlich, in

' G. W. Hill, Researches in thc lunar theoiy. (Comnmuicated to thc National Academy of Sciences at thc sessiou of April, 1877).

104 Periodische Lösungen.

welchem eine von den drei Massen verschwindend klein ist und ausserdem die beiden endlichen Massen sich in einem Kreis um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Die Bewegung dieser beiden Kqrper, die von dem unendlich kleinen Körper nicht beein- flusst wird, muss dann mit gleichförmiger Geschwindigkeit vor sich gehen.

Dieser Fall, den wir mit dem Namen „das asteroidische Drei- K'örperproblem'^ bezeichnen wollen,^ hat für die Astronomie grosse Bedeutung, da die Theorie der kleinen Planeten, deren Vollendung immer noch das dringendste Bedürfniss der praktischen Astronomie ist, wesentlich auf der Lösung dieses Problems beruht.

Die beiden endlichen Körper bezeichnen wir mit m^ und m^, den unendlich kleinen Körper — den Asteroiden (Planetoiden) — mit P. Die Masse von m^ nehmen wir als Einheit der Massen an, 7^2 hat die Masse /x. Wir nehmen an, dass wir unsere Wahl so getroffen haben, dass |ii ein echter Bruch, oder gleich der Einheit ist.

Es seien r^ und r^ die Abstände der Körper m^ und m^ vom gemeinsamen Schwerpunkt G, und wir nehmen den Abstand zwischen m^ und 7«2 ^^1^ Einheit für die Längen an. Wir haben also

Die Einheit für die Zeit wird so gewählt, dass die Gravitations- constante gleich Eins ist. Die Zeit T eines Umlaufes von m^ und m„ um G ist

271

(2)- ^ = 7rT^^

und die Winkelgeschwindigkeit n dieser Bewegung ist also (2*) /^ = l/r+]i.

^ Er wird von den Franzosen bisweilen mit dem Namen „Le Probleme restreint" bezeichnet.

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. 105

Wir nehmen endlich an, dass der Asteroid sich in der durch die Bewegung von m^ und tw^ bestimmten Ebene bewegt.

Als Anfangspunkt der Coordinaten wird der Schwerpunkt G gewählt. Die Coordinaten x und y von P werden auf ein recht- winkliges Coordinatensystem bezogen, das sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit n dreht; die Z- Achse ist gegen m^ gerichtet, und die positive T-Achse bildet mit ihr einen Winkel von 90" in der Richtung der Bewegung.

In I § 7 (21) haben wir für die Bewegung von P die folgenden Differentialgleichungen abgeleitet :

dt^ dt '' b'ij

(3)

U^-. ^= +

]/(« - r^f + if M\x + r,)2 + y"

ist; wenn wir die Abstände zwischen m und m^ und m^ mit q^ und Q^ bezeichnen, so dass

(4)

ist, so hat man

(3*) Jj^^j^^

Diese Gleichungen können in einer etwas bequemeren P^orm geschrieben werden. Man hat nämlich unter Berücksichtigung von (1)

(','-(■-,: „)'+y- (■/ = (- + , ^„)'+.'/^

und also ist

106

Periodische Lösungen.

2 _ l"

ih' + l^ih' = ^l ^+ ["^ + ^W^ + f)

1 + /M

4-«2(x--^+//).

Setzen wir

(5)

?1 \ ?2

SO können die Differentialgleichungen also in folgender, von Darwin zuerst gegebeneu Form geschrieben werden.

(6)

^'■x i^ dt/ d S2

~dW ~ ti ~ ~dlc '

d P '^ dt dy'

Diese Gleichungen besitzen das sogen. jACOBi'sche Integral

(7) r

4f)'+(4f-^'-2fi-c.

wo C die jACOBi'sche Constante genannt wird.

Nach I § 8 (10) erhält man die Differentialgleichungen in canonischer Form, wenn man setzt:

X ,

% -y

dx (iy ,

(8*) 2H = p^ 2 + /^^ + 2 n {p^ q^ - p, q,) - 2 U,

in welchem Falle

(8)

dq, dt

dH

- dpr

dp, _ dH dt dq.

dq,^ dt

dH

- -dp,, '

dp., dH dt dq.,

Wir haben im vorigen Abschnitte diese canonischen Diffe-

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Ldhrationscentra. 107

rentialgleichungen der numerischen Berechnung einer Bahn mittelst mechanischer Quadratur zu Grunde gelegt.

Wir werden uns hier der Form (6) für die Differentialglei- chungen bedienen.

Wenn x = a, y — h die Coordinaten eines beliebigen Punktes sind, der nicht mit m^ oder m^ zusammenfällt, so ist aus der Form für ü. unmittelbar ersichtlich, dass die Function ß — und eben- falls alle ihre Ableitungen nach x und y — nach positiven Potenzen von x — a und y — h entwickelt werden kann. Wenn .1- — a und y — h hinreichend klein sind, so werden die Glieder der niedrigsten Ordnung in diesen Entwickelungen grösser sein als die Summe der übrigen Glieder in diesen Reihen.

Wir werden nun diejenigen Punkte aufsuchen, die so be- schaffen sind, dass, wenn man sich ihnen hinreichend nähert, perio- dische Lösungen der Differentialgleichungen (6) existiren, so dass die unendlich kleine Masse P für immer in der Nähe dieser Punkte bleiben kann, indem sie sich in Bahnen bewegt, die in sich selbst zurückkehren.

Es sei («, h) ein solcher Punkt, und man setze

	.r = « + 1 ,
	y =-h -^1].
Vir haben daon
j ll--4f	dSi d-'Si d'fi " ö « ■*" ^ da' ^"^dadb^
^ + ''^»#	= db +hadb-^'^ -db^ +

(9)

Die zweiten und höheren Potenzen von | und /y in diesen Ent- wickelungen können vernachlässigt werden, wenn wir uns darauf l)eschränken, solche periodische Bahnen aufzusuchen, die in der unmittelbaren Umgebung des Punktes («, b) liegen.

Die Curven in endlicher Entfernung von («, b) gehören der zweiten Classe periodischer Bahnformen an.

Wenn wir also in (9) nur die ersten Potenzen von | und ?/

108

Periodische Lösungen.

beibehalten, so ist klar, dass, damit | und 7/ klein bleiben, die folgenden Relationen stattfinden müssen:

(10)

— = 0 = — - da d b

Durch diese Gleichungen ist die Lage des Punktes {a, b) be- stimmt.

Die Lösung dieser Gleichungen kann sehr einfach in folgender Weise erhalten werden. Es ist

und also

() _ ^^ _ B Si a-Ti d Si a + r^ da ÖQ^ Qi ö?2 Q'i

0 ^ ^ = — - — -4- -^ A

db

(i:

Diese Gleichungen fordern, dass entweder

ÖQi ÖQ^

= 0

ist, oder dass man hat

(12)

a — r^ b_

-^<''' + ^^

QiQi

Die Gleichungen (11) können in folgender Form geschrieben werden :

oder

(13)

?2

1.

Dieser Punkt («, b) liegt in der Ecke eines gleichseitigen Dreiecks, dessen eine Seite gleich m^ m^ ist.

§ 2. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscenira. 109

Es gibt offenbar zwei solche Punkte, die ich mit (a^, b^ und («g, ig) bezeichnen will, so dass

r, —r.i \ \ — ^

* ö 2 2 1+^

Der Punkt [a^, b^ liegt also in der Richtung der positiven 7-Achse, («5, ig) in der Richtung der negativen.

Für die Punkte, welche der Lösung (12) entsprechen, muss Z» = 0 sein; sie liegen also auf der Z- Achse. Der Werth von a für diese Punkte ist durch die Gleichung

(14) iü 'l-ja _|_ Üi "i+j:i = 0

bestimmt.

Bei der Berechnung der Wurzeln dieser Gleichung sind drei Fälle zu unterscheiden:

1) — r^< a < rj ,

2) ci<-r.^,

3) r,<a.

Diesen drei Fällen entsprechend hat man:

1) a — r^=—Q^, ö + ^2 = + ()2 ,

2) a-r^=- (>j , a + r.^ = - o^ ,

3) a. - 7-j = + Oj , « + .,-2 = + (>2 .

Die Gleichung (14) nimmt die folgenden Formen an: 6) -V. h -5 — = 0 . (>] =(>., — 1 .

110 Periodische Lösungen.

In allen Fällen bekommt man eine Gleichung fünften Grades zur Bestimmung von q^ oder o^. Diese Gleichungen lauten:

(15) 2) (l+/.)o,^ + (3 + 2^)(V + (3+ ^)p,^-/.(>,2-2^(>2-/* = 0, 3) (l+^)c^i^ + (2 + 3^)(;j* + (l+3/.)oj-^- ^^2_2 q,-1=0.

Eine jede dieser Gleichungen hat eine reelle positive Wurzel die übrigen vier Wurzeln sind imaginär.

Für sehr kleine Werthe von /i haben diese Wurzeln die folgenden Grenzwerthe:

1) p. = v'f-

2) .,=V^i. 8) ,, = \-^^. Genauere Werthe geben die Gleichungen:

fiV'.z 1 (n

' ^'2 13; 3 \ 3

Wenn man die obigen Gleichungen fünften Grades mit der Gleichung (18*) in § 1 vergleicht, so ergiebt sich leicht, dass die Punkte, in deren Nähe periodische Bahnen vorkommen können, mit denjenigen Punkten zusammenfallen, in denen sich P befinden würde, wenn nach Lageange eine strenge Lösung des Problems der drei Körper existirt.

Ausserdem können periodische Bahnen in der unmittelbaren

§ 3. Die HiLL^sehe Orenxcurve. 111

Nähe der Massen tw^ und m^ vorkommen. Wir werden diese Bahnen in einem der folgenden Paragraphen näher untersuchen. Ich stelle hier die genäherten Werthe der Coordinaten der fünf Librationscentra zusammen und bemerke, dass man bei grösseren Werthen von fx zu den Gleichungen (15) zurückkehren muss.

A	-'.=->:.+(^)	■'■-!(-)•'■,	^=0,
h	1 {^\	3 \ 3 ;	-^^ - 0,
h	-3- rf7 + ^-	7 ,79	/.3 = 0,
h	1 1 - a = ^^= 2 1+,.	, *4	2 '
h	1 1 - jU • "5 2 1 + iu	. K	yy 2

§ 3. Die HiLL'sche Grenzcurve.

Bevor wir zur näheren Betrachtung der periodischen Bahnen in der Nähe der Librationscentra übergehen, ist es angemessen, eine aus dem jACOBi'schen Integral § 2 (7) herfliessende Eigenschaft der Bahncurven näher zu studiren.

Das JACOBi'sche Integral lautete:

Es wurde von Hill in seiner classischen Arbeit hervorgehoben, dass die Curve (2) 2 r2 - C = 0

eine wichtige Rolle für die Bewegung spielt.

Es folgt nämlich aus (1), dass die Coordinaten des Körpers in

112 Periodische Lösungen.

jedem Zeitmoment nothwendigerweise solche Werthe haben müs- sen, dass

2ß- C>0 ist.

Die reelle Ebene wird somit durch die Curve (2) in zwei Ge- biete getrennt, und eine Bewegung des Körpers P ist nur in einem dieser Gebiete möglich. Wenn die Curve aus einem Zweige oder aus mehreren geschlossenen Zweigen besteht, innerhalb welcher 2 ß — C positiv ist, so muss P bei seiner Bewegung immer in diesen geschlossenen Gebieten der Ebene bleiben.

Wir wollen die Curve (2) mit dem Namen „Grenzcurve" oder „HiLL'sche Grenzcurve" bezeichnen.

Im zehnten Abschnitt werde ich die Bedeutung dieser Grenz- curve für gewisse Stabilitätsfragen näher betrachten. In diesem Abschnitt werden wir die Form der Grenzcurve für das aste- roidische Drei-Körperproblem studiren.

Für jedes [i ist die Curve nur vom Werthe des Parameters C abhängig. Dieser Parameter kann aber nicht beliebige Werthe haben, wenn die Curve reell sein soll. Ist C negativ, so kann offenbar 2 ß — C nie gleich Null sein. Die Constante C hat also einen ge- wissen positiven Minimalwerth. Ist C kleiner als dieser Werth, existirt also keine Grenzcurve, und der Körper m kann, so weit es auf das jACOBi'sche Integral ankommt, eine beHebige Lage in der Ebene einnehmen.

Wir wollen diesen Minimalwerth aufsuchen. Für ihn müssen die Gleichungen

erfüllt sein, und aus dem vorigen Paragraphen wissen wir, dass dies in den Librationscentren L^ und L^ stattfindet. Der ent- sprechende Werth von 6' wird aus (2) erhalten, indem man

Qi = Q2 = ^ setzt, und also ist

(3) ^'Minimum = 3 (1 + ^) .

§ 3. Die HiLL^sche GrenzGurve. 113

Wenn C diesen Minimalwerth hat, so reducirt sich die Grenz- curve auf die beiden Punkte L^ und Z^.

Die Discussion der Form der Grenzcurve für verschiedene Werthe von C lässt sich in folgender Weise leicht ausführen.

Für sehr grosse Werthe von C lässt sich die Gleichung 2n- C, oder

(4) ^^'-^l^^i^^'^i

offenbar auf drei verschiedene Weisen erfüllen. Erstens wenn (j^ sehr kleine Werthe annimmt, zweitens wenn ()^ sehr klein wird, und drittens wenn die Summe

sehr gross wird. Für sehr grosse Werthe von C besteht also die Grenzcurve aus drei verschiedenen Zweigen, einem — a — sehr kleinen, der die Masse m^ umschHesst, einem — ß — auch sehr kleinen um die Masse m^ und einem — y — sehr grossen, der die beiden Massen umschliesst.

Die Gleichungen dieser Zweige in bipolaren Coordinaten sind genähert

Für c^: - = C,

„ ß: t^f = C,

Die Zweige a und ß sind also genähert Kreise. Der Radius des Kreises cc ist grösser als der Radius von ß. Ist ^ = 1 , so sind die beiden Kreise gleich gross. Die dritte Curve ist eine Art Oval.

Wenn C an Grösse abnimmt, so wachsen die Radien der beiden Kreise, und das Oval zieht sich zu gleicher Zeit zusammen. Für einen bestimmten Werth von C, den wir 6\ nennen wollen,

Charlibr, Mechanik des Himmels. II. ^

114 Periodische Lösungen.

fliessen die beiden Kreise zusammen, und die G-renzcurve nimmt eine Lemniscaten-ähnliche Form an. (Vgl. Fig. 5.)

Die Curve hat hier einen Doppelpunkt, dessen y-Coordiuate gleich Null ist und dessen .r-Coordinate die Gleichung

(») 1^ = 0

befriedigt. Diese Gleichung hat folgende Form:

iß. d fi X - r^ d Si X + r-i ^

Da hier

X _ r^ = _ ^j , .r + 7-2 = + (>2

ist, so dass die Gleichung lautet:

(6*) l^-l^— 0,

so fällt der Doppelpunkt mit dem Lihrationspunkt L^ zusammen.

Wird C kleiner als C^, geht die Lemniscate in eine Stunden- glas-ähnliche Curve über, welche bei einem Werth 6^ für C mit dem äusseren Ovale zusammenüiesst. Dieser Punkt liegt auf der X-Achse jenseits der kleineren Masse, so dass

Die Gleichung (6), die auch hier gilt, da es sich um einen Doppelpunkt handelt, giebt

und beim Vergleich mit dem vorigen Paragraphen findet man, dass dieser Doppelpunkt mit dem Lihrationspunkt L^ zusammenfällt.

Die Grenzcurve nimmt nun eine Hufeisen- ähnliche Figur an. Im Inneren der Curve ist 2Q — C negativ, und hier kann also keine Bewegung stattfinden. Indem C von dem Werth C^ an abnimmt,

Die HiLL^sche Orenxcurve.

115

schnürt sich die Hufeisen-ähnliche Figur allmählich zusammen und fällt bei dem Werth C = 63 in zwei Curven auseinander. Der Trennungspunkt liegt auf der X-Achse jenseits der grösseren Masse und man findet leicht, dass dieser Doppelpunkt mit dem Libra-

tionscentrum Z^ zusammenfällt.

Für C-Werthe, die kleiner als C^ sind, besteht die Grenzcurve aus zwei getrennten geschlossenen Zweigen, die für den Minimal- werth C^ in die beiden Librationscentra L^ und L^ übergehen.

Für noch kleinere C-Werthe existirt, wie schon hervorgehoben worden ist, keine Grenzcurve mehr.

Die obigen Transformationen der Grrenzcurve werden durch die folgende Figur 5 veranschaulicht, die dem Werth fi = 0.1 ent- spricht. Sie ist von Daewin berechnet in seiner bekannten Arbeit „On periodic Orbits" (Acta Mathematica Bd. 21, 1897), wo man auch die vollständigste Discussion der HiLL'schen Grrenzcurve findet.

Fig. 5. Grenzcurve für ju

Die Lage der Librationscentra (bez. der Doppelpunkte) ist aus der folgenden Zusammenstellung ersichtlich:

L,:

L^ und L-

	f^	= 0.1.
<?1	= 0.7175,	V2 = 0.2825 ,	(7i = 4.0182
Vi	= 1.3470,	(1. = 0.3470 ,	C^ = 3.8876
Vi	= 0.94(59 ,	^2 = 1.9469 ,	Gi = 3.4905
Vi	= 1.0000,	^^2 = 1.0000,	C4 = 3.3000 8*

116

Periodische Lösungen.

Um eine Vorstellung von der Veränderung der Lage der Librationscentra bei verschiedenen Werthen von fi zu erhalten, gebe ich noch die entsprechenden Zahlen für |U.= 1:320000 und für |U = 1 an. Die Lage der Librationscentra für (i = \ ist von BuRßAU berechnet worden (Astr. Nachr. 3230 und 3251).

L4 und L5

^ = 1:320000.

Qi = 0.98990 , Qi = 0.01010 , C^ = 3.0009264,

Pi = 1.01017 , ^2 = 0.01017 , C2 = 3.0009227,

?i = 0.99999818, ^2 = 1.99999818, C^ = 3.0000156,

Qi = 1.0000 , ^2 = 1.0000 , C^ = 3.0000094.

Endlich erhält man für ^u = 1 :

L. und Lr

^ = 1.

^1 = 0.5000 , ^2 = 0.5000 , Ol = 8.500 ,

pi= 1.6984, ^2 = 0.6984, Cg = 7.412 ,

^1 = 0.6984 , ^2 = 1.6984 , C3 = 7.412 ,

^1 = 1.0000, ^j = 1.0000, d = 6.0000.

Das Aussehen der Grenzcurve bei verschiedenen Werthen von C ist für ^i — \ aus der beigefügten Figur 6 ersichthch. Es mag indessen hervorgehoben werden, dass bei der Herstellung dieser Figur nur die Lage der Librationscentra und die Schnittpunkte der Curve mit der Z-Achse und mit der T-Achse in Betracht ge- zogen sind. Die letzteren sind durch die Formel

(7)

G 1 +|U

gegeben, wo q den Abstand des Schnittpunktes von irgend einer der Massen bezeichnet.

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Ldbrationscenira. 117

Fig. 6. Grenzcurve für /x = 1.

Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der X-Achse dient die Gleichung

(7*) 2q^ + 4q' + (3 - (7)(>2 + (5 - 6') (, + 2 = 0.

Man hat nur die positiven Wurzeln der Gleichungen (7) und (7*) in Betracht zu ziehen.

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. Fortsetzung.

In Folge der Relationen § 2 (10) nehmen die Differential- gleichungen in der Nähe der Librationscentra folgende Form an:

(1)

d'>] df

^ dr] d^Si f. , d^Si

dt

da^

rfl B^Si

+ 2«w = Wöy^ +

d ad b

db^

Es handelt sich also um lineare Differentialgleichungen mit Constanten Coefficienten.

118

Periodisclie Lösungen.

Wir köimen eine Lösung iu folgender Form ansetzen: wo A und B durch die folgenden Relationen bestimmt werden;

(2)

A\2nl

d a db

Bkni. +-,*':', Uü.

ö a db]

+ B

d^Si

Aus diesen Relationen erhalten wir die folgende Gleichung zur Bestimmung von X:

	d^Si
	■"■ da^
	2"^- öadb
oder
(3) l^-	l ö «' db^

= 0,

d ad b

= 0.

Die Natur der Bewegung hängt von den Werthen der Wurzeln dieser Gleichung ab. Wenn l^ einen reellen und negativen Werth hat, so existieren peiiodische Lösungen. Wenn solche Wurzeln nicht vorkommen, so kann P nur während einer endlichen Zeit in der Nähe des Punktes {a, b) bleiben.

Für die Berechnung der Wurzeln müssen wir die Werthe der zweiten Ableitungen von ß in den fünf verschiedenen Libra- tionscentren kennen.

Man hat

d'Sl d'^fi (dg^y , dfi ö^^i , d^Si. ( d o^y , d Si d^ q^

d a' d 9i» \d a) ~^ dg^ d a" ^ d o^^ V^ et

+

Öa*

Eine ähnliche Relation hat man für

dh''

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Liltrationscentra. 119

Weiter ist

dadb d Qi'^ d a d b d q^ dadb

d Q2^ d a db ÖQ^i *d a d b '

Aus diesen Ausdrücken erhält man die folgenden Werthe dieser Ableitungen in den verschiedenen Punkten.

Tabelle I.

	da"	db^	dadb
L,		— ^.-	q7	0
L,	>>	»		0
h	»	»		0
L,	i (1 + ^)	Hl +f')		-iV'^ii -n)
Ls	„	„		+ 31/3(1 -/,)

Die Werthe von ()^ und (>2 in den drei Punkten L^, L^ und Z/3 sind den Gleichungen § 2 (15) zu entnehmen.

Setzen wir

2/-= — 4--^

SO sind die Wurzeln, welche den Punkten L^, L^ und L^ ent- sprechen, durch die Formel

(4) A^ = - (1 + ^i - /•) ± PP - 4 (1 + 11) f

gegeben.

Diese Wurzeln sind reell, die eine ist positiv, die andere

120 Periodische Lösungen.

negativ. Dies wird von Plummee (Monthly Notices of tlie Royal Astr. Sog. LXII. 1901) in folgender Weise bewiesen:^

Aus (3) ist ersichtlich, dass der Satz bewiesen ist, wenn man zeigt, dass

'a^ db' [dadbj ^

ist. Nun ist aber, nach Tabelle I, in L^, L^ und L^

^''^ =0, ?^>0,

d a d b ' da

und es genügt also zu zeigen, dass

(5)		db^ ^^
ist.
Man hat aber für y = 0
(6)		dy^ ~ Ql ÖQi Q, ö?2
In L^ ist		dSi dSi 1
und also		d^Si / 1 , 1 W 1 \
ein Ausdruck,	der	negativ ist, weil q^ < 1 ist.
In L^ ist

dSi __ dS2 _ J

und also

e^Si _ / J l_W _ J \

* Die Herren C. A. Schultz-Steinheil und Boürget haben mir vorher brieflich ähnliche Beweise dieses Satzes gesandt.

§ 4, Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. 121

und weil q^^ = q^ + 1 ist, so ist der erste Factor in diesem Aus- drucke negativ, der zweite aber positiv, also -ä-x negativ. Endlich ist in L^ auch

dy

^ = (|-i) (<'■-?,')

und da hier q^ = q^ + \ ist, so ist der erste Factor positiv, der zweite negativ, und auch in diesem Falle wird also . , negativ

ausfallen.

Der negativen Wurzel }? entspricht eine periodische Lösung der Differentialgleichungen, und es existiren also für alle (j, perio- dische Bahnen in der Umgebung von L^, L^ und Ly

Die numerische Auflösung der Gleichung (4) giebt folgende Werthe der Wurzeln für ^u = 1 , ^u = 0.1 und |U = 1 : 320000.

Tabelle IL

^2

/*	A	L	2	L,
1	+ 28.63	-16.63	+ 2.671	-3.531	+ 2.671	-3.531
0.1	+ 12.426	- 7.482	+ 4.695	-3.091	+ 0.253	-1.261
1:320000	+ 6.413	- 4.353	+ 6.176	-4.234	0.000	- 1.000

Die Grenzwerthe der Wurzeln für verschwindenden Werth von H wird durch die Formel

(4*) A2 = 1 ± ]/^

in i/j und L^, und durch (4**) A2 = - 0.5 + 0.5

in i/3 ausgedrückt.

Die periodischen Lösungen in der Nähe von L^ und X. lassen sich leicht discutiren. Mit den gegebenen Werthen der Ab-

122 Periodische Lösimgen.

leitungen erhält man dieselbe Gleichung für Z in beiden Punkten, nämlich

(7) 4 X^ + 4 (1 + n) P + 27 /i = 0 .

Die Wurzeln dieser Gleichung sind reell, wenn

(l+//)2>27^, d. h. wenn

(8) fi < 0.0401 .

Ist fji kleiner als dieser Grenzwerth, so sind die Werthe für l^ beide negativ und es giebt dann ztvei verschiedene Gattungen von periodischen Lösungen. Wenn dagegen ^> 0.0401, dann hat man in diesen Punkten keine periodischen Lösungen.

BuEEAU hat 1. c. einige numerische Kechnungen gemacht, um periodische Bahnen für ^ = 1 in der Nähe von L^ zu suchen und keine gefunden, was zu erwarten war, da solche nicht, wenigstens in der unmittelbaren Nähe dieses Punktes, für diesen Werth von fj, vorkommen.

In Z^ und Z^ sind also periodische Lösungen nur für sehr kleine Werthe von n vorhanden. Es ist deswegen angemessen, die Wurzeln von (7) nach Potenzen von fi zu entwickeln. Wir erhalten dann für die eine Wurzel von (7) den Ausdruck

P=_G.75|U- 38.8125/ und für die andere

A2 = - 1 + 5.7 5. u + 38.8125/^2.

Zu jeder W\irzel A gehört ein entsprechender Werth von A:£. Das allgemeine Integral von (1) lautet

(9)

i-^A'"'

V =

gi»,....

§4. Periodisclie Lösungen in der Nähe der Librationscentra. 123

wo J. uud j5. durch die Relation

fii o

fi 0^ A _ ^^^^^ .

^* da^

mit einander verbunden sind.

Vier von den Coefficienten A^ und 5. können willkürlich ge- wählt werden. Ich will B^, B^, B^ und B^ als diese willkürlichen Constanten bezeichnen. Die entsprechenden Werthe von A. werden dann aus (10) erhalten.

Es seien A^ und ^.g ^iwei conjugirte rein imaginäre Wurzeln, so dass, wenn

1/2 = _ A2

gesetzt wird, die entsprechenden v-^ und v^ reell sind. Zur Ab- kürzung setzen wir noch

_ ^'^ . - ^'-^

Es ist also

f.=

esi

dadb

t

2y'i + ^^..

v^ + r

,^ + r

v^ + r j/* + r "

Wir trennen in Jj und J^ die reellen und imaginären Theile, indem wir setzen

A^ = a^ + u^^ ]/^^ ,

und können dann schreiben

^3 = /^l-/^2V^.

124

Periodische Lösungen.

Es ist also

Ä^ e^i' + A^ e^«' = 2(Zj cos i/g ^ + 2 «2 sin Vg t .

Wenn die willkürlicheu Constauten B^ und i^^ gleich Null ge- wählt werden, so existirt also eine periodische Lösung von der Form

(11)

I = 2a^Q,o^v^t + 2 «2 sin «'2 ^ . 1] — 2ß^ cos v^t + 2/^2 sin v^ t,

und zwischen den Coefficienten bestehen hier die Relationen

(in

\ ^,^2j^^,,^^2nvJ^- iß,,

und die Gleichung (3) lautet

(11**) [v'^ + r) (y + 5) = 4 n2 v'^ + tK

Aus (11*) und (11**) erhalten wir

{^'2' + r){a,ß,+a,ß,)=- ta^^-^ß^),

(■^2' + O (^1 /^2 - ^2 /^i) = - '-^^ *'2 (Ä' + iV) .

(/'2^ + 7-) (^,=^ +«2^ )= (/'2" + ^)(/:?l' + /?2')-

Die Gleichung der von P beschriebenen Bahn wird erhalten, indem man die Zeit aus den Gleichungen (11) eliminirt. Man erhält in dieser Weise:

«,, «2

2

1» «2

3

+

1 ^I, 1 ^

1 Ä. Ä

^/, /^^

Ä, »/ 1

oder

oder, indem wir die Werthe von u und ß einführen,

§ 4, Periodisehe Lösungen in der Nähe der Lihrationscentra. 125

(12) R^ = {v^ + r)^^ + {v^ + s)',f+2t^n,

wo

(12*) R'^'-^-iß.' + ß,^-

Ziehen wir die Werthe von r, s und t aus Tabelle I in Be- tracht, finden wir, dass die Curve (12) für alle Librationscentra eine Ellipse repräsentirt.

In L^, L^ und L^ ist

t = 0,

und eine Achse der Ellipse liegt also in der Achse der |-Coordi- naten. Wir werden später zu diesen Curven zurückkehren.

In L^ und Lg müssen die Achsen des Coordinatensystems ge- dreht werden, so dass sie mit den Achsen der Ellipse zusammen- fallen. Setzen wir

I = .r cos ö — y sin ö ,

1] = .r sin ö + ?/ cos Ö ,

so erhalten wir für den Winkel d den Werth

2?

(13) tg2Ö= _

oder nach Tabelle I

(13*) tg2ö = ±]/3J

+ /i

wo das Zeichen -|- dem Punkte L^, das Zeichen — dem Punkte L^ gehört.

Da die Masse ii immer kleiner als 0.04 ist, wenn eine perio- dische Lösung existirt, so ist aus (13*) ersichtlich, dass der Winkel Ö wenig von ±30*^ abweicht.

Bie eine Achse der Ellipse ist also nahe gegen die grössere Masse (m^) gerichtet, die andere Achse steht senkrecht zu dieser Linie.

Für die halben Achsen a und h der Ellipse erhalten wir die Werthe:

126 Periodische Lösungen.

?J = [v^ + r) cos^ ö + (1^2 + s) sin^ 0 + tmi2d , Ausdrücke, die auch in der Form

732

^ cos 2 Ö = [v- + /•) cos- Ö — [v- + s) sin- 0 ,

^ COS 2 /9 = (i'- + s) cos- Ö - (/'- + r) sin 2 6»

geschrieben werden können.

Die genauen Werthe der Halbachsen können leicht erhalten werden. In Anbetracht des kleinen Werthes von ^u, wenn periodische Lösungen vorkommen, ist es indessen zu empfehlen, sich einer Eut- wickeluDg nach Potenzen von fx zu bedienen. Es ist genähert

cos2Ö = i + ||u,

C0S2 ö = 1 + ||U,

sin- Ö = i - I /i . Weiter ist (genau)

^ = 4 + 1/*»

In Bezug auf v^ müssen wir zwei Fälle unterscheiden, den zwei Wurzeln von (11**) entsprechend:

Hier ist

1) i'2 = 6.75/x.

Ä2=i44^(/9,2 + /?2^,

a^= 16 [i'j{' + ß^],

h-^= 48fx{ß,^ + ß/), so dass (14) * = ]/37^«.

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Ldbrationscentra. 127

Die Excentricität der Ellipse ist immer nahe gleich der Ein- heit. Der grösste Werth von b:a, der vorkommen kann, ist:

Max. - = 1/012 = 0.35 .

Ist Wg die Erde, für welche wir

setzen, so ist

Itt = 1 : 320000

- = 0.00306 ,

a

Ist |U, die Masse Jupiters (wir nehmen an, dass m^ die Sonne bezeichnet), dann ist die grössere Achse in der Ellipse 1 9 mal grösser als die kleinere Achse.

Für die zweite Wurzel von (11**)

2) 1/2^1-5.75^

hat man

und weiter

64 848

B^ = ^-

49 ^

^'=~{ß^ + ß2')^

Beide Achsen bleiben endlich für verschwindende Werthe von jtt. Die grosse Achse ist das Zweifache der kleinen Achse.

Durch jeden Punkt hinreichend nahe den Punkten Z^ oder i/g ist es also möglich zwei Curven zu ziehen, welche zwei verschiedenen periodischen Lösungen des Problems entsprechen.

Wir müssen bemerken, dass die Werthe der Halbachsen der Ellipsen in den zwei Fällen 1) und 2) nicht direct mit einander vergleichbar sind, da ß^^ + ß^^ mchi nur von den Anfangscoordi- naten, sondern auch von dem Werthe der Wurzel v abhängt, der in den zwei Fällen verschieden ist.

128

Periodische Lösungen.

Wir wollen a und b direct durch die Anfangscoordinaten aus- drücken.

Wenn diese mit 1^, und ?/y bezeichnet werden, so ist nach (11**)

Wir wollen, der Einfachheit wegen, annehmen, dass r],^ — 0, dann ist

(15) 16^^^^(^i^ + /?2') = (^^ + r)^loS

und also im Falle 1)

ß^' + ß:

2 192,

loS

und im Falle 2)

ß^ + ß^ = -^io'>

256

so dass die halben Achsen der Ellipsen folgende Werthe annehmen.

1

1)

12fi

lo^

b^ = -^^ 2 ^ 16 ^0 •

In allen diesen Formeln hat |(, dieselbe Bedeutung, nämlich die |-Coordinate desjenigen Punktes, in welchem die Curve die |-Achse schneidet.

Wir bemerken, dass für alle Curven derselben Familie, die Excentricität einen und denselben Werth hat, nämlich für 1) yi — 3jtt und für 2) j/f .

Die kleinen Achsen der beiden Curven sind beide endlich. Die grosse Achse in 2) hat auch einen endlichen Werth, dagegen wächst

4. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra.

[29

die grosse Achse im Falle 1) ins Unendliche, wenn fi gegen Null abnimmt.

Es ist von Interesse, die periodischen Curveu mit Hinsicht auf den Werth der jACOBi'schen Constante C zu classificireu. Es ist nämlich bemerkenswerth, dass jedem Werth von C höchstens eine periodische Curve in der Nähe jedes Librationscentrums entspricht.

Das jACOBi'sche Integral lautete:

|'2 + 7/2 = 212 -6'.

Wir wollen hier C durch die Anfangscoordinaten 1^, und 7/^ ausdrücken.

Aus (11) erhält man

[ I' = — 2«'2 ^1 sin v^ t -\- 2v^ a^ cos v^ t ,

\ 7y' = — 2 i'g ßi sin v^t -\- 2 v^ ß.^ cos v., t .

Setzen wir in diesen Gleichungen und in (11) t = 0, erhält man

(16^)

(lü)

V=2«'2/^2-

Mittelst (11*) können wir 1^' und i]^ durch u^ und ß^ aus- drücken und dann auch durch 1^, und i]^. Man hat

2nv^a^ = ta^+ [v'^ + s)ß^ ,

2nv^ß^=-{v' + r)a, - tß^,

so dass

und also

+ [v-' + r + ,-^ + ,-]2t^,Vo

CuARLiER, Mechanik des Himmels. II.

130 Periodische Lösungen.

Wenn Q. nach Potenzen von | und r; entwickelt wird, so erhält man, indem die Relationen § 2 (10) in Betracht gezogen werden,

0 ' ö a* * d¥ d a db*

wo ßj) den Werth von ß in dem betreifenden Librationscentrum bezeichnet.

Indem wir, wie vorher, den Punkt (|q, //„) so wählen, dass '//p = 0 ist, so erhalten wir

(17) c=2ß,+ p-^(^^+(,^ + rf)]|„^

Mit den schon gegebenen Werthen der Ableitungen und der L^ und Zg im Falle 1)

Wurzeln in L^ und L^ erhalten wir also

im Falle 2)

C=2ß, + A|^.

^=2i2,--3^|,^.

Wir lernen aus diesen Ausdrücken, dass solche 6-Werthe, die etwas grösser als 2^^ sind, der Curvenschar 1) angehören, wogegen in 2) die C-Werthe etwas kleiner als 212^ sind.

Die Curven, welche der Wurzel 1) entsprechen, wollen wir die Familie d von Curven nennen, und die Curven, welche der zweiten Wurzel von (11**) gehören, als die Familie e von Curven bezeichnen.

Zu jedem Werth von 1^ gehören zwei Werthe von C, wogegen nur ein Werth von 1^ jedem Werth von C — der nicht viel von 2^0 abweicht — entspricht.

Wie im vorigen Paragraphen bewiesen wurde, ist in L^ und L^

(17*) 2ß, = 3(l+^).

Dies ist der kleinste Werth von C, für welchen reelle Zweige

der HiLL'schen Grenzcurve

2ß-C=0 existiren.

§ 4. Periodische Lösutigen in der Nähe der Librationscentra. 131

Hat C einen Werth, der etwas grösser als dieser Minimal- werth (17*) ist, besteht die Grenzcurve aus zwei Ellipse-ähnlichen Zweigen, welche die Punkte L^ und Xg umgeben. Die Gleichungen dieser Ellipsen sind

Wird diese Ellipse mit der Ellipse (12) verghchen, so finden wir, dass die Achsen der beiden Ellipsen parallel sind. Die perio- dischen Curven von der Familie d umschliessen also die ähnUchen Ellipsen, welche die Grenzcurve für C-Werthe etwas grösser als 3 (1 + fi) bilden.

Für C < 3 (1 -I- |U) ist keine Grenzcurve vorhanden. Es giebt aber auch dann periodische Lösungen, nämlich die Curven von der Familie e. Es ist von Bukrau zuerst bemerkt worden, dass die Existenz einer Grenzcurve keine nothwendige Bedingung für das Vorkommen von periodischen Lösungen ist.

Die Umlaufszeit von P in ihrer Bahn kann leicht gefunden werden.

Wird die Umlaufszeit in einer Bahn von der Familie d mit r^ und in einer Bahn von der Familie e mit Tg bezeichnet, so ist allgemein

_ 2n

Die Umlaufszeit von m^ und m,^ um den gemeinsamen Schwer- punkt war durch die Gleichung

27t

gegeben, so dass

(18) r=.yi±lT.

Setzen wir hier die Werthe von v, welclie den Fällen d und e entsprechen, ein, so finden wir die folgenden genäherten Werthe der Perioden:

132 Periodische Löstmg&n.

* )/6.75|u'

T^ = T{1 +3.375^).

Die Umlaufszeit ist dieselbe für alle Curveu derselben Familie. Für die Familie e ist die Umlaufszeit nahe gleich T, für die Familie d ist die Periode sehr lang. , Nehmen wir z. B.

ju= 1:320000,

so dass »«2 die Erde, ?h^ die Sonne bezeichnet, so hat man

T^ = 217.8 Jahre,

r. = 1 Jahr + 5.546 Minuten.

Wir kehren nun zu den periodischen Bahnen in der Nähe von i/j, i/g und Xg zurück. Ihre Gleichung war

wo B^ den Werth (12*) hat. Die halben Aclisen der Ellipsen haben die Werthe

in Folge der Relation (11**).

Setzen wir den Ausdruck (15) für ß^'^ + ß^'^ hier ein, so be- kommt man

l 4 W2 y2 So y2 + s So •

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra. 133

Die Excentricität dieser Ellipsen ist also von |^ unabhängig, und hat also für sämmtliche Curven, welche einen der Punkte L^, L^ oder L^ umschliessen, denselben Werth.

Aus den Ausdrücken für r und s in Tabelle I folgt, dass

1^2 + r > 1/2 + s ,

und also ist b die halbe grosse Achse der Ellipsen.

Die halbe kleine Achse a ist gleich 1^, wie erwartet werden konnte.

Unter Anwendung der Werthe aus Tabelle I erhalten wir die folgenden numerischen Werthe der charakteristischen Constanten der Ellipsen um L^, Z/^ und Lg für|U=l, /i.==0.1 und /x= 1:320000. Wir bezeichnen mit Darwin diese Curven bez. als die Familie a, b und c von periodischen Bahnen.

Tabelle HI.

Familie a von periodischen Bahnen.

	/. = !	(i = 0.1	ju =^1:320000
da-	+ 34.000	+ 15.388	+ 9.120
	-14.000	- 6.044	- 3.060
pi	+ 16.63	+ 7.482	+ 4.353
v^ + r	+ 50.63	+ 22.87	+ 13.473
J'^ + s	+ 2.63	+ 1.438	+ 1.293
b:a	4.387	3.988	3.227
e	0.974	0.968	0.951
t:T	0.347	0.384	0.479
z«	124".8	138«.0	172«.6

t" ist der Winkel, den die Linie m^ m^ in derjenigen Zeit be- schrieben hat, in welcher P einen Umlauf in seiner Bahn zurück- gelegt hat.

134

Periodische Lösungen.

Tabelle IV. Familie b von periodischen Bahnen.

	n = 1	[i = 0.1	fi= 1:320000
da"	+ 8.280	+ 6.708	+ 8.884
	- 1.140	-1.704	- 2.942
v'	+ 3.531	+ 3.091	+ 4.2.34
v-' + r	+ 11.811	+ 9.799	+ 13.118
v' + s	+ 2.391	+ 1.387	+ 1.292
b:a	2.221	2.659	3.187
e	0.893	0.929	0.951
t:T	0.752	0.597	0.486
T«	270''.9	214«.8	1750.0

Tabelle V.

Familie c von periodischen Bahnen.

	fl=l	^ = 0.1	\|it = 1:320000
da''	+ 8.280	+ 3.484	+ 3.000
	- 1.140	-0.092	0.000
yl	+ 3.531	+ 1.261	+ 1.000
v^ + r	+ 11.811	+ 4.745	+ 4.000
V^+S	+ 2.391	+ 1.169	+ 1.000
b:a	2.221	2.015	2.000
e	0.893	0.869	0.867
t:T	0.752	0.934	1.000
T«	270"'.9	336*'.2	3600.0

§ 4. Periodische Lösungen in der Nähe der Ldbrationscentra. 135

Wir haben noch die Richtung der Bewegung in den ver- schiedenen Bahnen zu bestimmen. Es ist für diesen Zweck ge- nügend ^0=^^ ^^ setzen, in welchem Fall die Richtung durch das Zeichen von ij^' bestimmt ist. Es ist aber

2n

%

{v' + r)i,.

Da das Zeichen von v^ -\- r für alle Curven positiv ist, so werden sämmtliche Curven in einer Richtung beschrieben, die der- jenigen Richtung entgegengesetzt ist, in welcher die Bewegung von

und

um den gemeinsamen Schwerpunkt stattfindet.

Mittelst (17) kann man die jACOBi'sche Constante durch den Anfangswerth ^^ der Coordinate | ausdrücken. Man bekommt hieraus

Tabelle VI.

IVerthe der Jacqbi' sehen Coustarite.

Familie	(1 = 1	iu = 0.1	fi= 1: 320000
a	8.500-286.0 ^o'	4.0182-103.5 ^0*	3.0009264-36.22 lo'
b	7.4r2- 9.16 ^o'	3.8876- 15.12 i;^	3.0009227-34.16 ^o'
e	7.412- 9.16 ^o'	3.4905- 1.63 V	3.0000156- 1.00 fo'
d	-	-	3.0000094+ ,3g lo*
e	-	-	3.0000094- ,V ^o'

Durch jeden Punkt in der Umgebung von L^, L.^ und L^ kann man eine — und nur eine — periodische Curve der ersten Classe legen. Die JAcoBi'sche Constante ist für die Curven von der Familie a immer kleiner als Cj, was ja nothwendig ist, weil die Grenzcurve für C = C^ einen Doppelpunkt in L^ besitzt. Aus ähn- lichem Grunde muss, für die Familie b, C kleiner als 6^, für die Familie c, C kleiner als Cg sein. Durch jeden Punkt in der Um- gebung von L^ und L^ können dagegen immer zwei periodische

136

Periodische Lösungen.

Bahnen gelegt werden, die eine — von der Familie d — von sehr langer Periode, die mit abnehmendem Werthe von ^ ins Unendliche wächst, die andere mit einer Periode etwas länger als die Umlaufs- 2 um den gemeinsamen Schwerpunkt.

zeit von m^ und

ß-tO

//- =1o

Fig. 7. Periodische Bahnen in der Nähe der Librationscentra Li, Lg und L3.

Die in den Tabellen III, IV und V berechneten Curven sind in der obigen Figur wiedergegeben. Der Abstand der Schnittpunkte der Cui-ven mit der |- Achse vom entsprechenden Librationscentrum ist für alle Curven gleich. Die Curven um L^ sind etwas verzeichnet, insofern sie für ju = 0.1 und |ti= 1:320000 im Maassstabe der Figur fiist zusammenfallen müssen.

Die periodischen Bahnen um L^ in Fig. 8 sind für ^l = O.Ol gezeichnet, da die grosse Achse der Elhpse der Familie c für

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgehung der Massen. 137

Fig. b. Periodische Bahnen in der Nähe von L^.

|tt= 1:320000 allzu gross sein würde. Die beiden Curven schneiden sich in einer durch L^ parallel der |-Achse gezogenen Linie.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen.

Wenn der Asteroid P mit m^ oder m^ zusammenfällt, wird q^ oder Og gleich Null und also ß unendlich gross. Die Potential- function i3 lässt sich also in den Punkten m^ und m., nicht nach steigenden Potenzen der Coordinaten entwickeln. Die Untersuchung der periodischen Bahnen in der Umgebung der Massenpunkte ist deswegen mit bedeutend grösseren Schwierigkeiten verbunden als die Untersuchung der Bahnen in der Umgebung der Librations- centra. Das hier vorliegende Problem kann auch nicht als völlig gelöst betrachtet werden, obgleich sehr tiefgehende und höchst interessante Untersuchungen von Hill wichtige Eigenschaften der Lösungen entdeckt haben.

Wird der Anfangspunkt der Coordinaten in den Schwerpunkt von m^ und m^ gelegt, so lauten die ßeweguugsgleichungen für P\

138

Periodische Lösungen.

(1)

CpX n dl 2 SU

-—i- — 2n ~ 7i^x = ^—

dt^ dt dx

dt'

dx

du dy

wo wir noch die Einheiten für Masse und Abstand unbestimmt lassen, dagegen die Attractionsconstante gleich Eins setzen. Es ist also

(1*)

n2	=	nii	4- W.2
		a^
V	—	w?,	+ '-

und also:

oder unter Berücksichtigung von (1*)

«3 ?! + „8 (>2 - ^ F + y j + '^ (/wx + w^)» "^ •

Setzen wir also

(2-) 2ß=„,,(i.:+|)+«.(^'+l),

so können wir die Bewegungsgleichungen in der Form

(2)

d^x _ 2 dy _ dSi 'd¥~ ~dT " ~J^

d^'y , 9 „ dx _ dfi

dt'-^ '^"-dT-'dJ

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgehung der Massen. 139

schreiben. Diese Gleichungen gehen für a = 1 = m^ in die Glei- chungen § 2 (6) über. Indessen wollen wir erst später die Wahl der Einheiten treffen.

Um die Bewegung in der Umgebung einer der Massen, z. B. m^, zu untersuchen, setzen wir

(3) ■

y = n

und erhalten

(4)

df" '' dt ~ d^

^''^ 4-2« ^^ -^ dt^ '^ ^"^ dt ~ dn

wo Q noch durch (2*) gegeben ist.

Alle Glieder in i2 mit Ausnahme von

?2 V^'+r]^

lassen sich nach Potenzen von | und i] entwickeln. Es ist

und

also

^ + 1 = 1 + ^-iV

Lassen wir die constanten Glieder und Glieder von der dritten und höheren Ordnung weg, so ist also

140 Periodische Lösungen.

oder

2 n = ii/i'-^ $2 _ '^>h t^i + '"i^ ,^^ _|_ -A!!h^ .

Wir verfügen jetzt über die Einheiten für Abstand und Masse in der Weise, dass

(6) n = m^ = \,

und erhalten also

oder

(5*) 2 f} = -^J= + 3 12 - -- ~ i' + ^— 7/2 .

In Folge der gemachten Wahl der Einheiten ist der Abstand a zwischen m^ und m^ durch die Formel

(6*) a = ]/Y+^ni,

)en. Sind z. B. die beiden Massen einander gleich, so ist a= ]/2, und wenn m^ = Sonne, m^ = Erde ist, so hat man

(6**) « = yi + 320000 = 68.4.

Die Differentialgleichungen (4) lauten, mit den angenommenen Einheiten,

dl

(7)

if" dt \{^''+ff' l + mj*

df" dt \{^^ + if)'' 1 + Wi

welches die Differentialgleichungen für die Bewegung von P in der Umgebung der Masse m^ sind.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 141 Für die Gleichungen (7) existirt das Integral von Jacobi:

und für die HiLL'sche Grenzcurve gilt also hier die Gleichung: (8*) 0 = -J= -\-(s ^^— )|2 + -Ji^^2_c,

Die Untersuchung von Hill über die periodischen Bahnen in der Nähe der Massen bezieht sich auf den Fall, dass m^ sehr gross im Verhältniss zu m^ ist. Seine Methode kann indessen für einen beliebigen Werth von w.^ benutzt werden. Wegen der grossen astronomischen Wichtigkeit des von Hill behandelten Falles werde ich mich hier auf diesen Fall beschränken.

Ist ?Wj sehr gross, so findet man, dass die letzten Glieder der Gleichungen (7) viel kleiner als die vorhergehenden sind. Da diese Gleichungen unter der Voraussetzung erhalten worden sind, dass man die Glieder dritter oder höherer Ordnung in £2, also die GKeder zweiter und höherer Ordnung in (7) vernachlässigt hat, so ist eine consequente Folgerung hieraus, dass auch die Glieder

2x 1

una

1 +

für sehr grosse Werthe von m^ , in welchem Fall sie mit |^ und tj^ vergleichbar sind, vernachlässigt werden.

Unter dieser Vorausetzung nehmen die Gleichungen (7) folgende Form an

(9)

dt^

142 Periodische Lösungen.

Es sind dies die Gleichungen, die von Hill seinen Untersuchungen zu Grunde gelegt werden. Sie gewähren das Eigenthümüche, von jedem Parameter frei zu sein und werden deswegen als die cano- nischen Differentialgleichungen des Problems betrachtet. Diese Eigenschaft hängt mit der Wahl der Einheiten für Masse und Länge zusammen und Hill nennt aus diesem Grunde diese Ein- heiten canonische Einheiten. Wir bemerken aber, dass diese Eigen- schaft verloren geht, wenn die Massen m^ und m^ von derselben Grössenordnung sind, in welchem Falle die Gleichungen (7) benutzt werden müssen.

Aus (9) erhält man das Integral

CO) (4fr+(4fr=f+Br-^'-

Die Gleichung der Grenzcurve ist also (10*) A + 3|2-C'=0.

Diese Curve ist natürlich eine vereinfachte Form der allge- meinen Grenzcurve für das asteroidische Drei-Körperproblem, die wir in § 3 ausführlich discutirt haben. Wir können uns deswegen in Bezug auf die Eigenschaften von (10*) kurz fassen.

Jedem Werth von | entspricht ein bestimmter Werth von q — die Grenzcurve ist also symmetrisch zur |- Achse. Für jeden Werth von Q erhält man entweder keinen Werth oder zwei Werthe von |. Diese sind einander, dem absoluten Betrag nach gleich, haben aber verschiedenes Vorzeichen. Die Curve ist also auch zur »/-Achse symmetrisch.

Die Curve ist eine algebraische Curve 6**° Grades.

Die |-Coordinate kann nicht beliebig gross werden. Der Maximalwerth ist offenbar durch die Ungleichheit

-l/l<^<l/|

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgehung der Massen.

[4B

gegeben. Wenn i] ins Unendliclie wächst, nähert sich | einem von diesen Grenzwerthen und die Curve hat also zwei geradlinige

Asymptoten parallel der //-Achse im Abstände | = ± ]/— •

Zwischen diesen Linien hängt der Verlauf der Curve vom Werthe von C ab.

Die ?;- Achse wird nur in zwei Punkten geschnitten, welche durch

gegeben sind.

Für die Schnittpunkte der Curve mit der Z-Achse erhält man die Gleichung dritten Grades

(12)

C^ +

0.

Ist C sehr gross, so besteht die Curve aus einer sehr kleinen geschlossenen Curve um m^ und zwei Zweigen, welche sich den Asymptoten nähern (Fig. 9).

Wenn C abnimmt, so kommt man zuletzt zu einem Werth C^, für welchen die innere Curve und die äusseren Curven zusammen- fliessen. Die Gleichung (12) muss dann eine Doppelwurzel haben. Dies findet für

£)

Fig. i1. Grenzcurve 1 grosse C-Werthe.

(13)	C=3y8
statt, d. h. für
	C= 4.326.

Der entsprechende Werth für | ist

(13*)

|=±^ = 0.6934.

Die so bestimmten Punkte fallen mit den Librationspuukten L^ und Xj zusammen (Fig. 10).

144

Periodische Lösungen.

Ist C< 4.326, so besteht die Grenzcurve aus zwei offenen Zweigen (Fig. 11).

V	]


(	]

Fig. 10. Grenzcurve für C = 3 l/S.

Fig. 11. Grenzcurve für C < 3 |/3.

So oft C> 4,326 ist, muss eine beliebige Balmcurve in der Umgebung von m^ innerhalb der kleinen Grenzcurve bleiben und man sagt dann, dass die Bewegung stabil ist.

Betrachtet man das System Erde — Sonne, so ist der Ab- stand zwischen m^ und m^, in canonischen Einheiten ausgedrückt, wie schon bewiesen ist, gleich 68.4. Der Librationspunkt liegt

also im Abstände -^ von m^, was mit dem in § 1 erhaltenen Resultate übereinstimmt.

Bei der Aufsuchung der periodischen Lösungen der Differential- gleichungen (9) kann man zunächst zwei verschiedene Wege ein- schlagen.^ Entweder geht man von gewissen Anfangszuständen aus, berechnet mittelst mechanischer Quadratur die entsprechende Bahncurve und variirt dann die Anfangszustände, bis man zu einer Curve gelangt, die in sich selbst zurückkehrt. Oder man setzt in

^ Es giebt natürlich auch andere Methoden, die hier möglicherweise zur Anwendung kommen können, z. B. solche, die auf rein analytischen Beti-ach- tungen beruhen.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 145

(9) für I und rj periodische Reihen ein, und sucht mittelst der Gleichungen (9) die Coefficienten in diesen Reihen zu bestimmen.

In Betracht der compHcirten Beschaffenheit der Gleichungen (9) scheint es a priori kaum erspriesshch, den letzteren von diesen Wegen zu versuchen. Nichtsdestoweniger hat Hill die Kühnheit gehabt, dies Problem anzugreifen, und es ist ihm auch in der That gelungen, die Schwierigkeiten des Problems zu überwinden, und es, wenigstens in einem für die Praxis sehr wichtigen Fall, allgemein zu lösen.

Ein Haupthinderniss für diese Behandlungsweise liegt in dem Vorhandensein in den Differentialgleichungen von negativen Potenzen des Abstandes q. Es liegt auf der Hand, dass es in der That unüberwindHch wäre, Recursionsformeln für die Coefficienten auf- zustellen, wenn es nothwendig ist, sich der Gleichungen (9) direct zu bedienen.

Diese Schwierigkeit überwindet Hill in der Weise, dass er mittelst des jACOBi'schen Integrals 1 : q aus den Differentialgleichungen wegschafft. Diese Elimination geschieht in der folgenden Weise.

Indem man die beiden Gleichungen (9) mit bez. —i] und | und mit bez. | und i] multiplicirt und die Resultate addirt, erhält man:

(14)

Das jACOBi'sche Integral giebt aber

und mit Hilfe desselben kann die zweite Gleichung (14) in der Form

"•1fi +

geschrieben werden.

Charlikr, Mechanik des Ilimmels. II. 10

146 Periodische Lösungen.

Die Gleichung (14*) und die erste Grleichung (14) können zu- sammen die ursprünglichen Differentialgleichungen (9) ersetzen. Die Constante C wird als gegeben betrachtet. Indem man hier für | und 1] unendHche FouniEE'sche Eeihen einführt, bekommt man für die Coefficienten Eecursionsformeln, die zwar alle eine unendliche Zahl von Coefficienten enthalten, die aber nur vom zweiten Grade sind. Die Gleichungen (9) würden zu Eecursionsformeln vom achten Grad geführt haben.

Die Aufstellung der Eecursionsformeln wird von Hill in folgender Weise ausgeführt.

Zuerst führt er für | und i] zwei neue abhängige Veränderliche u und s durch die Gleichungen

(15) ■

l-y-1./

M S = 1^ + -^/^

und erhält die neuen Gleichungen

(16)

df' ^ dt (US)'' 2 ^

^-2Y^i-^ + -^ - ^{u + s) = 0. dt" ' dt (us)'^ 2

Es ist auch angemessen, für t eine neue unabhängige Ver- änderliche einzuführen.

Wenn nämlich zu diesen Gleichungen ein periodisches Integral mit der Periode

2n

existirt, so können, nach dem Theorem von Foueiee, die Coordi- naten nach den positiven und den negativen Potenzen von

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 147

(17)

^= eV^^Ht-to)^

wo t^ eine Integrationsconstante bezeichnet, entwickelt werden.

Der Werth der Zahl v ist vorläufig unbestimmt.

Wird mittelst (17) ^ als unabhängige Veränderliche eingeführt, bekommt man die folgenden Differentialgleichungen

(18) oder

(18*)

d\t

2 y i d 1^ \ et y du u ,3, ,. ^

d'Q ^ d'Q {usfl^ ^ 2 ^ ^

d\K

v^-

dt, \ n s- ds s ,3, ,, ^

j _ 2 1/ ^ j- -{ (m + ä) = 0

d'Q {usfl-- 2^ '

Es ist vortheilhaft, das folgende von Hill benutzte Symbol einzuführen:

d

(19)

so dass nach (18*)

D = C

dl;

3 11,3 ^

2 {us)''\ 2

\v^l)^-2vD-h- Kr] s-{-^u = 0,

[ 2 (us)H 2

oder, wenn man

setzt,

(19=0

\D^ + 2mD

(us)

D'--2mD -^-m^ -

{US)''

M H m^ s = 0 ,

H m^u= 0.

10^

148

Periodische Lösungen.

Das jACOBi'sche Integral lautet mit den eingeführten Ver- änderlichen:

(20)

Bu D s + ^ + -m''[u + sf = C. yus 4

Das Glied 1 -.[us)^!"- wird, mit Hilfe von (20), in folgender Weise aus (19*) eliminirt.

Man multiplicirt die Gleichungen (19*) mit bez. &• und u, addirt und subtrahirt, und erhält dann die Gleichungen

%i D^ s + s B^- u — 2m{u B s — s L u) +

^^m\u^+s^ + 2m5) - 4=^ = 0,

2 yus

u B^ s — s B^ u — 2m{u B s + s B u) -\-

+ 3 ^2(^2 _ ^2)^0,

oder wenn (20) zu der ersten dieser Gleichungen addirt wird:

(21)

u B^ s -{- s B'^ u + B u B s - 2m{u B s - s B u)

+ ^m^u + sf=C, u B^ s - s B^ u - 2m{u B s + s B u]

+ |^n2(^2_^2)^0.

Für das Symbol B gilt das Rechengesetz B{ab] = aBb + bBa,

so dass

B{uBs-sBu) = uB^s-sB^u, B^ius) = uB'-s + sB'-u + 2BuBs.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 149

und folglich erhält man aus (21): (22)

D^[us)- BuDs -2m[uDs- sBu) -\- lm}[u -[- sf = C, I)\ul)s - sl)u-2mus']-\- ^m^-{u^ - s^ =0,

in welche elegante Form Hill die Differentialgleichungen gebracht hat, und welche Gleichungen es erlauben, die Recursionsformeln für die Coefficienten ziemlich leicht aufzustellen.

Von den periodischen Bahnen, die sich mit den gegebenen Differentialgleichungen vereinbaren lassen, werden wir diejenigen betrachten, welche zu irgend einer Zeit die Achse der |-Coor- dinaten senkrecht schneiden. Zu dieser Kategorie von Bahn- curven gehören diejenigen Bahnen, die nach einem Umlauf von P um mg in sich selbst zurückkehren. Wird für die Integrations- constante t^ ein solcher Werth gewählt, dass die Achse der |-Coordinaten zur Zeit t^^ von der Bahncurve senkrecht geschnitten wird, so wird offenbar für eine solche Curve die |-Coordinate durch eine FouEiEß'sche Reihe ausgedrückt, welche nur die Cosinus der Vielfachen von

enthält, wogegen die t/-Coordinate durch eine entsprechende Sinus- Eeihe dargestellt wird. Hill beschränkt seine Untersuchung auf solche Bahnen, die zur Zeit t^ zur Achse der |-Coordinaten senk- recht sind.

Es zeigt sich, dass man in diesem Falle FouEiER'sche Reihen mit nur ungeraden Vielfachen von v[t—t^ ansetzen kann, so dass

^ — A^ cos v[t — to) + A^ cos Sv [t — t^) -{■ A^ cos 5 V [t — t^) -[- . . . , V = £o sin ^ (^ - 0 + ^] sin ^v{t- t^) + £^smbv{t - t,) + . .. , oder wenn man

£, = a. — a , ,

150

Periodische Lösungen.

setzt und

(23)

einführt: (24)

l = ^a.cos{2i+ 1]t,

i= - OD

+ CO

t; = 2 «t sin {2i + 1) t .

Führt man hier noch die durch (17) definirte Veränderliche ^ und gleichzeitig u und s ein, so wird

(25)

i= — cc

welche Eeihen in (22) einzuführen sind, um die gesuchten Recursions- fonneln für die Coefficienten a^ zu erhalten.

Werden zwei Potenzreihen von der Form

^a^C-'+^ und ^b.C^J+^

mit einander multipUcirt, so wird das Product eine Potenzreihe von folgender Form

(26) ^^a,C''+^ X 2^-?'^'^^ = 2 2 «.^-i-i

i= — OD i = — 00 j = — OD' —

^^

und da weiter

so erhalten wir folgende Reihen für us, u^ u. s. w.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 151

J i

I>uJ) s = - ^[^{2i + l){2i - 2j + l)a,a,_^:]^J , uDs - sDu=-^[^{4t-2j + 2)a.a._ .]^2i^

uDs + sBu^ ■ ^l^2ja,a,_]^^J, j j und weiter:

j i

3 i

u'-s^= 2[2«.(«-i+,'-i -«-.-,-i)]C^^

..i>2, _ .i?2,, =_ 2[22i(4^• - 2i + 2)a,a _.]C2,-^ , = D{ujDs - sDu).

In diesen Formeln müssen i und j alle ganzen Zahlwerthe zwischen — oo und +00 annehmen.

Setzen wir nun die obigen Ausdrücke in (22) hinein, und be- stimmen wir die a. in der Weise, dass der Coefficient von ^^J ver- schwindet, so erhalten wir die folgenden Recursionsformeln :

'^[4fa.a._. + {2i+l){2i-2j + l)a,a,_. + 2m{ii-2j + 2)a,a,_j

i = — CO

2

i = — a

oder

2j(- {4i-2j + 2) - 27«) a,a,_. +^a,(a_,^ ■_,-«_,_,._ j]

152

(27)

t = - OD ■'

+ CD

(28) 47 2(2^ -j + 1 + m)a,a,_j - ^m'^a.ia.i^j., - a_,_,._i) = 0.

i = — OD i = — OD

Diese Formeln gelten für alle Werthe von j zwischen — oo und +00 mit Ausnahme von j = 0, für welchen Werth man erhält:

(29)

2[(2z + l)2 + 4(2i + l)/n + fm2]a.2 +

= —00

Die Gleichungen (27) und (28) sind nicht von einander unab- hängig. Dies zeigt sich folgendermassen.

Wird (27) mit 2, (28) mit 3 multiplicirt und die Resultate subtrahirt und addirt, so erhält man

(30)

^[8P-8i{4j-l)-\-20f-16j + 2-\-4m{4:i-5j + 2) + 9m-^]aMi_j

+ OD

r = -OD

(31)

2[8e2+ Qi^2j + l)-4/+ 8j + 2 + 4m{ii+j + 2) +9m2]a.a,__,.

= — CO

+ OD

Man findet aber leicht, dass diese beiden Gleichungen iden- tisch sind. Wenn nämhch in (30) i gegen i + ; vertauscht wird, und dann J gegen —j, so geht diese Gleichung in (31) über. Es

5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 153

ist also, wenn j sowohl positive wie negative Werthe annimmt, nicht nöthig, mehr als eine dieser Grieichungen zu betrachten.

Die Gleichungen (31) und (29) repräsentiren ein System von unendhch vielen Gleichungen zweiten Grades, zwischen denen eine unendHche Zahl von Coefficienten a^, a+x, a+2 u. s. w. zu eliminiren ist. Hill, der ein Meister in solchen Eliminationen ist, schreckt nicht vor dieser Aufgabe zurück. Er ist indessen dabei ge- zwungen, eine Einschränkung im Probleme zu machen. In den obigen Bedingungsgleichungen kommt ausser dem Coefficienten a. und den ganzen Zahlen i und j eine Grösse m vor, die als ein Parameter betrachtet werden kann. Die Coefficienten a. und a sind als Functionen dieses Parameters zu betrachten, und zwar lässt sich a priori erwarten, dass diese Functionen einen sehr complicirten Charakter haben. Einen allgemeinen Ausdruck für a., der für alle Werthe von m gültig ist, herzustellen, ist kaum möglich. Man hat deswegen nöthig, den Werth von a. in der Um- gebung eines bestimmten Werthes von m zu untersuchen, und zwar lässt sich diese Untersuchung verhältnissmässig leicht in der Um- gebung von m = 0 ausführen. Die entsprechenden Reihen sind für die Anwendungen auf praktische astronomische Probleme sehr wichtig und werden von Hill ausführHch auseinandergesetzt.

Da die Periode die Länge 2%m hat, so handelt es sich bei kleinen m um solche Bahnen, die nach kurzer Zeit — und zwar einem einzigen Umlauf um m^ — in sich selbst zurückkehren. Es unterhegt aber keinem Zweifel, dass auch periodische Bahnen von längerer Periode existiren — wir werden in einem der folgenden Paragraphen diese Bahnen von einem anderen Gesichtspunkte Studiren — und von ganz besonderem Interesse sind die Bahnen, die sehr grossen Werthen von m entsprechen. Es wäre deswegen sehr wichtig, die Lösung der Gleichungen (31) in der Umgebung von m =cc zu untersuchen , obgleich diese Untersuchung mit Schwierigkeiten verbunden zu sein scheint.^

^ Es wird sich wahrscheinlich zeif^en, dass die FouEiER'schen Reihen un- tauglich sind, um solche Bahncurven darzustellen.

154 Periodische Lösungen.

Was die Entwickelung in der Umgebung von m = 0 betrifft, so findet man unschwer, dass die Reihen für a. von der Form

(32) ' ' V , -t- , . J'

sind, wo «.W gewisse Zahlencoefficienten bedeuten. Hill sucht aber nicht direct die Form von a+j als Potenzreihen nach m, sondern schlägt einen anderen Weg ein, der gewisse praktische Vortheile hat. Wird in (30) und (31) i gleich Null und gleich j gesetzt, so findet man, dass diese Gleichungen die folgenden GKeder enthalten:

[ 20 f - 16 j + 2 - 4 (5 j - 2) m + 9m^] a^ a_j

+ [-4/- 8J + 2-4{ j-2)m + Qm']a,a. in (30) und

[-4/4- Sj + 2 + 4{ j + 2)m + 9m^a^a.j

+ [ 20/ + Ißj + 2 + 4(5j + 2)m + 9m^a,a. in (31).

Man findet weiter, dass in (30) und (31) auch andere Glieder vorkommen, die mit a, und «_ . multiplicirt sind, dass aber diese Glieder von der Form

sind, oder mit einer höheren Potenz von m als der vierten multi- plicirt sind.

Ausserdem geht hervor, dass sämmtliche Gheder in (30) und (31), unter Voraussetzung der Form (32) für die Coefficienten, wenigstens von der Ordnung m-J sind, und dass in den Gliedern von der Ordnung m-^ nur die Coefficienten a^, a+i, a+2, . . ., a+j vorkommen. Diese Gleichungen sind also geeignet, durch successive Annäherungen die Coefficienten a+j zu bestimmen.

Zu diesem Zwecke verschafft sich Hill zuerst Gleichungen, die nur a^ und nicht a_j enthalten, wenigstens nicht die Gheder

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgehung der Massen. 155

von der Ordnung m^J in a_j, was man offenbar dadurch erhält, dass man die Gleichung (30) mit

- 4/ + 8 j + 2 + 4 ( j + 2) w? + 9m2 und die Gleichung (31) mit

- 20/ + 16 j _ 2 + 4(5j - 2)7n - Gm^

multipHcirt und die Resultate addirt. Man erhält dann die Gleichung

248^j[4^•(i-l) + 4/ + 4J-2-4m(^-J + l) + m2]«.a._ +

i = - OD

+ 9m2"2[- 4/+ 8J + 2 + 4 ( J + 2)m + 9^^] a.a_i+,-_i +

i = — OD

+ 9^22 [- 20 f + 16j _ 2 + 4m (5j - 2) - 9^2] a.a_i_^._i = 0 .

i = — OD

Wird diese Gleichung mit dem Coefficienten von a.a^, der gleich 4Sf[8f- 2 -4w + w2] ist, dividirt, und führt man mit Hill die Bezeichnungen

(33*)

r . ^ i_ Mj-l)i + 4f + 4:j-2-4m(i-j + l)+m'^

. .. _ 3w^ 20/ - 16/ + 2 - 4m (5y - 2) + 9m^ u) — "~ 16/ * 8/ - 2 - 4w + m«

ein, so nimmt die Gleichung die Form

(33) 0 = 2 [J, i] «i <^i-j + UTE «i «-i+i-i + (/s «i «-i-^-i

» = —00 i = — 00 i = — 00

an. Die Coefficienten haben die Eigenschaften

156 Periodische Lösungen.

mit Ausnahme des Coefficienten [0, 0], der unbestimmt wird.

In (33) kann j positive oder negative Werthe annehmen. Die zweite oder die dritte Summe in (33) ist je nach dem Zeichen von j um vier Ordnungen in m kleiner als die GUeder der niedrigsten Ord- nung in der Gleichung und man kann deswegen die Gleichung ge- nähert in einer der folgenden Formen schreiben:

(33*

= —00 i = — CD

4- OD + Cß

Wird hier nach einander j = 1, 2, 3 u, s. w. gesetzt, erhält man folgende Gleichungen, die erlauben, die Werthe von a+j mit grosser Annäherung zu erhalten. Der Fehler von a+j ist in jedem Fall von der Ordnung

«o«-i= (-l)«o«o'

«oS = [2](aoßi +«i«o) + [2» l]«i«-i, flo«-2=(-2)(flo«i +«100) + [-2, -l]a, a_i, «0 S = [3] K «2 + «1 «1 + ßg «o) + [3' 1] ^1 «-2 + [3, 2] «2 ö!_i, «0^-3= (-3)(ao«2 + ^i^2 + S«o) + [— 3, — l]a_ia2 + [ — 3, -2]a_2ai,

u. s. w.

Erst hier führt Hill Entwickelungen nach den Potenzen von m ein. Es ist nicht ohne Absicht, dass er diese Entwickelung auf- geschoben hat, und Hill zeigt hier nochmals seinen scharfen Blick für die Bedürfnisse des numerischen Rechnens. Wenn man die

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgehung der Massen. 157

obigen Ausdrücke nach Potenzen von m entwickeln will, so ist die Convergenz dieser Entwickelungen von der Convergenz der Ent- wickelung der Nenner rechter Seite abhängig. Diese Nenner haben die Form

8/- 2 - 4m + m^,

und ihre Entwickelung nach Potenzen von m ist offenbar um so schneller, je grösser j ist. Die Convergenz ist am ungünstigsten für j = 1 , in welchem Falle der Nenner lautet

6 — 4m + m^ .

Wenn ein Bruch mit diesem Nenner nach Potenzen von m entwickelt wird, so ist diese Entwickelung convergent, so lange m kleiner als der absolute Betrag der Wurzeln der Gleichung

6 — 4m + m^ = 0

ist, d. h. für

I m I < f6 .

Nun lautet aber ein bekannter Satz aus der Theorie der Reihen, dass, wenn eine Potenzreihe

OD

n = 0

mit dem Convergenzradius B gegeben ist, die Relation

Ji = ]im ^"

n= 00

A+x

stattfindet. Je grösser der Convergenzradius ist, desto schneller nehmen also die Coefficienten Ä^ an Grösse ab. Wenn es also möghch ist, für m eine Grösse x, die sehr wenig von m abweicht, einzuführen, und es sich zeigen würde, dass die Entwickelung nach Potenzen von X einen grösseren Convergenzradius besitzt, als ]/6^ so wird die

158 Periodische Lösungen.

Entwickelung der Coefficienten a^ nach Potenzen von x vor einer

Entwickelung nach Potenzen von m vorzuziehen sein.

Das Problem ist insofern unbestimmt, als der functionale Zu- sammenhang zwischen m und x beliebig gewählt werden kann. Nehmen wir mit Hill an, dass

und lassen wir u vorläufig unbestimmt, so werden die Nenner, in x ausgedrückt, von der Form

{\ - Aa + Qa^x^ - (4 - 12«)x + 6.

Setzt man diesen Ausdruck gleich Null, so erhält man für das Quadrat des Modulus der Wurzeln den Ausdruck

1 -4a + 6a^

welcher ein Maximum für

hat. Dies Maximum ist gleich 18, so dass die Entwickelung des Nenners für |x|<yi8 convergirt. Da man

(34)

1 +

gesetzt hat, so wird es aber gleichzeitig nothwendig, den Nenner 1 + ix nach Potenzen von x zu entwickeln, welche Entwickelung nur für | x | < 3 convergirt. Der Convergenzradius ist also gleich 3, wogegen der Convergenzradius in der Entwickelung nach Potenzen von m gleich ]/6^= 2.45 ist. Hill gewinnt also eine raschere Con- vergenz, indem er nach Potenzen von x entwickelt.

Er würde eine noch stärkere Convergenz erreicht haben, wenn er einen anderen Werth für a eingeführt hätte. Die vortheilhafteste

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 159

Wahl von cc wird offenbar erhalten, wenn der absolute Betrag der Wurzeln des Nenners gleich der Wurzel der Gleichung 1 + « x = 0 gesetzt wird, also wenn

«* l-4a+6a2

d. h. für oc = \, so dass man die Substitution

1 +|x

macht, in welchem Falle der (gemeinsame) Convergenzradius gleich 4 wird.

Indem Hill durch (34) x für m einführt, entwickelt er die Coefficienten a. nach Potenzen von x. Die ersten Glieder in diesen Entwickelungen lauten bis zu der sechsten Potenz von x

1^- 'W ^ 's ^ Ui ^ 6 ^ 331776^

«_1 1^ 9 "^ 3 ^^ 4 "^ 5 ^^^* 6

-^= 16" ^'~ y^"*" U^^+^^~ 331776 ^ + • •

3__ 25 , 553 5 7486 g

ao 256 "^ 1920 ^ 28800 ^""

a „ 69 1863

-^ * J v5 4- v*^ 4-

Oo 1920 ^ 28800 ' ^ '"

<h _ 833 6 _

«0 12288

a o 64 .

12288

Wir ziehen indessen vor, uns im Folgenden des Parameters m zu bedienen. In demselben ist nach Hill ausgedrückt:

160 Periodische Lösungen.

«1 3 2,1^,7 4, 11 5 30749 e

(35)

''-1 «0	19 <, 5 43 16 ^^ 3 "^ 36	14
«0	25 4 , 803 fi , 256 ^ + 1920 ^ +	6109 fi ,
a_2 «0 ~	23 ^ +640-' +	299 2^3.5^ - +
«3 _	833 ß , 2.,3 "■« + .. .
«-3 «0	m™' + -

21034

m« + . . .

Die Formel (29) giebt uns C durch a^ und m ausgedrückt. Werden die obigen Werthe von a^, a_i u. s. w. eingesetzt, so erhält man

,„„, ^ o fi , ^ , 9 ., , :^ 1147 4 1399 5 2047 g \

Von den Grössen a^, C und m ist nur eine als willkürlich zu betrachten. Wenn man nämlich in das jAcoBi'sche Integral

LuB s + ^ + ~m'-[u + sf = C yus 4

die Reihen für u und s einführt, so erhält man offenbar — indem man das constante Glied linker Seite gleich C setzt — einen Aus- druck von der Form:

wo Pj und Pg Potenzreihen in m bezeichnen, von denen Pg mit m} multiphcirt ist. Wird C zwischen dieser Gleichung und (36)

§ 5. Periodische Löstmgen in der Umgebung der Massen. 161

eliminirt, so wird a^ durch m ausgedrückt. Man bekommt in

dieser Weise

,on^ 2/ fi 2 ,72 4 3 ,19565 4 1

Diese Reihe wird von Hill in der Form

3 li -i 9 , i q , *u« 4 67

<' (1 + mj-h 16 ' 3 ' 2304 288

45293 6 1

geschrieben. Aus (36) und (37) erhalten wir für C die Gleichung:

soo\ n Mi , 8 , 7 2 140 3 39533

(38) 6 = ^3 l + -m + — m^-— m3--,^^

Die analytische Darstellung der periodischen Bahnen in der Nähe einer der anziehenden Massen ist hiermit vollständig erledigt. Wenn die synodische Umlaufszeit der unendlich kleinen Masse (des Satelliten) gegeben ist, so geben die obigen Formeln unmittelbar den Ausdruck für die Coordinaten als Functionen der Zeit. Es ist vortheilhaft, die Formeln (24) etwas abzuändern, indem man erst Polarcoordinaten q und cp einführt, so dass

I = () cos ^ ,

rt = Q sin (f

ist.

Die Gleichungen (24) können dann in der Form

(39)

^ cos (^ — t) = 2 "i ^os 2 Z T , Q sin [(fi — t) = 2 "j si'^ 2 2 r

geschrieben werden.

Charlier, Mechanik des Himmels. II.

162 Periodische Lösungen.

Die synodische Umlaufszeit des Erdmondes ist 12.37 mal kleiner als ein Jahr. Setzen wir

erhalten wir also die periodische Bahn eines Satelliten, der die- selbe synodische Umlaufszeit besitzt wie der Mond. Die Reihen (39) haben hier folgendes Aussehen

rcos(9) -t) = «oll- 0.007 180039455 cos 2 r + 0.000006042459 cos 4r + 0.000000032576 cos 6r + 0.000000000 180 cos 8 t},

r sin [(f -r) = a^\ 0.010211 454396 sin 2r + 0.000005714879 sin 4t + 0.000 000027 499 sin 6t + 0.000000000157 sin 8 t1,

m"/a

(1 + mfh

0.999093141962

ist. Man muss sich erinnern, dass die .,canonisohe" Längeneinheit, deren Werth wir für diesen Fall vorher angegeben haben, hier zu Grunde gelegt wird.

Die obigen Ausdrücke, welche von Hill in seiner Mondtheorie benutzt werden, geben ein vortreffliches Bild von der raschen Conver- genz der Reihen.

Sämmtliche periodische Bahnen, die hier betrachtet werden, schneiden die Achse der |-Coordinaten senkrecht. Es ist von Inter- esse, die Relation zwischen dem Abstand — |„ — dieses Schnitt- punktes von m^ und den Parameter m aufzusuchen.

«^ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 163 Für t = t^ erhalten wir

i= — 00

und aus (35) und (37) bekommt man also

(40) I, = m'/={l - I ^ - jlm^ - ^m^^ + 4^m* -

1477

7775

Die Umkehrung dieser Reihe ist von der Form

(40*) m = i;/e {1 + a, i;/= + «, i;/-^ + a, i;-- + ...}.

Ich erinnere daran, dass die Länge der Periode den Aus- druck 27tm hatte. Die obigen Formeln zeigen, dass für die perio- dischen Bahnen, die hier in Betracht kommen, die Länge der Periode mit dem Abstände |q wächst, wenigstens wenn m sehr klein ist. Hierin liegt ein wichtiger Unterschied zwischen den periodischen Bahnen in der Umgebung von m^ und den periodischen Bahnen in der Umgebung der Librationscentra. Für diese Bahnen war nämlich die Länge der Periode nicht vom Abstände von den Libra- tionscentren abhängig, sondern hatte einen bestimmten Werth, der für alle periodischen Bahnen in der Nähe jedes Librationscentrums gemeinsam war.

Obgleich, für sehr kleine m, |q mit m stetig wächst, so ist dies aber nicht mehr der Fall, wenn m grösser wird. Wenn ?« wächst, kommt man zuletzt zu einem Maximalwerth, für welchen

(41) -^=0

^ ' dm

ist, und wenn m noch grössere Werthe annimmt, zieht sich der

Schnittpunkt der periodischen Curve mit der |- Achse gegen m^ zurück.

Unter Anwendung der Reihe (40) bekommt man für (41)

folgende Form

^ 2 10 44 , 979 o

U = — m -— nf ~— m"* — . . . ,

3 9 27 486 '

welche Gleichung die Wurzel

164 Periodische Lösung&n.

hat, wobei aber zu bemerken ist, class die hier vernachlässigten Glieder vierter und höherer Ordnung eine merkbare Correction dieses Werthes geben können.

Hill behandelt diese Frage nicht mittelst seiner analytischen Formeln — die aber erlauben, eine hinreichend genaue Discussion dieses Themas durchzuführen — , sondern mit Hilfe mechanischer Quadratur. Den Werth von m, der dem Maximalwerth von |q ent- spricht, erhält er ungefähr gleich 2.8.

Setzt man in den Formeln (39) r = ~ , so erhält man den

Abstand des Schnittpunktes der Curve mit der Achse der vy-Coordi- naten. Wird dieser Abstand mit i]^ bezeichnet, so ist nach (24)

'yo = «0 - «1 + «2 - «3 + — a_i+ «2 — «-3 +

oder nach (35)

% = %\l+m- + -m^ + -^^ m^ + . . .j .

Wird der Werth von a^ (37) hier eingesetzt, so erhält man (42) ,„ = rf/.{l_|™ + ^«^ + ^»» _...).

Bei sehr kleinem m wächst t]^ mit der Länge der Periode. Für die nähere Untersuchung der Werthe von ?/(, ist die obige Darstellung unzureichend, und es genügt wahrscheinlich hier nicht höhere Potenzen von m mitzunehmen, sondern man muss zu mecha- nischer Quadratur oder Entwickelungen nach Potenzen der Zeit seine Zuflucht nehmen.

Setzt man in (89) m = yL> i? i ^^- ^- ^-i ^^ erhält man die Formeln, welche für einen Satelliten gelten, der 10, 9, 8 u. s. w. synodische Umläufe in der Zeit T macht. In dieser Weise, und zwar zum Theil unter Anwendung mechanischer Quadratur, erhält Hill die folgende Tafel:

§ 5. Periodische Lösimg&n in der Umgebung der Massen. 165

r^ ^

ßq

00

CO

<M

CO

lO

Ol

CC

t-

QO

00

OD

00

CO

t-

CO

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l-

OO

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00

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00

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lO

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00

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0<l

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05

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rH

y-i

:?p

^

166

Periodische Lösungen.

Der erste dieser Satelliten hat dieselbe synodische ümlaufszeit wie der Mond der Erde. Der in der letzten Zeile aufgenommene

Satellit wird unten näher be- sprochen werden.

In Fig. 12 sind nach Hn.L einige der in Tabelle VII ent- haltenen periodischen Bahnen gezeichnet, nämlich diejenigen,

welche den Werten — = 4, 3, m

1.78 entsprechen und ausserdem die Bahn des Erdmondes. Es ist ersichtlich, wie der Schnittpunkt

mit der |- Achse für — < 3 sich der Masse m.^ nähert.

Die hier betrachteten perio- dischen Bahnen schneiden sämmt- lich die |-Achse und ebenfalls die >y-Achse senkrecht, oder ge- nauer ausgedrückt: es giebt immer einen Punkt, wo diese Bahnen die Achsen senkrecht schneiden. Dies hindert aber nicht, dass die Curven auch — in anderen Punkten, die dann Doppelpunkte sind — die Achsen unter einem schiefen Winkel treffen können. Das Auftreten solcher Schleifen kann man, wie PoiNCARifc (M6th. nouv. I. S. 108)

gezeigt hat, mit Vortheil mittelst Entwickelungen nach Potenzen

der Zeit studiren.

Wird die Achse der ?/-Coordinaten um die Zeit t = 0 von

einer periodischen Bahn senkrecht geschnitten, kann man die Coordi-

naten in der Umgebung dieses Punktes durch Potenzreihen von

der Form

Fig. 12. Periodische Bahnen dei- Nähe von w.,.

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 167

(43)

ausdrücken. Werden diese Reihen in die Differentialgleichungen (9) eingesetzt, so erhält man Recursionsformeln für die Coefficienten, aus denen folgende Werthe hervorgehen (Hill, S. 256)

2.3 A,= 4A, + 3v,-r],-^v,,

S.4A,=-6A, + i%-HSv,' + 4fi,A,),

4.5 A, = SA, + 3.^3 + ^rj,-Hv^^^-i.2voA)^o- "o'' A>

(43*)

und man hat also

(44)

\3Vo^

+

rM^^ + --.

Wenn eine Schleife auf der ?;- Achse auftreten soll, so muss | für drei benachbarte Werthe von t verschwinden. Die erste Be- dingung für das Auftreten einer Schleife ist also, dass Vq sehr klein ist, so dass die obige Gleichung dann genähert lautet

(44*)

v^J

3'yo'

,<^ + ...

Ist Wq negativ, so dass die /y- Achse in direktem Sinn von der Bahn geschnitten wird, so kann | nur für einen Werth von t ver- schwinden, nämhch für ^=0. Wird aber die t;- Achse in entgegen- gesetztem Sinn geschnitten, so ist v^ positiv und die |-Coordinate kann für drei Werthe von t verschwinden, nämlich für

(45)

t= 0,

168 Periodische

Da wir hier nur die Voraussetzung gemacht haben, dass v^ klein ist, so müssen solche Schleifen immer auftreten, so oft die Bahn des Satelliten mit kleiner Geschwindigkeit und im entgegen- gesetzten Sinne gegen die Bewegung von m^ und m^ um den Schwerpunkt die /y-Achse senkrecht schneidet. Hieraus folgt aber nicht, dass alle solche Bahnen auch periodisch sind. Hierfür ist erforderlich, dass die Schleife in einem bestimmten Abstand von m^ auftreten soll. Dieser Abstand ist gleich 0.7819 in canonischen Längeneinheiten. Hill hat nämlich durch mechanische Quadratur gefunden, dass ein Satellit, der mit der Geschwindigkeit 2.2410, im Abstände 0.2718, senkrecht zur Achse der |-Coordinaten ausge- schleudert wird, die ?;- Achse im Abstände 0.7819 mit der Ge- schwindigkeit Null erreicht.^ Hill hat diesen Satelliten mit dem Namen „the moon of the lastlunation" bezeichnet, und PomcARfe hat (1, c.) — in der oben angegebenen Weise — gezeigt, dass die analytische Fortsetzung dieses Mondes zu Schleifbahnen führt.

Solche Schleifen können auch auf der |- Achse vorkommen. Ist die Bahncurve zur |- Achse senkrecht, so kann man schreiben

(46)

wo aus den Differentialgleichungen (9) erhalten wird:

3.45, = 6^3 + 3^2 + \h-'iW + 4|o^2)» 4.5 B^=-^B,+ Uo-' ^0 [%' + 2|o A) - lo-^^ ^3 .

(47)

Hill giebt S. 255 die Werthe der 5-Coefficienten bis zu B^ an.

Dieser Mond ist der letzte in Tabelle VII.

§ ö. Periodisehe Lösungen in der Umgehung der Massen. 169

Man hat also

(46'-)

I7i'^ +

Ist v^ sehr klein, hat man also genähert

(46-)

l = lo+-2- lo-

t' + ...,

V-v.t- (|^-^).3 + .,

Die //-Coordinate kann für drei benachbarte Werthe, nämlich

(48)

^ = 0,

t=±

>0'

verschwinden, wenn die Grösse unter dem Wurzelzeichen positiv ist. Wir haben also hier zwei Fälle zu unterscheiden:

in welchem Falle v^ positiv sein muss. Hier treten also Schleifen auf, so oft die |-Achse in direktem Sinne mit kleiner Geschwindigkeit von der Bahn senkrecht geschnitten wird. Der Abstand des Doppelpunktes ist hier grösser als |^. pig. 13. Schleifen

jenseits des Libra- b) l()<^yT- tionspunktes.

Die Schleifen treten hier bei negativen Werthen von v^ auf. Der Grenzpunkt zwischen den beiden Fällen, dessen |-Coordinate

gleich 1:1/3 ist, fällt nach (13*) mit dem Librationspunkt Z^ zu- sammen.

Unendlich kleine Schleifen können also in jedem Punkt der ^-Achse auftreten, wenn der Körper mit kleiner Geschwindigkeit

170 Periodische Lösungen.

senkrecht zur |-Achse ausgeschleudert wird. Damit eine Schleife entsteht, muss die Richtung, in welcher der Körper die |-Achse passirt, ausserhalb L^ eine directe, innerhalb L^ eine entgegen- gesetzte sein.

Ob auch periodische Bahnen mit solchen Schleifen vorkommen, kann nicht ohne besondere Untersuchung festgestellt werden. Es ist aber wahrscheinlich, dass eine periodische Bahn existirt, die in L^ eine Spitze hat, in welcher die Geschwindigkeit, indem sich der Körper dem Punkt L^ nähert, gegen Null abnimmt. ^ Die analytische Fortsetzung dieser Bahn sind Curven, welche um den Punkt L^ eine Schleife bilden. Dass periodische Bahnen dieser Art existiren, findet man aus den Rechnungen von Darwin.

Die obige Untersuchung über die unendlich kleinen Schleifen ist unvollständig, insofern sie nicht direct auf Schleifen in dem Punkt L-^ oder in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes anwendbar ist. In dem betrefienden Punkte kann man nämlich nicht die mit w^, multiplicirten Glieder in dem Coefficienten von {■^ in (46*) vernach- lässigen.

Für eine Bahn, die im Punkte L^ die |- Achse senkrecht schneidet, gelten die Potenzreihen

l = lo + '^o^' + ---'

v--«t-av, + {tAt'+-'

oder, da ist,

^ -3

^0

r} = v,{t-],t^ + ...].

Die r/-Coordinate verschwindet also für ^ = 0 und — unter der Voraussetzung, dass man berechtigt wäre, die mit t^, f u. s. w. multiplicirten Glieder zu vernachlässigen — auch für

t = +

]/t

^ Eine derartige periodische Bahn ist jedenfalls ^ ^ , »? := 0 .

V'3

§ 5. Periodische Lösungen in der Umgebung der Massen. 171

Dieser Werth von t ist aber nicht sehr klein, was die noth- wendige Voraussetzung für den obigen Schluss ist, und folglich giebt es in Z^ keine unendlich kleine Schleifen. Richtiger ausgedrückt würde man sagen, dass es hier keine Schleifen, deren Beschreibung eine unendlich kleine Zeit erfordert, giebt. Es ist dagegen möglich, dass wirklich unendlich kleine Schleifen hier vorkommen können, die aber in endlicher Zeit beschrieben werden, und in der That weiss man, dass dies auch der Fall ist, da nämlich die periodischen Bahnen von der Familie a, die wir in § 4 untersucht haben, gerade diese Eigenschaft besitzen. Die Umlaufszeit in diesen Bahnen ist nämlich von endlicher Grösse, auch wenn die Dimensionen der Bahnen unendlich klein sind.

Man ist deswegen berechtigt anzunehmen, dass es periodische Bahnformen giebt, die eine Schleife um L^ bilden. Die Zeit, welche der Satellit braucht, um diese Schleife zu beschreiben, ist nach § 4 (4*) genähert gleich

z= 0.483x2 TT,

und die Wurzeln der Gleichung

7? = 0

in der Nähe von L^ müssen also t= 0,

t= " =1.52

1/1/28 - 1 sein.

Wenn die Eeihenentwickeluugen (46*) für so grosse ^Werthe convergiren, würde dies Resultat direct aus diesen Reihen fest- gestellt werden können.

Wenn die genauen Gleichungen (4) des asteroidischen Drei- Körperproblems in Betracht gezogen werden, erleiden die Schlüsse von Hill einige Veränderungen, die hauptsächlich damit zusammen- hängen, dass die periodischen Bahnen in der Nähe von m,^ nicht mehr zur Achse der // - Coordinaten symmetrisch sind. Der Mond

172 Periodische Lösungen.

„of the last lunation" wird auch hier auftreten und ebenfalls die schleifenförmigen periodischen Bahnen, obgleich die Doppelpunkte sich nicht mehr auf der ?; -Achse befinden werden.

§ 6. Das CAUCHY'sche Existenztheorem. Erweiterung desselben von PoincarI

Die allgemeinsten Untersuchungen über die periodischen Lösungen rühren von Poincar:& her, welcher in „Les m^thodes nouvelles" neue und allgemeine Methoden für ihre Aufsuchung aufgestellt hat. Er geht hier von einem Fundamentalsatz über die Integrale der Diffe- rentialgleichungen aus, den wir zuerst ableiten wollen.

Ist eine Differentialgleichung

(1) 47 = ^^^'^)

vorgelegt, und lässt sich die Function cp in der Umgebung von t = t^, X = Xq nach Potenzen von t — t^ und x — x^ entwickeln, und gehört dem Werth t = t^ der Werth x = x^, so lässt sich das Inte- gral von (1) in der Form

(2) :, = :r, + c,{t-t,)-i~c,{t-t,Y + ...

schreiben, welche Eeihe für eine gewisse endliche Umgebung von t = t^ convergirt. Die Coefficienten c^ , Cg u. s. w. sind in eindeutiger Weise bestimmt, und die Reihe (2) ist die einzige analytische Inte- gralfunction, welche für t = t^ den Werth x = x^ annimmt.

Dies ist das berühmte Caücht sehe Existenztheorem.

Diesem Theorem hat Poincaee eine wesentliche Erweiterung gegeben, durch welche er weitgehende Schlüsse in der Mechanik des Himmels hat ziehen können.

Das Theorem von PomcAEfi wollen wir in drei Sätze theilen.

Wir betrachten zuerst die Differentialgleichung

(3) ^ = cp[x,t),

^6. Das CAucHy' sehe Exist&nztheorem. Erweiterung von Poincame. 173

und nehmen an, dass die Function (p nach Potenzen von x ent- wickelt werden kann, und dass diese Entwickehmg für \x\<a con- vergent ist und zwar für alle t solche, dass

(4) O^t^T.

Dagegen setzen wir nicht voraus, dass man die Function ^ auch nach Potenzen von t innerhalb des Gebietes (4) entwickeln kann. Wir betrachten zwar (p als eine analytische Function von t im Gebiete (4), die in jedem Punkt a [Q^a < T) nach Potenzen von t — u entwickelt werden kann; es ist aber nicht nothwendig, dass der Convergenzradius so gross ist, dass die Entwickelung nach Potenzen von t im ganzen Gebiete (4) convergirt.

Wir wollen dasjenige Integral von (3) betrachten, dass für t = 0 gleich Null ist.

Zu dem Zwecke führen wir eine Function x' ein, die durch die Differentialgleichung

(3*) ^ = cp'[x',t)

bestimmt ist, wo wir über die Function ip' in der rechten Seite von (3*) die Annahme machen, dass sie für | x' < a nach Potenzen von x entwickelt werden kann, und zwar für alle t im Gebiete (4). Wird diese Entwickelung in der Form

(4*) 9^' = 2^.^'"' n^'i<«,

geschrieben, so nehmen wir noch an, dass sämmtliche Coefficienten B^ im Gebiete (4) positiv sind.

Hat die entsprechende Potenzreihe für (f die Form

(5) 9f' = 2^n^". / l^'<«.

174 Periodische Lösunge

so setzen wir endlich voraus, dass

(6) \A\<K'

Wenn zwei Functionen (p und cp' der Ungleichheit (6) genügen, so wird dies von Poincar]^ durch das Symbol

(6*) rp<^cp'

ausgedrückt, oder vollständiger

^<9P' (Arg. x).

Sowohl A^^ wie B^ sind im Allgemeinen Functionen von t und die Ungleichheiten (6) müssen für das ganze Gebiet (4) gelten.

Wenn nun, für ^ = 0, x' = 0 ist, so können wir beioeisen, dass

(7) \x\<x

für das ganze Grebiet 0 ^ ^ ^ T. Man hat nämlich für ^ = 0

	<p =<p[0,0) = A,,
	qp' = r/(0,0) = 5,,
und da nach (6)
	l^oKA).
so ist also
(8)	dx dx' dt ^ dt'

welche Ungleichheit für kleine positive Werthe von t seine Gültig- keit behält. Man hat also für dieselben ^W^erthe

(8*) \x\<x.

Die Ungleichheit (8*) muss erfüllt sein, so lange (8) besteht.

§6. Das Cäuchy'' sehe Existenztheorem. Erweiterung von Poincare. 175

Wir nehmen an, dass (8*) von ^ = 0 bis t==t^<T seine Gültig- keit behält, wir wollen dann beweisen, dass sie auch für ^Werthe etwas grösser als t^ bestehen muss.

wo der Annahme nach Dann ist für t = t^

und nach (6*) hat man also für t = t^

dx I dx' ~dt\ ^ HJ

so dass (8*) auch für ^-Werthe etwas grösser als t = t^ bestehen muss und in dieser Weise können wir fortsetzen, bis man den Werth t = T erreicht.

Nachdem dieser Hilfssatz bewiesen ist, wollen wir den zweiten Schritt machen, indem wir annehmen, dass in der zu behandelnden Differentialgleichung ein Parameter ^i vorkommt. In Bezug auf die Differentialgleichung

(9) ^^^^,^t,f,)

machen wir die Voraussetzung, dass (f{x,t,fjL) für | x | < a, \ fi-\ < p nach Potenzen von x und fx entwickelt werden kann und zwar für alle 0 < ^ < r. Wir schreiben also

176 Periodische Lösungen.

9P = 24j^>'' = 2^»^'">

\x\< a, |iu|</?,'

Wir wollen ein Integral von (9) aufsuchen, das, für (; = 0, gleich Null ist und nach Potenzen von /x entwickelt ist. Wir setzen also

(10) X = x^^ + i^x^ + ^'^x^ + ...

und hekommen

(p{x, t, fi) = cp{x^,, t, 0) +

"^ II l ö^ d^i ~^ dfijf, = 0 "^

12 l dx du"" ' öa;2 \d n

oder nach (10)

(p{x,t,^) = 9(X(,,^,0) +

" 1-fe^.H-i^:

|2 ÖV

+ ^' l-ö^ •^2 + -|^^:;;7^^-i' +

1 g> 1 g^y

"^12 ÖOJoö^'^i "^ 12 "ö^ + . . .

wo X^ nach den Potenzen von x^, x^, ... :r^_i entwickelt erscheint und ausserdem von x^ und t abhängt.

§6. Das Cauchy' sehe Existenztheorem. Erweitertmg von Poincabe. 177 Die Differentialgleichungen für x^, x^ u. s. w. sind also

dt öxo ^1 ■*" 0/

dx^_d^ ,J_d^^2,Jl^^ , 1 d^

dx^ ^ d^ , T

dt öa;o "»"^ «•

Wir betrachten nun eine ähnliche Gleichung

(11) ^ = Cf'{x',t,f,),

wo

(in y' = i;^i,-^>^=2^™r.

i I •' m=0

welche Entwickelung für \x' \ <C a, | /x | < /> und für alle 0 ^t^T convergent ist, und wo

(1^) \Aj\<£ij

ist.

Wird das Integral dieser Gleichung nach Potenzen von ju ent- wickelt und ist also

so erhalten wir zur Bestimmung von x^', x^' u. s. w. die Gleichungen dxi _ d <f' , d (p'

dxj d tp' „ ,

Charlier, Mechanik des Himmels. 11. 12

178 Periodische Lösungen.

Wir nehmen an, dass für ^ = 0 ,

0 = x„ = x\ = x„

und

ist, und wollen beweisen, dass

(13) kJ<•^•. (m = 0, 1, 2, ...)

für Q^t^T.

Aus dem eben bewiesenen Hilfssatze folgt in der Tliat. dass für diese Werthe von t

I ^'o I < <-

Bemerken wir, dass die Ungleichheit (12) in der Form

(12*

!<

geschrieben werden kann, so finden wir zuerst, weil, für ^ = 0, x^ = .r/ = 0 ist, aus den Gleichungen

dx■^ d tp d qp

dt ö «0 1 d fi ^

dxi' ö qo' , d qp'

dt öXq ^ öu '

dass für kleine positive Werthe von t die Ungleichheit

bestehen muss. Eine Wiederholung der früher geführten Beweis- führung zeigt uns dann, dass diese Ungleichheit für alle t zwischen 0 und T erfüllt sein muss.

Wir nehmen an, dass man in dieser Weise dargethan hat, dass

I ^"l I < ^l'' I ^2 i < •■^2'' • • • ' I ■^m-l I < *■''«-!

§6. Das Cauchy sehe Existenztheorem. Erweiterung von Poincäme. 179 ist, und wollen beweisen, dass dann auch

I a:^ I < x'^ ist.

Es war in der That X^ eine ganze rationale Function von x^ , x^, ..., x^_i, wo die Coefücienten die partiellen Ableitungen der Function ff nach x^ und ,« sind, und X^ hatte eine ähnliche Zu- sammensetzung. Es ist also

Die Gleichungen

~dT ~ 0^"^"^+ ^ zeigen also, weil, für if = 0 , x^ = x'^ = 0 ist, dass für t = 0

d x,n ' ^ d X'to

1J \^~dT

und also muss für kleine positive Werthe von t

i ^m ! < ^ m

sein, und es lässt sich wieder dieselbe Beweisführung, wie in Bezug auf den ersten Hilfssatz, durchführen, so dass für alle t zwischen 0 und T die Ungleichheit (13) ihre Gültigkeit behalten muss.

In Bezug auf die Hilfsfunction (p'{x,t,fi) wurde angenommen:

1) dass sie, nach Potenzen von x und ^ entwickelt, für I x' j < a und \ fx \ < p convergirt und zwar für alle t zwischen 0 und T;

2) dass die Coefficienten in dieser Entwickelung grösser als die entsprechenden Coefficienten in der Entwickelung von (f'[x,i,(i) nach Potenzen von x und ,a sind.

Es handelt sich darum, eine solche Hilfsfunction aufzusuchen.

12*

180 Periodische Lösungen.

Wenn die Entwickelung von (p{x,t,ii) nach Potenzen von .r und fx auch für | :i- | = a und fx = p seine Gültigkeit beibehält — was man hier immer annehmen kann, da man sonst den Con- vergenzradius etwas kleiner nehmen kann — so giebt es immer eine positive Zahl M von der Beschafi'enheit, dass für

man

\(f[x,t,(i)\<M hat.

Dann ist nach dem Fundamentalsatz von Cauchy

\i\j I dx' dfi^ I a^p^

und also

'f{^,',f.)<M±f{^)'(^

oder

(14) ^f{^',t,fi)'

,^..^>^'>' '

M

a) \ p

Die Function in der rechten Seite von (14) erfüllt also die Be- dingungen, welche der Hilfsfunctiou cf' auferlegt sind. PoiNCAEf; zieht es aber vor, eine andere Hilfsfunctiou aufzustellen, da die obige Hilfsfunctiou zu einer ungünstigen Integralfunction führt.

Erstens bemerken wir, dass

fi\ ^(l-ax)(l-a^)

" pI

wenn nur a gleich der grösseren der beiden Zahlen - und — wählt wird.

Weiter ist offenbar

1^1

{l — ax){l — a (i) ^ 1 — a{x + fi)

wie man durch eine Entwickelung nach Potenzen von .?• und fi direct findet.

§ 6. Das GAucHn'sche Existenxtheorem. Erweiterung von Poincare. 181

Es ist aber

tt M{x + /i) ^ M j^

l-a{x + (i) l-tt{x + (i) '

und endlich hat man

aMix + fi) ^ « Mix + ^) (1 + a (» + (i)) 1 — a (a; + jU) 1 — a (x + /u)

Wählen wir also die Vergleichsfunction rp', so dass

(15) ,^' _ Mjx + fi) (1 +«(a; + ^))^

1 — a (a; + jU)

SO ist

(p{x,t,fx)<^(p' (Arg. o:, /i),

wenn wir nur die Voraussetzung machen, dass (p, für (j, ^ x = 0, verschwindet.

Unsere Aufgabe wird also zunächst die Gleichung

(IQ\ dx _ M{x + ^){\ + (*{x + fi))

dt 1 — « (a; 4- jU)

ZU integriren.

Gesetzt (17) s = a[x-\-(i),

hat man also

welche giebt

ds _ Ms{l+s) ~dl ~ \ - s ■

i»8(rT^ = Ä + c,

WO C eine Integrationsconstaute bezeichnet.

Der Voraussetzung nach soll das Integral die Bedingung er- füllen, dass, für ^ = 0, x -^ ^ ist. Es ist also

und somit

fl81 ? = e^^ "^

182 Periodische Lösungen.

Das Integral 5 soll nach Potenzen von fi entwickelt werden. Setzen ^^n^

so können wir (18) in der Form

^^ + 2(1-^)^ + 1 = 0

schreiben. Man hat also

1-2^ -Vi-4^

(18*)

2A

Das Minus-Zeichen vor der Quadratwurzel wird gewählt, damit wir dasjenige Integral erhalten, das für ,a = 0 gleich Null wird. Dasjenige Integral, das dem Zeichen Plus vor der Quadratwurzel entspricht, wird aber dagegen, für |tt = 0, unendhch gross.

Die rechte Seite von (18*) lässt sich nach den iDositiveu Potenzen von A entwickeln, und man erhält

s = Ä^2A- + ÖA-^ + ..., welche Reihe für

Mi<i

convergent ist, d. h. — wenn /t eine positive Zahl bezeichnet — für

(•»*) Ä7 <

Andererseits kann A nach Potenzen von ^ entwickelt werden, wenn nur

/'<^

ist, eine Ungleichheit, die der Voraussetzung nach immer erfüllt ist. Wenn t einen endlichen, aber behebig hohen Werth hat, so kann ^ immer so klein gewählt werden, dass die Ungleich- heit (19*) erfüllt ist. Es ist aber zu bemerken, dass, indem t ins

§6. Das Caucht' sehe Existenxtheorem. Erweiterung von Poincauk. 183

Unendliche wächst, der Convergenzradius für n gegen Null ab- nimmt. Es ist also nicht erlaubt ^ = oo zu setzen.

Das Eesultat, zu dem wir gelangt sind, ist also das folgende.

Es sei eine Differentialgleichung

(20) ^ = <p{^,t.^)

vorgelegt. Die Function <f habe die folgenden Eigenschaften:

1) sie verschwindet für ^tt = x = 0, so dass

f/(0, ^, 0) = 0 für alle Werthe von t\

2) sie lässt sich in eine Potenzreihe entwickeln nach Potenzen von x und fx, welche convergirt, wenn x, dem absoluten Betrage nach, kleiner als a ist, und wenn der positive Parameter /a kleiner als p ist, und zwar gilt dies für alle t, welche dem Gebiete

angehören.

Es lassen sich dann zwei positive Zahlen M und u finden der Art, dass, wenn

, _ M{x + jtij(l + «(« + fi))

^ ~ 1 - tt(x + fl)

ist, man

(f<<f' (Arg. X, fi) hat.

Wir haben zweitens bewiesen, dass das Integral der Differen- tialgleichung

dx' 'I ' * \

-j^ = cp[x,t,fi)

sich nach Potenzen von // entwickeln lässt in der Form

x' = x^' + flX^' + fiKv^' + ... und zwar convergirt diese Eeihe für alle t, welche der Bedingung

184 Periodische Lösungen.

0<r

genügen, wenn // hinreichend klein gewählt wird. Die obere Grenze T für t muss endlich sein, aber kann beliebig gross genommen werden.

Das Integral von (20) kann dann auch in der Form

(21) X ^ x^ + fix^ + fi

entwickelt werden, und da wir bewiesen haben, dass x<^x' ist, so ist die Reihe (21) auch convergent für alle t, welche dem Gebiete O^t^T angehören , wenn nur fx hinreichend klein gewählt wird.

Wenn im Besonderen die Entwickelung von (f'[x,t,^) nach Potenzen von x und n für alle reellen Werthe von t convergiren würde, so convergirt die Reihe (21) für beliebig hohe Werthe von t, wenn nur fi hinreichend klein gewählt wird. Je kleiner ^ gewählt wird, um so grösser ist im Allgemeinen das Gebiet für t, für welches (21) convergent ist. Wir dürfen aber im Allgemeinen nicht schliessen, dass die Reihe (21) auch für t=oD convergirt. Die Convergenz ist, nach der Terminologie von Weiersteass, eine be- dingte, indem die Grösse des Convergenzradius (in fx) von t (oder richtiger von T) abhängig ist.

Us ist hier angenommen, dass es sich um dasjenige Integral handelt, das, für t = 0, gleich Null ist.

Wenn, für ^ = 0, x nicht gleich Null, sondern, sagen wir, gleich ß ist, setzen wir

x = ^ + ß und haben

(22) ^ = <p{^ + ß,t,i,) = ^[i,t,^,ß).

Wenn die Function ip sich nach Potenzen von | entwickeln lässt, so kann das eben bewiesene Theorem benutzt werden und X lässt sich also auch hier nach Potenzen von n entwickeln. Die Bedingung ist, dass x = ß keine Unendlichkeitsstelle oder überhaupt keine singulare Stelle der Function rp ist.

§ 6. Das GAucHYSche Existenztheor&in. Erweiterung von PoincarL 185

Die Bedingung, die oben gemacht worden ist, dass die Function (f{x,t,(ji) für |U = a: = 0 verschwinden soll, ist auch keine noth- wendige. Setzen wir nämlich in (20)

x = ^ + d[t), so erhalten wir

d^ ff. , n . s dd

und wenn die Funktion 6 so bestimmt wird, dass

(23) 4^ = 99(0,^,0), so erhalten wir

(24) l^^^^^j^O,t,f^)-cp{ß,t,0)

und die rechte Seite von (24) ist eine Function von |, t und fx, die für ^ = f.1 = 0 verschwindet. Wählen wir noch den Anfangswerth von 0 für t = 0 gleich dem Anfangswerth ß von x inr t = 0, so können wir das Integral von (24) und also auch von (20) nach den Potenzen von /x entwickeln. Hierfür ist indessen noch erforderlich, dass die rechte Seite von (24) sich nach Potenzen von | entwickeln lässt. Anders ausgedrückt heisst das, dass x = d{t) durch keinen singulären Punkt der Function (p{x, t, fi) geht, wenn t alle reellen Werthe von Null bis T annimmt.

Bas Integral der Differentialgleichung

dx f 4 \

^ = cf'[x,t,fx),

wo rf{x,t,fi) nach positiven Potenzen von fx in eine convergente

Reihe entwickelt werden kann für alle t im Gebiete 0 ^t:^T, kann

selbst in demselben Gebiete von t in eine Reihe nach positiven Potenzen von f_i entwickelt iverden

X = X^{t) -\- 1^ X^ -{- fl^ x^ -^ . . . ,

186 Periodische Lösungen.

wenn nur (i hinreiGhend klein gewählt wird, und ausserdem (p{x, i, fi) nach positiven Potenzen von x — x^ [t] entwickelt loerden kann für alle t zwischeji Null und T.

Dies ist der Inhalt der von PoiNCAKfi gemachten Erweiterung des CAUCHT'schen Existenztheorems.

Wenn, für ^ = 0, x == ß ist, so hatte man nach (22)

Man kann hier ß als einen Parameter betrachten und, wenn -ip nach Potenzen von ß entwickelt werden kann, so lässt sich nach dem Obigen auch das Integral | — und also auch x — nach Potenzen von ß entwickeln. Das Integral x kann also unter der gemachten Voraussetzung nach Potenzen sowohl von ,a wie von der Integra- tionsconstante ß entwickelt werden.

Wir haben im Obigen vorausgesetzt, dass nur eine einzige Differentialgleichung von der Form

(Ix I * \

-jj-^ff{x,t,^l)

vorliegt. Sind zwei gleichzeitige Dilierentialgleichungen

zu integriren, so lässt sich die Discussion in ähnlicher Weise aus- führen und das Resultat fällt — mutatis mutandis — mit dem für eine Differentialgleichung geltenden überein. Das Aehnliche gilt für eine beliebige Zahl von gleichzeitigen Differentialgleichungen.

Im w-Körperproblem treten die Massen m^, m^, . . ., m^-i der Planeten al^ Parameter auf. Die Integrale lassen sich hier nach Potenzen von m^, m^, . . ., w„_i entwickeln für O^^^T — wenn nur diese Massen hinreichend klein angenommen werden — , so oft

§ 7. Methode von Poincare, die periodischen Lösungen aufzusuchen. 187

die KEPLER'schen Ellipsen, die man für m^ = m^ = . . . = m„_i = 0 erhält, sich nicht gegenseitig schneiden^ in welchem Fall die Störungs- function, für eine bestimmte Zeit, unendlich gross wird. Man findet diese Folgerung aus dem Satz von Poincar£ im nächsten Abschnitte näher begründet.

Auf diesen Satz hat Poincaee seine Untersuchungen über die periodischen Lösungen im Drei-Körperproblem , welche wir im folgenden Paragraphen behandeln wollen, gegründet.

§ 7. Methode von Poincare, die periodischen Lösungen aufzusuchen.

Wir nehmen an, dass die Diöerentialgleichungen

(1) "^Ü-^i (^-=1,2,...,/.)

vorgelegt sind, und dass X bestimmte Funktionen von x^ , x.^, . . . , x^^ und der Zeit t sind und ausserdem einen Parameter a enthalten.

Wir nehmen noch an, dass — wenn die Zeit wirklich in der rechten Seite von (1) vorkommt — X. (^ = 1, 2, . . ., n) periodische Functionen von t sind mit der Periode T.

Die Integrale der Gleichungen (1) seien

(2) ■r, = d,{t,fx) {i=l,2, ..., n).

Wenn die Functionen X.{x^, x.^, . .., .r^, t, ,u) sich nach den positiven Potenzen von |U und von x. — d^{t, 0] [i — l , 2, . . ., n) entwickeln lassen, so wissen wir aus dem vorigen Paragraphen, dass die Integrale d.{t, ju) nach den positiven Potenzen von /x und von den Integrationsconstanten

(3) /5,= 0,(0,/.) -0,(0,0)

entwickelt werden können.

Wenn die Entwickelung von X nach Potenzen von i.i und X. — d. für alle reelle Werthe von i convergirt (es genügt, dass sie für O^^^T' convergent ist), so convergirt die Entwickelung des Integrales für beliebig hohe Werthe von t, wenn /.i hinreichend klein gewählt wird.

Periodische Lösungen.

Wir können also, unter dieser Voraussetzung, schreiben

x. = d.{t, ß^, . . ., ß^, fi) =

(4)

+ höhere Potenzen von ß^, . . ., ß^ und fx,

wo die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von ß^, . . . , ß^ und fx gewisse Functionen von t sind.

Die Entwickelung (4) convergirt, wenn /x hinreichend klein ge- nommen wird, für beliebig hohe Werthe von t. Wenn die Inte- grale (4) periodische Functionen von t sind, so müssen also diese Reihen für alle Werthe von t (also auch für ^ = oc) convergent bleiben. Es genügt dazu Integrale aufzusuchen, die von i = 0 bis t. = T convergiren.

Es handelt sich darum, diejenigen Bedingungen aufzusuchen, unter denen die durch (1) definirte Bewegung periodisch ist.

Poincae:& formulirt das Problem in folgender Weise.

Wir haben angenommen, dass die Function X von einem Parameter fx abhängig ist (im Problem der drei Körper ist fi als ein Repräsentant der „störenden" Massen anzusehen). Angenommen, dass man die Differentialgleichungen (1) für ^u = 0 integrirt hat, und dass man in diesem Falle gewisse periodische Lösungen gefunden hat, unter welchen Bedingungen hat man dann das Recht, hieraus zu schliessen, dass periodische Lösungen auch für kleine Werthe von n existiren?

Der einfachste Fall, dem man begegnet, ist, dass die Coordi- naten x^ für t=T und t = Q dieselben Werthe annehmen. Nach (1) werden dann die Differejitialquotienten der Coordinaten zu diesen beiden Epochen auch dieselben Werthe annehmen und die Bewegung muss nothwendigerweise periodisch werden.

Dies ist aber keineswegs eine nothwendige Bedingung für die Entstehung periodischer Lösungen. Handelt es sich — wie hier angenommen wird — um die Bewegung von Massenpunkten, so entsteht eine periodische Bewegung jedesmal, wenn die Configura-

§ 7. Methode von Poincare, die periodischen Lösimgen auf%Msuchen. 1 89

Honen der Massenpunkte und die augenblickliche Veränderung der- selben für ^ = 0 und t = T dieselben sind.

Wir wollen zuerst den ersteren Fall betrachten.

Das Integral der Gleichungen (1) hatten wir in der Form

geschrieben, oder, wenn wir die Differenz der Anfangswerthe ß-

/?, = 0,(0,/.) -0,(0,0) mitnehmen wollen

^'i^ ^i{*r ßi,' • -, ß„, 1^)-

Die Bewegung sei für ^ = 0 periodisch mit der Periode T, so dass

ß.{T, 0) = ^,(0, 0) {i=l, 2, . . ., n).

Wann entsteht eine Bewegung, die auch für fx^ 0 periodisch ist? Offenbar ist dies der Fall, wenn

6,{T,f,) = d,{0,fi) {1=1, 2, .., n), ist, oder, nach (4), wenn

0 = V. = KiiL^i-fU ft + . . . + {(if:).) - (if:) j ^„ +

(/=1, 2, ..., n) ist.

Nach (1) können wir folgenden bequemeren Ausdruck für \f.i. linden:

(5) l

(6) VA=p-

0

oder

T

dt

190 Periodisehe Lösungen.

(6*)

T T

0 0 0

T

-{- fji ( .-^ d t + höhere Potenzen von ß. und /j., J 0 ^

wo unter den Integralzeichen fi = {) = ß^ =^ . . . — ß^^ zu setzen ist. Wir wollen diesen Ausdruck in der Form

1 + höhere Potenzen von ß^ und fi

schreiben, so dass

0

und

T

dX:

Wenn die Gleichungen (5) oder

(8) -^^ = t^^ = . . . = ^,^ = 0

sich nach ß^, ß.^, . . . , ß^^ auflösen lassen, so erhält man ß^ , . . . , ß^ als Potenzreihen, die nach Potenzen von fi fortschreiten

(9) ßi = PM [i=l,2, ..., n). Die Anfangswerthe der Coordinaten waren

(9*) {x;),=o = d,{o,0) + ß,

und durch (9) sind also diejenigen Anfangswerthe bestimmt, welche zu periodischen Lösungen der Differentialgleichungen (1) führen.

§ 7. Methode von Poincark, die periodischen Lösungen aufzusuchen. 191

Nach § 3 im ersten Abschnitte sind die Lösungen (9) einfache Lösungen der Gleichungen (8), so oft die Determinante

;io)

ö =

J A

4l. ^:

22' • • • J ^2j

von Null verschieden ist.

Im Allgemeinen sind in der Meclianik die Gleichungen (8) nicht von einander unabhängig. Angenommen, dass ein Integral

i\x^, x^, . . . , x^, t) = C

der Gleichungen (1) existirt, das in t periodisch ist mit der Periode T, dann hat man

F{ß,{T, ,«), ..., ö„(r, f,), T) = F(d, (0, f,), ..., Ö„(0, //), 0)

oder, da

ist, so hat man

(11) I

[ -F{d,{0,f,),..., ßJO,f^),0).

Die rechte Seite von (11) lässt sich nach Potenzen von ifj^, . . . , \p^ entwickeln und verschwindet, wenn ip^ = ip^^ = . . . — ip^^ = 0. Wenn also n — 1 der Grössen ip^, ip^, . . . , i/;^^ gleich Null ist, so muss auch die übrige Grösse verschwinden. Im Besonderen muss für

^l = 1p2 = ' • ' = '^'n-l = ö

auch lU = 0 sein, wenn

dxn

+ 0

ist.

192 Periodische Lösungen.

Existirt ein Integral F dieser Art, so können also die Glei- chungen (8) nicht von einander unabhängig sein. Es genügt dann die w — 1 Gleichungen

(12) xp^=yj^^ = ... = ^„_i = 0

zu betrachten, und für die Entstehung einer einfachen Lösung ist erforderlich, dass die Determinante

(12*) B,

-^21, -^22? • . •, -4.2^ n-l

Än-1,1, Jn-1,2, ' ■ ■, Ar,

von Null verschieden ist.

Eine der Grössen /^. kann in diesem Fall beliebig gewählt werden, oder man kann zu (12) die Gleichung

adjungiren, wo C beliebig gewählt werden kann.

Sind zwei ähnliche Integrale vorhanden, können im Allgemeinen zwei der Gleichungen (8) als Folgerungen aus den n — 2 übrigen betrachtet werden u. s. w.

Den zweiten Fall, in welchem periodische Lösungen auftreten können, den wir kurz dadurch charakterisiren wollen, dass die Con- figuration der Massenpunkte für ^ = 0 und t = T dieselbe ist, wollen wir mit Poixcaee unter einer besonderen Voraussetzung behandeln.

Es seien die canonischen Differentialgleichungen

^ ' dt dyi dt oxi ^ ' '

gegeben, wo F eine Function von .r^, . . ., x^, y^, . . . , y^ und (i ist mit folgenden Eigenschaften:

§ 7. Methode von PoiNCARK, die periodischen Lösungen aufzusuchen. 193

1) F lässt sich für alle reellen Werthe von y^, t/^, , ■ -, y^ nach positiven Potenzen von /a entwickeln

(13*) F=^F, + ^F^+f,^F^ + ...-

2) F^^ hängt nur von x^, x^, . . ., x^ ab ;

3) F ist periodisch in ij^, i/^, ..., i/^ mit der Periode 2 tt . Die Differentialgleichungen (13) lassen sich dann für /jl = 0

leicht lösen. Man erhält in der That, für fx = 0 ,

(U) ^_o i^-_i^_« f/-12 .1

^^> dt~^' dt" dXi~^i' [i- i-, ^, ■ ■ -, s]

welche geben

x. = a.,

(14*)

{i^l, 2. i/. = n.t + CO, ,

wo a. und n. constante Grössen bezeichnen. Wenn nun

n^T, n^T, . . ., n^T

Vielfache von 2 ti sind , so ist die Bewegung periodisch mit der Periode T.

Wann existiren hier periodische Lösungen f ür // =[= 0 mit der- selben Periode T?

Offenbar müssen wir im Allgemeinen zu diesem Zweck die Anfangswerthe a, und co. für x. und y. etwas ändern. Es sei also für t=0

X. = a. + ßi,

Vi = '•'i + Yi ^

und wir führen statt x. und 3/. neue Veränderliche (f, und 'ip^ durch folgende Gleichungen ein

f ^i = ^i + ßi + ^i.

(15) (^•=l, 2, ..., .)

I Vi = ^i* + ^h + /i + "»^i •

Charlier, Mechanik des Himmels. II. 13

194 Periodische Lösungen.

Für (p^ und ^p^ erhalten wir die folgenden Differentialgleichungen

(16)

d(pi _ d F _d F dt dyi d coi

{i=l, 2, .... s) dyj; _ BF dt d Xi '■'

Wenn rf. und ip. für ^ = 0 und t = T dieselben Werthe (hier Null) annehmen, so ist die Bewegung offenbar periodisch mit der Periode T.

Betrachten wir zuerst die Gleichungen

(17) ^,{T] = ^p,{0) = 0. {i=l, 2, ..., s) Da die Gleichungen (13) das Integral

besitzen, so sind die Gleichungen (17) nicht von einander unabhängig; wir nehmen an, dass

so dass die Gleichung ip^{T) ^ 0 eine Folge der anderen Glei- chungen (17) ist. Wir haben also die {s — 1) Gleichungen

(17*) ^,(^ = 0 (^-=1, 2, ..., .-1)

zu betrachten, und können eine der Grössen ß- beliebig wählen. Wir setzen

(18) ß^ = 0.

Nach (6*) erhalten wir nun [i = l, 2, . . . , 5—1).

§ 7. Methode von Poinoare, die periodischen Lösungen aufzusuchen. 195

(19)

o=^m—ßJ^^ät-ß,f^^ät-...-ß._,f-

d'F,

düida.

dt

+ fi j ~^—^ dt + Glieder, die höhere Potenzen von ß^, .... ß^_^ 0 '

und fjL enthalten.

Da Fq nur von x^, x^, . . . , x^ und nicht von y^ , t/^, . . . , y^ abhängt, so enthalten die mit y^, y^, .... y^ multiplicirten Glieder in (19), die hier nicht ausgeschrieben worden sind, auch den Factor fj,. Da

d'Fp d Ui d a,

eine Constante ist, so erhält die Gleichung (19), nachdem durch I' dividirt worden ist, die Form

(19*)

Tj da,

dt

(^•=1, 2, ..., .-1).

Diese Gleichungen bestimmen die Werthe von ß^, ß^, ?4_i. Die Lösung ist eine einfache, wenn die Determinante.

d'K

d'Fo

da^da^ ' •	' ' d tti d a^_i
B'F,	d'F,
da^_^da,' •	' ^^s-\ ^"'s-1

von Null verschieden ist. Diese Determinante ist aber nichts anderes als die HESSE'sche Determinante von Fq in Bezug auf

, x,-\-

13*

196 Periodische Lösungen.

Die Bedingung für die Entstehung einer einfachen Lösung der Gleichungen (17) ist also, dass die Hesse' sehe Determinante von F^ in Bezug auf s—\ von den Grössen x^, x^, . . . , x^ von JSull verschieden ist.

Wir gehen nun zur Betrachtung der Gleichungen

(20) V'i[T) = () [i=\,2, ..., s)

über.

Wir können hier die Grössen ß.^, ß^, . . . , ß^ als bekannt vor- aussetzen und brauchen also in (20) nur die mit y^, y^, . . . , y^ und fi multiplicirten Glieder in Betracht zu ziehen.

Wenn wir die Formel (6*) zur Berechnung von ff^iT) anwenden, so erhalten wir

0 = cf.{T) = y^ f^^ dt+... + y^ {^^dt 0 0

T

''^ dt

' J dyidfi 0

Es wurde aber angenommen, dass F^^ von y^, y^f • ••? I/s ^^" abhängig war; folglich muss man unter dem Integralzeichen für F die Grösse ^F^ einführen und die Glieder in (pi{T) haben also alle den Factor n, was offenbar auch für die in dieser Formel vernach- lässigten Glieder gilt. Wird durch den Faktor // dividirt, erhalten wir somit

(21)

T

BT,

[i '^J dy^dyi ''J Byi

dys

0 0

T

J dyt

0

dt

Damit die periodische Lösung, die wir hier betrachten, eine analytische Fortsetzung der für fi = 0 erhaltenen Lösung sein soll, ist offenbar erforderlich, dass die Werthe für y^, ..., y^, die wir aus (21) erhalten, mit fi verschwinden müssen. Die Gleichung (21)

§ 7. Methode von Poincäre, die periodischen Lösungen aufxusucJien. 197

enthält aber ein Glied, das den Factor fi nicht besitzt, und folg- lich muss dies Glied verschwinden. Ist die Lösung periodisch, so müssen also die folgenden s Gleichungen stattfinden

T

(22) 0=J||-^^ {i=l,2

Die Gleichungen (22) zeigen, dass es für die Entstehung perio- discher Lösungen erforderlich ist, dass gewisse Relationen zwischen den Grössen x. und i/. für ^ = 0, d. h. zwischen a. und 03., be- stehen. In vielen Fällen genügt es, die Grössen co. in geeigneter Weise zu bestimmen.

Die Untersuchung der Gleichungen (22) wird von PoiNCAKß in folgender Weise ausgeführt. Man setze

(23) m = -^Jf,

dt.

Die Grösse [F^'] ist also das, was man in der Mathematik mit dem Namen ,,Mittelwerth der Function i^^" bezeichnet. Die Gleichungen (22) lauten

m ^ = ^^^ = 0 (-1,2,...,.).

Diese Gleichungen (22*) sagen aus, dass die Function [F^], als Function von co^, co^, ..., ro^ betrachtet, ein Maximum oder ein Minimum sein muss.

F.^ ist eine periodische Function von yj, t/^, ..., y^. Man hat also nach dem Theorem von Fofeieb

^1 =2^cos(mj?/j + ... + w^y^ + Ä),

wo Wj , . . . , m^ alle positiven und negativen ganzen Zahlenwerthe annehmen.

198 Periodische Lösungen.

Man hat hier

2j. = n.t+co,, so dass

-F^ = 2 ^ cos CO ,

wo

Folglich ist

ö,;= ^Äm.smc^

und

(24)

T

wo das Zeichen S bedeutet, dass die Summation über alle solche Werthe von m^, . . ., m^ auszudehnen ist, für welche

(24*) ^rn^n. = {)

ist.

Die Bedingung (22*) lautet

(25) 0=^^ = - SwJ^^sin«. {i=l, 2, ..., s)

Wir werden im zwölften Paragraphen die Folgerungen aus dieser Gleichung in Bezug auf das Drei-Körperproblem untersuchen.

§ 8. Fortsetzung. Methode von Poincare, die periodischen Lösungen aufzusuchen.

Die Bedingungen für periodische Lösungen der Gleichungen

(1)

dxi _ dF_ dt ~ d yi^

[i=\, 2, ..., s) dyt _ dF dt ~ dXi'

§ 8. Methode von Poincase. Fortsetzung. 199

wo

ist, und Fq nur von x\, x^, . . ., x^ abhängt, war nach dem vorigen Paragraphen

(2) ffTO + 0,

(3) ^ = 0 (, = 1,2, ...,.),

WO IJ^(Fq) die HESsE'sche Determinante von F^^ in Bezug auf s — 1 der Grössen x^, x^, , . ., x^ bezeichnet.

Soll die Lösung von (21) nach y^, ^a? • • •> /« ^^^^ einfache sein, SO muss ausserdem die Gleichung

(4) H{[FJ) 4= 0

stattfinden, wo die HESSE'sche Determinante in Bezug auf co^, co^, . . ., (o^ zu nehmen ist.

Es kommt öfters vor, dass die Bedingung (2) nicht erfüllt ist, indem nämlich F^^ nicht alle Grössen x^, x^, . . ., x^ enthält. Obgleich die Behandlung dieses Falles leicht aus dem Obigen her- vorgeht, wollen wir, nach PoiNCAKfi, diesen Fall besonders ins Auge fassen, da er im Drei-Körperproblem häufig vorkommt.

Wir nehmen der Einfachheit wegen an, dass vier Freiheits- grade vorhanden sind, und dass F^ nur von x^ und x^ abhängig ist.

Wir erhalten dann

	^1- dxr "2- e^^
	n, = n^ = 0
und für ^ = 0
^'i = «1 , (5)	^2 = «2 ^ -^3 = «3 '	^4 = «.

'4 y 1/j^ = n^ t + co^ , y^ = n^t^r w^, 3/3 = <^3 » 3^4 = «4 •

200 Periodische Lösungen.

Die Bedingungsgleichungen (6*) des vorigen Paragraphen lauten hier (nach Zeichenwechsel)

T

U 0 0

0 0

0 0 0

T T

+ Pd. ^ 5 — dt + u I -^ r — dt + ...

0 0

0 0 0

T T

+ ßA^^^dt + pi f~ß^dt + ...

' ^J dx^dx^ ^ J dxa d u

0 0

T T T

^^{T)=o=ß^ r^^^ di+ß. r^^T- dt+ß, f^^~- dt +

0 0 0

0 0

Da Fq nur :r^ und x.^ enthält, so findet man, dass die dritte und vierte dieser Gleichungen n als Factor besitzt, indem man statt F^ überall fiF^ einzuführen hat, und die Bedingungsgleichungen lauten (6) 0 = ^, =,x,, = -^ = ^.

Die ersten zwei dieser G-leichungen haben die Form [ 0 = Ä^^ ß^ j^ A,^ß^ + Glieder, die mit n verschwinden,

l 0 = ^21 ßl + ^22 ßi + » V „ f^ „

§ 8. Methode von Poincare. Fortsetzung.

201

wo

(7*) ist.

.=/

d'F,

d Xi d X,

dt

Nach (7) lassen sich /9j und ß^ als Potenzreihen nach fx dar- stellen, welche mit ja verschwinden, unter der Voraussetzung, dass die Determinante

nicht verschwindet.

Diese Determinante ist nichts anderes als die ÜESSE'sche Deter- minante von Fq nach x^ und x^. Wir nehmen also an, dass

(8) H{Fo)^0. (Arg. :r,, :r,)

Die übrigen beiden Gleichungen

0=^

enthalten theils Glieder, die mit ß. und ^ multiplicirt sind, aber ausserdem ein Glied, das mit jtt und ß. nicht verschwindet.

Die Anfangsbedingungen müssen somit in solcher Weise be- stimmt werden, dass diese Glieder gleich Null sind. Wir erhalten also die Bedingungen

fi J 0X3 ö/A J dx.^

0 0

fi J dx^d fi J d Xi '

0 0

oder wenn man die Function [i^j] einführt (9)

T}-o,

d[F,] d x^

0.

202 Periodische Lösungen.

Was die Bedingungsgleichungen

betrifft, so werden sie in gleicher Weise behandelt, wie im vorigen Paragraphen. Sie erfordern, dass

(10) T^^Ö- (^'=1.2,3,4)

Die Werthe von y^, y^, y^ und y^ bilden eine einfache Lösung,, wenn die HJESSE'sche Determinante von [i^J nach w^, «2? ^3 ^'^^ W4 von Null verschieden ist.

In demjenigen Falle, dass Ff^ nur von x^ und x^ abhängt, müssen also die Anfangsbedingungen für x^, x^, y^, ?/,, Ih ^^^^ 3/4 > d. h, die Werthe, welche diese Grössen für ^=0 und |U. = U an- nehmen, so bestimmt sein, dass [i^J, als Function dieser Grössen betrachtet, ein Maximum oder Minimum wird.

§ 9. Die Form der Entwickelung der Störungsfunction.

Für die Untersuchung der periodischen Lösungen ist es noth- wendig, einige Formen der Störungsfunction, die früher nicht ge- geben worden sind, abzuleiten. Ich werde mich dabei auf die erste Potenz der störenden Massen beschränken — d. h. auf die Form der mit F^ bezeichneten Function — , obgleich die meisten der folgenden Kesultate leicht auf die strenge Form der Störungsfunction übertragbar sind, wenn man sich der JACOBi'schen canonischen Elemente bedient.

Die Störungsfunction ist von den drei Abständen r, r' und r" abhängig, und man hat

(1) /'^ = 7-2 + r'2 — 2rr'cos^,

wo cp den Winkel zwischen den beiden Radienvectoren r und r' be- zeichnet.

§ 9. Die Form der Entmckelung der Störung sfunction. 203

Durch die excentrische Anomalie w ausgedrückt ist

r = a (\ — e cos w )

r = a' (1 — e cos w) ,

wo w und w mit den mittleren Anomalien l und V durch die Formel

und

(2)

10 — e sin ic = l , w — e sin w'= V

(2*)

verbunden sind.

Diese Formehi zeigen, dass r und r in FouEiEE'sche Reihen nach den Vielfachen von / bez. /' entwickelt werden können:

(3)

oder

i=l

^' = iA'+2^/cosi7'.

i = l

Die Werthe der Coeflicienten sind in IV § 9 angegeben. Schreiben wir (2) in der Form

tu — Z — esin(ic — Z + Z) = 0 i^ — Z = e cos / sin (ii? — Z) + e sin l cos {w — V)^

so ist nach dem Theorem von Lageange ersichthch, das zr — / als eine Reihe nach Potenzen von e cos l und e sin / dargestellt werden kann (4) ?ü — Z = Pj (e cos / , e sin /) ,

welche Reihe für e = 0 verschwindet. Ebenfalls hat man

(^*)

w — V — P/ (e cos Z', e' sin V)

204 Periodisehe Lösungen.

Für die wahre Länge v in der Bahn hat man folgenden be- kannten Ausdruck in den osculirenden Elementen:

= 71 + l + '^a- sin i l ,

wo cc. als Potenzreihe in e dargestellt werden kann. Diese Coeffi- cienten sind von der Form

und hieraus folgt, wie in VI § 2 in einem ähnlichen Fall, dass a. sin il nach Potenzen von ecosl und esial entwickelt werden kann. Man erhält also

(6)

V =71 + / + Pg (^ COS Z , e sin / ) , v = 71 + /' + Pg' (^' cos /' , e sin /') .

In Bezug auf die Darstellung des Winkels (f in (1) wollen wir zuerst den Fall betrachten, dass die Bewegung der drei Körper in einer Ebene stattfindet.

Dann ist

rf = V — v ,

und man findet aus (5), dass in diesem FaU ff von Z, /' und ti — ti' abhängig ist. Weiter ist oflfenbar r", und auch die Störungsfunction, eine periodische Function dieser Veränderlichen. Man könnte dies schon aus V § 10 schliessen. Hier können wir einen Schritt weiter gehen, indem nämlich aus (3) und (5) unmittelbar folgt, dass r, r und r" , und somit auch die Störungsfunction, unverändert bleibt, wenn man

l mit - /

§ 9. Die Form der Entunckelung der Störung sfunction.

205

vertauscht. Die Entwickelung der Störungsfunction muss also die folgende Form haben

(7)

-^1 = 2^<.i'.jC0s(z7 + i'l' +j{7l - 7l'))

wo ^i,i,,- von a, a, e und e' abhängt, und i, i' und j alle positiven und negativen ganzen Zahlenwerthe annehmen.

F^ ist also eine gerade Function von l, V und n — %'.

Aus (3), (4) und (6) folgt weiter, dass F^ als eine Function von a, a', ecosZ, esinZ, e'cosT, e'sinZ' und von A — A' betrachtet werden kann, wo

A = vT + / = mittlere Länge

ist, und zwar lässt sich F^ nach Potenzen der Grössen

e cosl , e sin/ e cos r, e sin V

entwickeln, wobei die Coefficienten periodische Functionen von A — A' sind.

Gehen wir zu dem allgemeinen Drei-Körperproblem über, so wissen wir aus V § 9, dass der aufsteigende Knoten der einen Planetenbahn auf der unveränderlichen Ebene mit dem absteigenden Knoten der anderen Bahn zusammenfällt. Der Abstand r" zwischen den beiden Massen m und m lässt sich also (von den Grössen zweiter Ordnung der Massen abgesehen) in der folgenden Form schreiben

(8*) r"2 = r2 + r'2— 2 rr' cos y- wo

cos^ = cos(ü-i2)cos(^;'-ß') +

+ sin(ü— i2)sin(ü'— ß' ist, oder, da ß = ß' ist.

(8)

cos 9 = cos (u — ü') — 2 sin^ \ /sin (u — Ü) sin (u — ß) .

206 Periodische Lösungen.

Es bedeutet hier / die gegenseitige Neigung der beiden Planeten- ebenen gegen einander, d. h. die Summe der Neigungen der Planeten- bahnen gegen die unveränderliche Ebene.

Es ist aber nach (5)

V — n = l + n - n + ^a^^mil ,

oder, wenn man mit Delaunay

y = ;r - wQ

setzt

(9)

V — i2 = l + g +^a^?,mil v — ü. = l -{- g' -{-^a^ sin i l'

und

(9*) V — V = l — l' -\- g — g' -\- ^cc^^mil — "^al^mil' .

Setzt man diese Ausdrücke in (8) und (8*) ein, so findet man, dass r" und ebenfalls F^ periodische Functionen von

/, /', g, und g'

sind, die nach Potenzen von e, e und sin^i/ (/ = z -f ?") ent- wickelt werden können, mit Coefficienten, die von a und a abhängen. Diese Entwickelungen werden nicht geändert, wenn man gleich- zeitig die Zeichen von l, l, g und g wechselt. F^ ist also eine gerade Function dieser Grössen, und wir können schreiben

(10) F,=^Äco^{il + i'l' +jg+j'g').

§ 10. Periodische Lösungen der ersten Gattung.

PoiNCARf; geht bei seinen Untersuchungen über periodische Lösungen von den Differentialgleichungen für die osculir enden Elemente aus, und er wird hierdurch zur Aufstellung der folgenden

§ 10. Periodische Lösungen der ersten Gattung. 207

drei Gattungen periodischer Lösungen des Problems der drei Körper geführt:

Für die erste Gattung sind die Neigungen Null und die Excen- tricitäten verschwinden mit den kleinen Massen (^m = 0) .

Für die zweite Gattung sind die Neigungen ebenfalls Null, die Excentricitäten behalten aber für |ti = 0 eine endliche Grösse.

Die dritte Gattung umfasst die Fälle, wo die Neigungen end- lich sind.

Die erste Gattung würde man geneigt sein als einen Special- fall der zweiten Gattung zu betrachten. Sie unterscheiden sich aber in einem wesentlichen Punkt. Betrachtet man nämlich (für |U = 0) zwei Planeten, die sich mit gleichförmiger Bewegung in kreisförmigen Bahnen um die Hauptmasse bewegen, so ist die Bewegung dieser drei Massen immer als eine periodische zu betrachten, indem näm- lich die Periode gleich der synodischen Umlaufszeit der beiden Planeten ist.

Anders stellt sich die Sache, wenn es (für (i = 0) sich um zwei Planeten handelt, welche sich in elliptischen Bahnen um die Central- masse bewegen. Die Bewegung kann auch hier periodisch sein, aber nur unter der Bedingung, dass die mittleren Bewegungen der beiden Planeten commensurabel sind. Man steht hier offenbar vor einem Problem ganz anderer Art, als im vorigen Falle.

Werden die mittleren Bewegungen der beiden Planeten (für |tt = 0) mit n und n bezeichnet {n > n), so ist die synodische üm- laufszeit T gleich

271

n—n'

Die Bewegung ist also, für |U. = 0, periodisch mit dieser Periode, wenn die Bahnen kreisförmig sind. Giebt es dann auch für fi > 0 periodische Bahnen mit derselben Periode?

Es gelingt PoincaeS: eine Antwort auf diese Frage zu finden, fast ohne die Differentialgleichungen der Bewegung in Betracht zu ziehen. Wenn nämlich das von den gegenseitigen Abständen r, r', r" der drei Körper gebildete Dreieck für < = 0 und iiir t = T dieselben Dimensionen hat, und wenn ausserdem die Ableitungen

208 Periodische Lösungen.

von r, r und r" in diesen beiden Epochen die gleichen sind, so muss offenbar die Bewegung periodisch ausfallen.

Wir haben aber im vorigen Paragraphen gefunden, dass die Abstände r, r und r" , wenn die Bewegung in einer Ebene statt- findet, nur von den folgenden Grrössen abhängen:

a, e cosl, e sin/,

(1) :

a, e cos /', e sin /'

und l — X', und dass sie in A — ?J periodisch sind, mit der Periode 27C, sowie dass sie nach Potenzen von e cos /, e sin l, e cos l und e' sin l entwickelt werden können.

Weiter haben, weil die Elemente a, e, u. s. w. osculirend sind, die Ableitungen von r und r dieselben Ausdrücke in der ungestörten und in der „gestörten'' Bewegung. Es ist also

d r n a^ e

— — = sm w ,

dt r '

dr' n'a'^e' ■

-TT = ^- Sin w ,

dt r '

SO dass -T^ und -— nur von den sechs Grössen (1) abhängen. Da

r" 2 = r^ + /•' ^ — 2 r r' cos [v — v) und

dv _ Yn a (1 - e^) dt ^ r^

ist, so ist — ^ auch durch dieselben Grössen und A — // bestimmt. d t

Damit die Bewegung periodisch ausfällt, ist also erforderlich,

dass die Grössen (1) für t=0 und für t=2T dieselben Werthe

annehmen, und dass A — Ä' um 2% wächst.

Die mittleren Bewegungen n und n sind durch die Formeln y / r'

§ 10. Periodische Lösungen der ersten Gattung. 209

bestimmt, wo A = '\/a, A' = /ö' und / und / zwei von den Massen abhängige Constanten sind.

Für t = fji = 0 nehmen wir an, dass

e = e' = 1 = l' = l='A' = 0

und A = Aq, Ä = yi'o ist.

Um eine periodische Bewegung für ^u ^= 0 zu erhalten, nehmen wir an, dass e, e', l und l' die Werthe

annehmen; dagegen kann man den Anfang der Zeit und die Lage der X-Achse so wählen, dass auch für // =|= 0

A = ;; = 0 .

Die Anfangswerthe von A und Ä seien A^ + ß^ und A^ + ß^ . Für t = T nehmen die Grössen (1), wo a gegen A vertauscht wird, die Werthe

A^ + ß, + V', , e^ cos /, + V'3 > ^0 sin ^0 + V-U »

A' + ih + ^'2 ' < cos /; + ^>, , e^' sin /; + 'ip,

und l — l' den Werth

2 TT + t/'o

an. Die Bedingungen für eine periodische Bewegung sind also

(2) ^'o = ^1 = ^2 = 'P3 = ^h = V^5 = ^'6 = 0-

Es giebt aber zwei Integrale der Bewegung, Das Integral der lebendigen Kraft und das Integral der Flächen, welche lauten

( F=C,

(3)

ßAyi-e^+ ß'A'-\/l-e''

wie im fünften Abschnitt bewiesen wurde.

Chablier, Mechanik des Himmels. II.

210 Periodisclie Lösungen.

Was das Integral der lebendigen Kraft betrifft, so kann es nach Potenzen von (x entwickelt werden

F=F^ + fiI\ + ii^F^ + ...

und es ist

so dass

7 - r . r\

0 2^2 1 2A'-^

dA'

Wie im Paragraphen (7) findet man, dass ip^ und -j/'g ver- schwinden müssen, wenn i^^, t^/g, i/'^ u. s. w. gleich Null sind. Wir müssen also die Gleichungen

(4) ^^ = ^p^ = xp^ = y,,^ = ^, = 0

auflösen und PoincarS fügt hierzu die Gleichung (4*) F= C,

wo C als gegeben betrachtet wird. Die Anfangswerthe

müssen so bestimmt werden, dass (4) und (4*) befriedigt sind.

Um die Existenz einer einfachen Lösung dieser Gleichung dar- zuthun, genügt es zu beweisen, dass die Functionaldeterminante der linken Seiten dieser Gleichungen für {) = ^ = ß^=ß^ = e^ = e^-^ = 1^ = 1^' von Null verschieden ist.

Bei der Ableitung dieser Determinante ist es nicht nothwendig, die von /x abhängigen Glieder hinzuschreiben. Es genügt diejenigen Glieder in (4) und (4*) zu betrachten, die nicht mit ^ verschwinden. Mit anderen Worten können wir die Sache so ausdrücken, dass es für die Untersuchung dieser Determinante hinreichend ist, eine ungestörte Bewegung zu betrachten, welche von den Elementen

§10. Periodische Lösungen der ersten Gattung. 211

A' + ßi r ^o'» ^o'

bestimmt ist.

Für F(^ würde man dann den Ausdruck

erhalten, und für die neuen mittleren Bewegungen A- und N' würde man die Werthe

bekommen.

Die Winkelgrössen / und l würden von ^=0 bis f=T= — —

71— n

um

n — n' \ AJ

wachsen, und V und ).' gleichzeitig um die Grösse

U' = N'T = ^^^,{\ + ^-^,

Die Glieder in i/;^, 1//3, 1^^ u. s. w., die nicht (.l als Factor haben, sind also

1//3 = e^ cos [l^ +U)-e^ cos /,, , -i^., = e^ sin (/, +U)- e^ sin /„ , 1/^5 = e; cos (/(,'+ £/')-< cos/;, i/^ß = e;siu(/,;+ Z/'j-^o'sinV- Es hat jetzt keine Schwierigkeit, die Functionaldeterminante A dieser Gleichungen aufzustellen. Es ist in der That

14*

212 Periodische Lösungen.

J = Determinante von F^ und »/'o i^ Bezug auf /?^ und ß^-, A^ = Determinante von 1//3 und ip^ in Bezug auf e^ und Z^; Jg = Determinante von \p^ und Ojt'ß in Bezug auf e^ und l^.

Es ergeben sich aber für diese Determinanten die folgenden Werthe:

. Qnnn' / 1 , 1

A., = ^oKcos(/o + U) - C0S/J2 + (sin(Z^ +U)- sin/J^j, ^3 = <{(cos(V+ U') - cos/;)2 + (sin(/;+ V) - sin V)2},

zlj verschwindet für A^ = — A^' , d. h. für n = — n , ein Fall, der von keiner besonderen Bedeutung ist.

zig und ZI3 verschwinden, wenn U und £/■' Vielfache von 2% sind, d. h. in Betracht der Werthe dieser Grössen, wenn ^^ ein Vielfaches von w — n ist. Wir können diese Bedingung auch so ausdrücken, dass

(5) 5 = ^'

wo i eine ganze Zahl bezeichnet.

Nur wenn die Gleichung (5) befriedigt ist , existiren keine periodischen Lösungen der ersten Gattung.

Es giebt offenbar eine vierfach unendliche Zahl Lösungen der ersten Gattung, indem nämlich die Periode T, die Constante C, die Zeit der Conjunction und die Länge der Conjunction beliebig ge- wählt werden können.

Wir haben im fünften Paragraphen dieses Abschnittes nach Hill gezeigt, wie die Keihen, die einer solchen Lösung entsprechen, in einem bestimmten Falle thatsächlich aufgestellt werden können.

Der Ausnahmefall (5), in welchem keine periodischen Lösungen der ersten Gattung vorkommen, hat ein besonderes astronomisches Interesse. Vom Standpunkte der Störungstheorie erklärt sich die Sache in folgender Weise.

§10. Periodische Lösungen der ersten Gattung. 213

Für die DELAUNAY'schen Elementen V § 5 lauteten die Diffe- rentialgleichungen

dL BF dt - Bl '	dl BF dt ~ BL'
dO BF dt ~ Bg '	dg BF dt ~ BG'
dL' BF dt ~ Bl' '	dl' BF dt ~ BL''
dO' _ BF dt Bg' '	dg' BF dt BG''

und hier bedeuten / und g bez. die mittlere Anomalie und die Perihellänge, und man hat

L = ß^^, L' = ß' y^' ,

G = Lyi-e^, G' == L'y\-e^.

Die Störungsfunction wird gewöhnlich durch die elliiJtischen Elemente L (oder a), e, L', e ausgedrückt, und es ist offenbar

B G ~ Le Be

SO dass die Bewegung des Perihels der beiden Planetenbahnen durch die Formeln

(6)

dg yi-e^	BF
dt Le	Be
dg' yi-e'^	BF
dt ~ L'e'	Be'

bestimmt ist.

Wir wollen die secularen Bewegungen [g] und [g] der Peri- helien für sehr kleine Werthe von e und e' untersuchen.

Wenn die mittleren Bewegungen n und n' nicht commensurabel sind, so hat man

214 Periodische Lösungen.

d[g] ^ ]/l - e^ BR

dt Le de

d[g'] ^yr=7^ dR

dt L' e' de'

wo R den gewöhnlichen secularen Theil der Störungsfunction be- zeichnet. Es ist also für e = e' = 0

dt e

^ = Ä' + B'^ dt e

Die Perihelien haben mittlere Bewegungen , deren Grösse wesentlich von dem Betrag des Verhältnisses zwischen den beiden kleinen Excentricitäten abhängt.

Ähnlich verhält sich die Sache, wenn n und n sich wie zwei ganze Zahlen i und j verhalten:

wenn nur nicht die Differenz zwischen i und j gleich + 1 oder — 1 ist. Wäre aber dies der Fall, würden schon in den Gliedern ersten Grades seculare GKeder auftreten und man würde ein Resultat von der Form

m

I dt e e

Ml^A' + B'^ + C'^

dt e e

erhalten.

Hier tritt die Ausnahmestellung des Falles i — j\ = 1 hervor. Für verschwindende e und e' würde nämlich hier die seculare Be- wegung der Perihelien unendlich gross ausfallen.

Es wäre verfrüht, hieraus den Schluss zu ziehen, dass die Fälle, wo 12—^1 = 1 ist, von keiner Bedeutung für die Astronomie seien.

§ 11. Periodiscfie Lösungen der zweiten Gattung. 215

Vielmehr kommen im Planetensystem viele Fälle vor, wo die mittleren Bewegungen dieser Gleichung wenigstens sehr nahe ge- nügen , obgleich die Excentricitäten , für ^a = 0 , verschwinden. AiEY hat in seinem classischen populären Werke „On Gravitation" die hierbei entstehenden eigenthümlichen Bewegungszustände abge- leitet, und TissEEAND (Bulletin Astron. T. III 1886) und Backlijnd (Bulletin de l'Acad. Imp. de St. P^tersbourg 1898) haben vom analytischen Gesichtspunkte diese Untersuchungen weiter geführt. Im System der Satumstrabanten existiren, wie Tisseeand und Back- LUND bewiesen haben, mehrere solche Fälle, wie bei Hyperion-Titan, deren mittlere Bewegungen sich nahe wie 3:4 verhalten; bei Ence- ladus-Dione ist die mittlere Bewegung des erstgenannten Trabranten nahe gleich der doppelten mittleren Bewegung von Dione.^

Wir stehen hier vor periodischen Lösungen des Drei-Körper- problems, die indessen in gewissem Sinne nicht den Lösungen der ersten Gattung angehören.

§ II. Periodische Lösungen der zweiten Gattung.

Diese sind dadurch charakterisirt, dass die Excentricitäten für |U = 0 endhch sind. Die Neigungen sind gleich Null. Nach der Betrachtungsweise von Poincae£ geht man von den Verhältnissen für |it = 0 aus und stellt sich zuerst die Frage, wann ein System von drei Körpern, von denen zwei sich in festen KEPLEE'schen Ellipsen um den dritten Körper bewegen, ein periodisches System bilden. Offenbar ist dies der Fall, so oft die mittleren Bewegungen, n und n', in den KEPLEE'schen Ellipsen commensurabel sind. Dann wird die Bewegung immer periodisch. Es sei also

n _ p n' q

wo p und q zwei ganze Zahlen bezeichnen, die relativ prim sind.

^ Brendel hat in seiner „Theorie der kleinen Planeten" die Bedeutung dieses Falles für die kleinen Planeten untersucht. Ich komme im dritten Bande dieser Vorlesungen zu dieser Frage zurück.

216 Periodische Lösungen.

Wird der grösste gemeinsame Divisor von n und n' mit N be- zeichnet, so dass (1) 7i=pl\, n=qN,

so ist die Periode T der Bewegung gleich

und die Masse m, welche die mittlere Bewegung n besitzt, hat in dieser Zeit p Umläufe gemacht, die Masse m\ mit der mittleren Be- wegung n, hat q Umläufe in der Elhpse vollbracht.

Wann existiren periodische Bewegungen für ;U 4= 0 iiiit der- selben Periode T?

Wir können nach V § 10 die Bewegung auf drei Freiheitsgrade reduciren. Die entsprechenden Differentialgleichungen lauten, wenn wir die Störungsfunction, die hier nur von den sechs Elementen L, L', l, r, K, k abhängt, mit F bezeichnen (als Function der ge- wöhnlichen DELAUKAY'schen Elemente wird die Störungsfunction mit F bezeichnet):

dl^ _ ^ dl ^ gF

dt ~ dl ' dt ~ ÖL '

(2)

ÖF	dl
dl '	dt
ÖF	dl'
dl' '	dt
6 F d k '	dk dt

(2*)

djy _ ^ dl' _ dF

dt ~ dl' ' dt ~ ÖL'

dj^ _ d^ dk ^ _ dF

dt ~ dk' dt ~ dK

L = ß ]/ö^, / = mittlere Anomalie von

L' = ß'fä\ r= „ „ „

K = ß ]/a{l-e^], k = 7i-7i'.

Die Excentricität von m' ist aus der Störungsfunction F mittelst des Integrales der Flächen eliminirt, welche lautet

G -\- G' ^ ß]/a{l-e-) + ß' ]/a (1 - e'^) = c oder

(3) Lyi-e^ + L'yi-e"'

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Oattung. 217

F erscheint also als eine Function von L, L', l, l', K und k.

Nach Potenzen von f< entwickelt hat man

F = Fo + /^ Fl + ,a- F2 + . . . ,

oder nach V § 5 (wenn die Attractionsconstante = 1 gesetzt wird, und die kleinen Massen m und m in der grossen Masse M als Einheit ausgedrückt werden)

(4) Po = fe + ^ = -2^ + ^ = i^o-

Was Fl betrifft, so hat man nach § 9 den Ausdruck

(5) Fl = '^%co5[il + i'l' +jk). Für F^ hat man einen ähnlichen Ausdruck

(5*) -^1 = 2^^ cos [i l + i' V + j k) ,

nur ist in (5*) Ä als eine Function von L, Z', G und G' zu be- trachten, wogegen in (5) 51 nur von Z, L' und K abhängt. Der Uebergang von (5*) in (5) geschieht, indem man in (5*)

(6) G' = c- K, G = K

setzt.

Es ist also im Besonderen

^7^ ÖF _ dF dF

V'J dK ~ dO dG''

welche Formel unten zur Anwendung kommt.

Wir gehen nun zur Aufsuchung der periodischen Lösungen von (2) mit der Periode T über.

218 Feriodisehe Lösungen.

Da Fo nur von Z und Z' abhängt, so befinden wir uns in dem in § 8 behandelten Falle. Wir haben also, nach der gegebenen Theorie, zuerst zu untersuchen, ob die HESSE'sche Determinante i/(FJ von Fg nach Z und Z' von Null verschieden ist. Man findet aber, dass

(8) ^(Fo) = j^

ist, welcher Ausdruck für endliche Massen nicht verschwindet.

Für das Vorkommen periodischer Lösungen war noch erforder- lich, dass die Gleichungen

ö[FJ _ d[F,] _ Ö[F,]

^"^ dl dl' ÖÄ ~^'

und ausserdem

befriedigt sind, wo nach der Differentiation für Z, Z', I, /', K und k ihre für t = ^ = 0 geltenden Werthe eingesetzt werden müssen. Wir bezeichnen diese Anfangswerthe mit

(10) ^, ^'> ^o> ^o' ^;> ^0-

Nach (5) ist

(11) [Fi] = 25icos(^7,3 + ^'/o'+jÄo).

wo i und i' alle ganzen Zahlenwerthe annehmen, für welche

in -\- i' n = 0, d. h. nach (1)

(12) i> + ^'9 = 0 ist.

Wir können also annehmen, dass

(12*) i = sq , t = — sp ,

WO s eine beliebige ganze Zahl bezeichnet, und man hat [F,] = 25tcos(.(^/,-;,Z,;)+jÄj. Hier hat man ä = 0, 1, 2, 3, . . . zu setzen.

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Gattung. 219

Die Gleichungen (9) lauten:

2^?5(sin(.(9/,-p/;)+jÄ,) = ü, ^sp%sm{s{ql,-pl,)+jk,)=0,

Da p und q bestimmte Zahlen bezeichnen, so ist aber die zweite dieser Gleichungen mit der ersten übereinstimmend. Die beiden Gleichungen

i[^ = 0 und ^ = 0

sind also identisch, und hieraus folgt, dass man eine von den Grössen l^ oder l^ beliebig wählen kann. Setze dann

(13) /; = o,

was in der That durch eine geeignete Wahl der Epoche erreicht werden kann. Es wird also angenommen , dass zur Zeit ^ = 0 die Masse m' sich im Perihel befindet.

Die beiden Gleichungen , die noch zu erfüllen sind , haben die Form

^s%ün[sql^-^jk,) = Q,

^j^dsm{sql,+jk,) = 0.

(14)

Diese Gleichungen sind erfüllt, wenn k^ und /^ eine Vielfache Yon 180^ oder Null sind. Dies würde, geometrisch ausgedrückt, bedeuten, dass zur Zeit t = 0 (und jU = 0) die beiden Körper ent- weder in Conjunction oder in Opposition stehen, und zwar an der Apsidenlinie, welche für beide Planeten die gleiche Richtung hat. Die Perihellängen können zusammenfallen oder sich um ISO*^ unter- scheiden.

PoiNCAEfi nennt dies, dass sich die beiden Massen in symmetrischer Conjunction oder Opposition befinden.

220 Periodische Lösungen.

Dies ist indessen nicht die allgemeine Lösung der Glei- chungen (14). ScHWAEZSCHiLD hat in A. N. 3506 darauf aufmerksam gemacht, dass es, um die Gleichungen (14) zu befriedigen, nicht nothwendig ist, dass l^ eine Vielfache von 180° ist, sondern es genügt, wenn dies mit q l^ der Fall ist.

Wir kommen hiermit zu den beiden Lösungen

N 7 ' M 7 180«

ß) Ä, = ;r - 71' = 180^ /, = r

Die Zahl r kann hier eine beliebige ganze Zahl bezeichnen, es genügt aber, dass man die Zahlenreihe

r = 0, 1, 2, . . ., 2y - 1

in Betracht zieht. Es giebt also in jedem der Fälle a] und ß) 2 q Werthe von l^ , welche einer periodischen Lösung entsprechen. Diese 4^ Fälle brauchen indessen nicht alle von einander wesent- lich verschieden zu sein.

Ist z. B.

n 1

so ist 5' = 3 , und man kann für /^ irgend einen von den AVerthen

0°, 60°, 120^ 180°, 240°, 300° wählen.

Es erübrigt noch die Bedingungsgleichung (9*) zu betrachten:

(9-) ^1 = 0.

Nach (7) kann man statt dessen schreiben (15) W-^ = 0-

§ IL Periodische Lösungen der zweiten Gattung. 221

Die Störungsfunction F^ ist eine Function von L, L', G, G' und von den vier Winkelargumenten /, /', g, g'.

Die Entwickelungen der Störungsfunction, welche in der Astro- nomie gewöhnlich vorkommen, geschehen im Allgemeinen nach den Potenzen der Excentricitäten, und die Störungsfunction erscheint als eine Function der gewöhnlichen KJEPLER'schen Elemente a, e u. s. w. Wird die Störungsfunction als von diesen Elementen ab- hängig betrachtet, werden wir sie zur Unterscheidung bei der Aus- führung von partiellen Differentiationen mit R bezeichnen, so dass wir die folgenden drei Formen zu betrachten haben:

R{a , e , l , 71 , a,e', V , n') —

= F{Z, G,l,g, Z',G\r,g') =

= F{L, L', K, l, r k). Man hat

und also

G = Ly\-e\ G' = L'y\-e\

8F_ __ G dB __ \/V^^ 8R dG ~ L^e de ~ Le de '

BF _ G' dB _ l/T^ dB

8 G' ~ L'' e de' ~ U e' d e' '

SO dass die Gleichung (15) also lautet

(16) il^m_l^Affl = o

^ ' Le d e L e d e

wo

m = i,fBdt

0

ist.

Wir können F in der Form

(17) F = ^A cos [i l - i V + j (TT - ;r'))

schreiben, wo

222 Periodische Lösungen.

l =z n t + c , r =n t -{- c

zu setzen ist, und [7?] enthält alle Glieder in E, für welche

(18) in — i'n=0

ist.

Diese Gleichung kann in zwei verschiedenen Weisen erfüllt werden:

1) für e = r = 0; die entsprechenden Glieder werden der seculare Theil der Störungsfunction genannt, den wir mit S^ be- zeichnen wollen;

2) nach (1) für ip — i' q = 0, d. h. für

(18*) i = sg, i' = sp [s = ± l , 2 , 3 . . .).

Den entsj^rechenden Theil von [i?] bezeichnen wir mit S^.

Die Form von S^ ist bekannt. Nach VII § 2 wissen wir, dass S^ — wenn wir die Bewegung in drei Dimensionen in Betracht ziehen und die unveränderliche Ebene als Grundebene annehmen — eine gerade Function von e, e und sin(/ + i') ist. die nach den Cosinussen der Vielfachen von n — n fortschreitet.

Die Glieder des niedrigsten (des zweiten) Grades sind nach VII § 2 (6*j, wo wir -Q - 13' = 180°, k- =\ zu setzen haben,

mm

(19)

^1 = ^ (A ['- + '"- - sin^ (/ + /')) -

— 2B.^ee' cos (.t — n')] ,

n

j. 2 r aa' cos cfi dq)

1 ~ ^ J \pP- -h a'^ - 2aa' cos cpfk '

0

« _ ^ r o a' cos2<pd(p

'^ ~~ n J [a^ + a'^ — 2 a a cos g)Jh

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Gattung. 223

ist, oder wenn man nach den Potenzen von a = —^ entwickelt

(nach VI § 5)

(19*)

7? 3 ,r. , 3 5 2 , 3-5 5-7 4 ]

z? 15 oL, , 3 7 2 , 3-5 7-9 4 ,

Was S^ betrifft, so ist die Form dieser Function nach (17) (20) ^2 = 2 4,i^.i cos (^•c - i'c' +j[% - 71')) ,

wo i und i' die Werthe (18*) annehmen. In Bezug auf die Coeffi- cienten Ä. ., . ist zu bemerken, dass sie als Potenzreihen nach den Potenzen von e, e und sin(e + r) entwickelt sind, und dass — wie aus den Betrachtungen in V § 2 leicht hervorgeht — die Grheder der niedrigsten Ordnung in dieser Entwickelung vom Grade \i—i'' sind.

Nach (18*) folgt hieraus, dass die Glieder der niedrigsten Ord- nung in S^ vom Grade \p — q\ sind.

Aus diesem Satze ist ersichtlich, dass man bei der Betrachtung der Gleichung (16) zwei Fälle zu unterscheiden hat. Ist erstens \p — q\ nicht eine kleine Zahl (etwa grösser als 4), so genügt es in (16) statt [i?] den secularen Theil S^ der Störungsfunction ein- zuführen, so dass die zu betrachtende Gleichung lautet

^ ' Le o e L e 0 e

Führt man nach (19) die niedrigsten GHeder in S^ hier ein, und setzt i = i' z= 0 , da es sich um die Bewegung in einer Ebene handelt , so erhält man , nachdem der Factor -"-"— weggeworfen worden ist.

^ (A - ^2^oos{n - 71')^ - ^ (^1 - ^2 f cos(.-r - ;r')) = 0

Es ist aber nach dem Vorigen 71 — 71' entweder gleich 0 oder gleich 180«. Ist

224 Periodische Lösungen.

a) ;r — 7r' = 0, so lautet die obige Gleichung (vom Falle e oder e' = 0 abgesehen)

(22) LB^e^- + B^e e {L' - L) - L' B^ e'^ = 0 ,

und für

ß) :;r — :;r' = 180" bekommt man

(22*) LB^e^ - B^e e [L - L) - L' B^ e'^ = 0.

Aus diesen Gleichungen lässt sich für gegebene Werthe von L und L' der Werth des Verhältnisses zwischen e und, e' bestimmen, für welches eine periodische Lösung der zweiten Gattung existirt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind immer reell.

Man kann auch die Werthe von e und e' als gegeben voraus- setzen, und den entsprechenden Werth von L' : L bestimmen. Wir erhalten somit im Falle

c/)

^'^'^' L ~ B^e'^'- B,ee''

WO e und e so gewühlt sein müssen, dass die rechte Seite positiv ist; im Falle ß) ist

L' B^ e" + B^ee'

(23

£26'^+ B^ee'

Für alle Werthpaare [e, e) — mit der in u) genannten Be- dingung — kann man das Verhältnis zwischen L' und L so wählen, dass eine periodische Bewegung entsteht.

Die genäherten Werthe von L und L' sind nach VI § 4 (6)

L = m'^ a , L =■ rri '^ d .

Da die mittleren Bewegungen n und ri commensurabel sind, so ist dadurch das Verhältnis zwischen a und d bestimmt. Die Gleichungen (23) und (23*) können durch eine geeignete Wahl der Werthe der Massen erfüllt werden.

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Gattung. 225

Die obigen Auseinandersetzungen sind nur als Annäherungen zu betrachten, da nur die Glieder zweiten Grades in S^ berück- sichtigt worden sind. Sie können also nur für kleine Werthe von e und e Gültigkeit haben, und für grössere Werthe der Excen- tricitäten müssen höhere Potenzen von e und e mit in Betracht gezogen werden. Es ist aber aus der Gleichung (16) ersichtlich, dass man aus derselben e als eine Potenzreihe von der Form

(24) e = e [a^ + a^e' -^ a^ e'^ + . . .}

darstellen kann.

Ist \p — q\ eine kleine Zahl, so muss auch S^ in (16) mit- genommen werden. Die Discussion der Gleichung für \p — q\'^2 ist der obigen analog, obgleich die Eesultate natürlich verschieden ausfallen. Ist aber \p — q\ = \ , so giebt es, wie aus VI § 3 (19) leicht hervorgeht, in der Störungsfunction das Glied

{ecos(2Z — l' + 71 — n)

2 [a^ + a"^ - 2aa' cos {l - V + n - n')]^h

+ e' cos (/ — 2 Z' + :/! — %')\ ,

und, wenn man den ersten Factor nach Vielfachen von Z— /' + ;r — :;r' entwickelt, so erhält man hier ein Glied, das t nicht enthält. Ist zum Beispiel 2n — ri ■= 0, so erhält man für dieses Glied den Werth

\ Bq e cos,{2 c — c ■\- n — %') ,

oder, da cos (2c — c' + tt — n) gleich + 1 oder — 1 ist, ±\B,e.

Wird dies Glied in (16) eingesetzt, so erhält man eine Gleichung von der Form

4 Le

Die Wurzel — e — dieser Gleichung verschwindet nicht mit e', wie bei (22*) der Fall war. Die Werthe der Excentricität, die

Charlibr, Mechanik des Himmels. II. 15

226 Periodische Lösung&n.

einer periodischen Lösung für \p — g\ = 'i- entsprechen, sind des- wegen, im Allgemeinen, viel grösser als für \p — g\>\, und es lässt sich nicht ohne eingehende Untersuchung entscheiden, ob überhaupt periodische Lösungen der zweiten Gattung für \p — q\ = 'i- existiren, da hierfür noch erforderlich ist, dass der resultirende Wurzelwerth für e kleiner als die Einheit ist. Es lässt sich in- dessen aus einem von Hill betrachteten Specialfalle, der weiter unten besprochen wird, vermuthen, dass dies der Fall ist.

Ist die Masse m des einen Planeten verschwindend, handelt es sich also um das asteroidische Drei -Körperproblem, so ver- schwindet das zweite Glied in (16), und man erhält die Bedingung unter der Form

(25) t4^ = 0.

wo

s=^m

ist.

Da auch in diesem Falle n — ti' gleich 0*^ oder 180° sein muss, so ist hier — weil 7i' eine Constante ist — 7i unveränder- lich. £ei den periodischen Lösungen der zweiten Gattung des asteroi- dischen Brei- Körperproblems ist also das Terihel des kleinen Planeten unbeweglich.

Ist 1^0 — ^1 nicht eine kleine Zahl, so dass man für (25) die Gleichung

schreiben kann, so erhält man eine Gleichung von der Form (25**) 0 = B^e — B^e' Q.o%{% — n) + höhere GHeder in e und e.

Die vernachlässigten Glieder sind sämmtlich ungeraden Grades. Dieser Ausdruck zeigt, dass in diesem Falle nur der Werth

§ IL Periodische Lösungen der zweiten Gattung.

227

nicht aber der Werth ;r — jr' = 180" zu periodischen Lösungen führen kann. Ein genäherter Werth von e, für kleine e', ist

(26)

= f^'-

In yil § 4 (8) wurde gezeigt, dass immer {a < a) B^ > ^, ist. Die Excentricitäi des kleinen Planeten ist also für eine periodische Lösung immer kleiner als diejenige des „störenden^'' Planeten.

Die periodischen Lösungen des asteroidischen Drei -Körper- problems sind von Hill behandelt worden (Astron. Journal Nr. 516) für den Fall, dass Jupiter der „störende" Planet ist. Er nimmt e' = 0.04825 an, und zieht in S^ Glieder bis zur sechsten Ordnung inclusive in Betracht. Ist erstens \p — q eine grosse Zahl, so erhält er die folgenden Werthe der AVurzeln der Gleichung (25*). In der folgenden Tabelle ist a = a: a.

Periodische Lösungen der ziceiten Gattung für das asteroidische Drei- Körperproblem.

a	e	a	e	a	e
0.02	0.001 2091	0.26	0.015 5796	0.50	0.029 1772
0.04	0.002 4178	0.28	0.016 7534	0.52	0.030 2466
0.06	0.003 6258	0.30	0.017 9216	0.54	0.031 3029
0.08	0.004 8326	0.32	0.019 0838	0.56	0.032 3453
0.10	0.006 0379	0.34	0.020 2392	0.58	0.033 3726
0.12	0.007 2414	0.36	0.021 3875	0.60	0.034 3837
0.14	0.008 4426	0.38	0.022 5281	0.62	0.035 3776
0.16	0.009 6411	0.40	0.023 6605	0.64	0.036 3529
0.18	0.010 8366	0.42	0.024 7841	0.66	0.037 3080
0.20	0.0120 286	0.44	0.025 8982	0.68	0.038 2412
0.22	0.013 2167	0.46	0.027 0022	0.70	0.039 1503
0.24	0.014 4005	0.48	0.028 0955

15*

228 Periodische Lösungen.

Da

so erhält mau u aus der Gleichung

log« = 9.9998618-1- log ^

6 q

Wenn das Commensurabilitätsverhältniss p : q gegeben ist, erhält man hieraus den Werth von a, und die Tabelle giebt den ent- sprechenden Werth der Excentricität des kleinen Planeten, der einer periodischen Lösung der zweiten Gattung entspricht.

Hill hat auch einige periodische Bahnen für niedrige Werthe von \'P — q\ berechnet, nämlich für jo = 3, q = '^ und für p = 2, q = \ . Die Untersuchung ist hier bedeutend umständlicher, und er- fordert zum Theil die Anwendung der mechanischen Quadratur.

Für p = 3, 5^ = 1 zeigt sich, dass periodische Bahnen dieser Gattung nur existii'en können, wenn die Richtung der Perihelien des kleinen Planeten und des Jupiters mit einander übereinstimmen, so dass ;r — ;r' = 0 ist. Hill erhält hier

^=- 0.0080600 4- 0.287 698^ - 0.046 723^-' + 0.2029906^,

4^ = - 0.1082128 + 1.250172e - 0.630954^2 ^ l.765393e^

0 e

so dass

0=4^=- 0.1162728 + 1.537870e - 0.677677^2 _(- 1.968383e^ o e

Die Wurzel dieser Gleichung ist

e = 0.077565.

Veranschaulicht wird die entsprechende periodische Bahn durch die beigefügte Figur 15, welche die synodische^Bohn. eines Planeten dar- stellt, dessen mittlere Bewegung die dreifache des Jupiter ist. Die hier

§ 11. Periodische Lösungen der zweiten Gattung.

229

gezeichnete Bahn wird synodisch genannt, weil sie auf ein beweg- liches Coordinatensystem bezogen ist, dessen X-Achse durch die Sonne und Jupiter geht. Die Buchstaben / und /' zeigen die

J J'

Fig. 15. Synodische Bahn eines kleinen Planeten, dessen mittlere Bewegung die dreifache des Jupiter ist (u ~ 0).

Stellung des Jupiters im Perihel und im Aphel. Zu beiden Fällen ist er in Conjunction mit dem Planeten, der sich in P bez. P' befindet.

Hill hat auch die Lösung für

p = 2, q

1 untersucht. Die Unter-

suchung ergiebt sich als sehr schwierig und muss hauptsächlich mit Hilfe mechanischer Quadratur ausgeführt "werden. Wenn n — n' = 0, so erhält er als Werth für die Excentricität e = 0.7073, und die synodische Bahn des Planeten wird durch Fig. 16 ge- zeigt. Die Excentricität ist hier so gross, dass der Planet viermal in einem synodischen Umlauf die Jupiterbahn schneidet. Die Figur zeigt aber, dass der kleine Planet sich in grosser Entfernung vom Jupiter bewegt, und Hill schliesst hieraus, dass die periodischen Stö-

Fig. 16. Synodisehe Bahn eines kleinen Planeten, dessen mittlere Bewegung die zweifache des Jupiter ist {ji = 0).

230 Periodische Lösungen.

ruDgen klein sein müssen „und schätzt, dass kein Coefficient in der Länge den Werth von 200" überschreitet^'.

Fassen wir die Resultate dieses Paragraphen zusammen, sa haben wir also gefunden, dass periodische Lösungen der zweiten Gattung des Problems der drei Körper unter den folgenden Be- dingungen existiren. Es muss für ^ = 0:

1) Die mittlere Bewegung n und n der beiden Planeten, commensurabel sein, so dass

(a) 4- = -^

ist, wo p und q zwei ganze Zahlen bezeichnen, die relativ prim zu einander sind.

2) Die Perihellängen n und n der beiden Planetenbahnen müssen entweder identisch sein, oder sich um 180° von einander unterscheiden :

(b) Ti-Ti' = 0"^ oder 180^

3) Wird der Anfang der Zeit so gewählt, dass c' = 0, so muss. c einen solchen Werth haben, dass

c) c = r ,

wo r einen der Zahlenwerthe 0, 1, 2, . . ., 2^' — 1 hat.

4) Die Excentricitäten e und e müssen so gewählt sein, dass die Gleichung

(d) v^"^^^ _ö5 _ yr^ 11 = 0

^ ' Le d e L' e' d e'

erfüllt ist, wo S diejenigen Glieder in der Störungsfunction (17): enthält, für welche

ip — i' q = 0 ist.

Damit die so erhaltene Lösung eine einfache Lösung ist, ist erforderlich, dass die HESSE'sche Determinante von [FJ nach c, k und Ä." von Null verschieden ist.

§ 12. Periodische Lösungen der dritten Gattung.

231

§ 12. Periodische Lösungen der dritten Gattung.

Wie im vorigen Paragraphen findet man, dass auch hier periodische Bewegungen für /i = 0 auftreten, wenn die mittleren Bewegungen n und n commensurabel sind.

Wir bringen nach V § 10 die Differentialgleichungen auf vier Freiheitsgrade, so dass

(1)

dL ÖF dt ~ dl '	dl dF dt BL
dr öF dt ~ dg '	dg dF dt dr
dL ÖF dt dl' '	dl' dF dt ~ dL
dr dF dt ~ dg' '	dg' dF dt dr

ist, wo L, L', l und /' dieselbe Bedeutung wie im vorigen Para- graphen haben und

r=G = Lfi^^^^, r' = G' = L'y\

(2*) ist.

Es wird hier vorausgesetzt, dass man in der Störungsfunction F die Elemente h, h', H und H' eliminirt hat, indem man die Be- wegung auf die unveränderliche Ebene bezieht, wodurch h und h' verschwinden, und indem man setzt

(2)

H'

-^{r^-n:

wo c die Constante der Flächenintegrale bezeichnet.

Fo hat dasselbe Aussehen wie im vorigen Paragraphen und ist also nur von L und L' abhängig, und die HESSE'sche Determinante von Fq in Bezug auf L und L' ist von Null verschieden.

232 Periodische Lösungen.

Wie im vorigen Paragraphen findet man die Bedingungen für das Auftreten periodischer Lösungen, welche hier sind:

^'^> dG~de'~dg~dg'~'

und

[6) -JT-Tr'-^'

wo man l = nt -\- c, V = 71 t -{- c zu setzen hat.

Die Störungsfunctiou F^ hat hier das Aussehen [§ 9 (10)]

Fi = 25tcos(e7-z'/'+j\7-//), und weiter ist

[FJ = S 2rco3(2C - i'c' +jg -j'g'),

wo i und i' alle diejenigen ganzen Zahlenwerthe annehmen, für welche

in — i' 7i' = 0

ist, oder wenn wir, wie im vorigen Falle, (4) 4 = ^

^ ' n q

setzen, so muss

ip — i' q = 0 sein, oder (4*) i=sg, i' = sp {s = 0, 1, 2, ...);

für s = 0 erhalten wir die secularen Glieder in [FJ. Aus (4*) folgt, dass die beiden Gleichungen

^ = 0, und^=0

de ' de'

gleichzeitig bestehen, so dass wir statt (3) die drei Gleichungen

§12. Periodische Lösungen der dritten Gattung. 238

de dg dg'

zu untersuchen haben, und c beHebig gewählt werden kann. Wir setzen c' = 0 , was durch eine geeignete Wahl für die Epoche er- reicht werden kann. Die obigen Gleichungen lauten

O^^sq'äsinisqc -\-jg—jg'),

0 = 2 J 5t sin (^ ^ c 4- j^ -//) , 0 = 2/^ sin [s qc+jg -j'g') , und sind befriedigt, wenn wir setzen

^ = 0^ oder 180 ^

g' = 0"^ oder 180«,

(4'

c = r^" (r = 0, 1, 2, ..., 2q-l),

wo indessen die Möglichkeit nicht ausgeschlossen ist, dass auch andere Lösungen dieser Gleichungen vorhanden sein können. Ich bemerke, dass man, statt c = 0 zu wählen, auch c = 0 setzen könnte und statt der dritten Gleichung (4**) dann die Gleichung

c' = r.l^ (r = 0, 1, 2, ..., 2p-l)

erhalten würde.

Es erübrigt die Gleichungen (3*) zu betrachten. Es empfiehlt sich die Störungsfunction durch die gewöhnlichen KEPLEß'scheu Elemente auszudrücken, da ihre Form in diesen Elementen wohl- bekannt ist. Setzen wir also (indem von den Winkelelementen, die keine Veränderungen erleiden, abgesehen wird)

(5) R{Z, L', e, e, i, i') = F[L, L, G, G', ü, H') = F{Z, X\ F, F),

so hat man nach V § 10
	dF dF dH dH-

234

Periodische Lösungen.

und also ist

_dFi_^f_ BF _ dF

8 0 ar' do' ~ er

so dass die zu betrachtenden Gleichungen die folgenden sind

d[F] _ d[F] _

da ~ do' ~

Zwischen G, H und e, i bestehen die Kelationen

oder

(6)

G = L]/\-e^, H=Gco&i

= —l7—^ sm^=L,

AVerden die Ausdrücke (6) für e, e . i, i' in R eingesetzt, so geht diese Function in F über. Es ist also

BF BR Be . BR Bsmi

+

Da

(7)

B G Be BG ' Bsmi B G

BF ^ B_R^ B_e^ BR Bsmi^

BG' Be' BO''^ B sin i' B G'

Be

VT

B G

B sin i _ BG ~ LYY

Le cos'* i

ist, so lauten also die Bedingungsgleichungen:

0 = — V^-^' g[Jg] j cos^ i BJR]

(8)

Le B e L ]/! — e* sin i ö sin *

coa^i' B[R]

0_ y^-e" B[R] ^

L' e' B e' L'Vl — e'^ain i' Bsmi

§12. Periodische Lösungen der dritten Gattung. 235

Im neunten Paragraphen wurde bewiesen, dass, wenn die un- veränderliche Ebene als ZT-Ebene benutzt wird, die Neigungen i und i' immer in der Kombination i + V auftreten, und zwar indem B nach Potenzen von sin^ ^(z + T) = sin^i/ entwickelt werden kann. Es ist also

dR _ dji^ _ _eÄ_ ('^) di~di'~dJ'

oder

. dR ., dR d R

cos l ,, ■ ■ = cos l -^r-. 77 = -^-y ,

0 sin* 0 sim oJ

so dass die Gleichungen (8) auch in der Form

(10)

l-e^ d[R] , , ■ d[R]

0 = ~ + COtg l -^ ;

e de ° ÖJ

1 - e'2 ö [Ä] , , ., d [R]

0 = i ^~ + cotg i ~^-f-

e' d e' ' ^ oJ

geschrieben werden können.

Wird — ~-Y~ zwischen diesen Gleichungen eliminirt, so erhält man o J

welche Gleichung eine der Gleichungen (10) ersetzen kann.

Die Neigungen i und i' in Bezug auf die unveränderliche Ebene sind nach V § 9 (14*) durch die Relation

(1 1) G sin i = G' sin i'

verbunden. Man findet hieraus, dass (10*) für 2 = 2' = 0 in die Gleichung (16) des vorigen Paragraphen übergeht. Wir können in der That (10*) in der Form

yr^^' B{R-\ _ 1/r^ d[R] , ,^ _ 0 Le de U e' de'

schreiben, wo 0 für l = T = 0 verschioindet

236

Periodische Lösungen.

Für die Discussion der Formel (10) ist es nothwendig, die Form von [i?], für welche wir hier die Bezeichnung S anwenden wollen, näher in Betracht zu ziehen. Erstens bemerken wir, dass S als eine Function von / erscheint, die nach den geraden Potenzen dieser Grösse entwickelt werden kann. Da weiter nach (11)

G .

so ist

(12)

Glieder höherer Ordnung in

— = 1 + -— -\- Glieder, die mit J verschwinden

4 = 1+1 +

« Cr

» j>

Sehen wir vorläufig vom Werthe e = e' = 0 ab, so können wir statt (10) schreiben

(13)

dS de

dS de'

e ^ . dS

rry.cotgz^

e' . ., d S

S besteht aus zwei Theilen, S^ und S^, von denen S^ gleich dem gewöhnlichen secularen Theil der Störungsfunction ist, wogegen S^ diejenigen Gheder in der Störungsfunction umfasst, welche in Folge der Commensurabilität der mittleren Bewegungen secular werden. Der niedrigste Grad der Glieder in ^2 ist gleich \ p — g \ ■ In Bezug auf die Function S^ ist zu bemerken, dass sie unverändert bleibt, wenn e und e' gegen — e und — e' vertauscht werden.

Ist \ p — q \ > 2 , so ist S^ wenigstens vom Grade drei, und die Entwickelung von S hat die Form (wo ii — tc' = 0 nommen worden ist)

S:=l£^[e^^ + e'^-J^-lB^^ee' + ^£,,,

J^

wo s 4- ä' + r > 2 ist, und r immer eine gerade Zahl ist.

§12. Periodische Lösimgen der dritten Gattung. 237

Die Glieder niedrigsten Grades in der rechten Seite von (13) sind, mit Rücksicht auf (12),

und

iS,{l + ^]e

-iA|l + |->-

und werden diese in die Hnke Seite von (13) überführt und mit den Gliedern ersten Grades in - Gleichungen von der Form

Gliedern ersten Grades in -^ — und -r— ;- vereinisrt , so entstehen

de de ^

(14)

i^2^' = ^l.

-\B,e + iB,i2 + ^]e'=P„

wo P^ und P^ Potenzreihen in e, e und / bezeichnen, die keine Glieder von niedrigerem Grade als dem zweiten enthalten.

Wir haben hier zwei Fälle zu unterscheiden. Ist \'p — q\ eine gerade Zahl, so ist S^, wie S^ immer ist, eine gerade Function in

e und e. Alle Glieder in ^^ und -^r-r müssen dann e oder e

de de

als Factor enthalten, so dass die Potenzreihen P^ und P^ für e = e' = 0 verschwinden.

Ist dagegen \p — q \ eine ungerade Zahl, etwa gleich 2Ä + 1, so kann 6' ein Glied von der Form

B,er^^

enthalten, und folglich wird in P^ das Glied

vorkommen. Die genäherten Werthe von e und e werden dann durch die Formeln

238 Periodische Lösungen.

Bj2 + ^]e-B,e'=-4£,J^'

-B^e + BJ2^^-]e'= 0

bestimmt, welche Gleichungen immer eine Lösung haben, da die Determinante

A(2+|). -B,

-S,_ , 5,(2 + ^

immer von Null verschieden ist.

Aus den Gleichungen (14) erhält man in diesem Falle e und e als Potenzreihen, die nach positiven Potenzen von / fortschreiten, welche Reihen für / = 0 verschwinden.

Aehnliches gilt, wenn in S ein Glied von der Form

vorkommt.

Jedem JJ^erth von J entsprechen in diesen Fällen bestimmte Werthe von e und e , die mit J verschwinden.

Ist \p — q\ eine gerade Zahl, so kann man aber keine solchen Lösungen der Gleichungen (14) finden. Wie schon hervorgehoben worden ist, verschwinden dann P^ und P^ für e = e' = 0, und folg- lich haben die Gleichungen (14) die Lösung

(15) e = e =0.

Man könnte meinen, dass diese Lösung auch einer periodischen Lösung der dritten Gattung des Problems der drei Körper ent- spricht, und PomCAEfi giebt in seinen „Möthodes nouvelles" sogar keine andere Lösung in Bezug auf die periodischen Bahnen der dritten Gattung an. Der grosse Mathematiker hat sich indessen, scheint es mir, hier eines Fehlschlusses schuldig gemacht. Es existiren in der That keine periodischen Bahnen der dritten Gattung, die, für ^u. = 0, kreisförmig sind.

§12. Periodische Lösungen der dritten Gattung. 239

Die Bedingungen für das Auftreten periodischer Lösungen sind durch die Gleichungen (3) und (3*) gegeben. Aus den letzteren wurden die Gleichungen (10) abgeleitet, und statt deren können die Gleichungen (13) benutzt werden, wenn nämlich e und e nicht gleich Null sind.

Anders ausgedrückt stellt sich die vSache so, dass die perio- dischen Lösungen für solche Werthe der Elemente vorkommen, für welche S ein Maximum oder ein Minimum wird. Man darf aber hierbei die Elemente nicht in beliebiger Weise wählen. Wird die Function S als Function von e und e aufgefasst, so ist sie zwar, wenn 1^ — 5^1 eine gerade Zahl ist, für e = e' = 0 ein Minimum (= 0). Wenn sie aber als Function von F und F' betrachtet wird — wie es nach den Differentialgleichungen geschehen soll — , so hat sie für diese Werthe von e und e weder ein Maximum noch ein Minimum.

Die Behandlung der Gleichungen (14), wenn \ p — q \ eine gerade Zahl ist, könnte etwa so geschehen, dass man zuerst aus jeder der Gleichungen e als Potenzreihe von e und / darstellt. Diese Reihen müssen für e' = 0 verschwinden, so dass man aus (14) die beiden Reihen

e = e P^{e', /),

e = e P^ [e, J)

erhält. Man würde dann noch zur Betrachtung der Gleichung

(15*) P,[e, J) = P,{e', J)

geführt werden.

Diese Reihen verschwinden aber nicht für e = J = 0 und hieraus folgt, dass (15*) nur für grosse Werthe von e oder / be- friedigt werden kann.

Ob in diesem Falle e und e nach Potenzen von / entwickelt werden können, muss durch eine besondere Untersuchung dargethan werden; diese Reihen verschwinden indessen nicht — wie es für einen ungeraden Werth von \ p ■— q \ der Fall war — für e/ = 0 .

Der Fall \ P — q \ =2 wird in wesentlich ähnlicher Weise behandelt wie andere Fälle, für welche \ p — q \ eine gerade Zahl ist.

240 Periodische Lösungen.

Was endlich den Fall \ p — q \ =1 betrifft, so ist dann in S^ ein Glied ersten Grades vorhanden, das also entweder mit e oder mit e multiplicirt ist. In beiden Fällen nehmen die Gleichungen (13) die Form

( ^o + ^5(^. ^'. J) = ^,

\ P,[e,e,J) = 0,

an , wo Pß und Pg Potenzreihen sind , die für e? = e' = «/ = 0 ver- schwinden. Die zweite Reihe giebt

« = p/y, j),

welcher Ausdruck, in die erste Gleichung (16) eingesetzt, eine Ref- lation zwischen e und J giebt. Die weitere Untersuchung dieser Gleichung muss wahrscheinlich unter Anwendung mechanischer Quadratur ausgeführt werden.

Aus den Gleichungen (1) und (3*) folgt, dass bei den perio- dischen Lösungen der dritten Gattung die Grössen 71 — Q und 7r' — i3' unveränderlich sind.

§ 13. Andere Gattungen periodischer Lösungen.

Die von Poincae£ eingeführte Eintheilung der periodischen Lösungen füllt nicht das ganze Feld solcher Bahnen aus. Sein Ausgangspunkt ist die periodischen Bahnen für fx = 0 aufzusuchen und dann die Bedingungen zu bestimmen, unter denen periodische Bahnen auch für kleine Werthe von /x vorkommen können. Erstens werden hierdurch natürlich alle solchen periodischen Bahnen aus- geschlossen, für welche fi einen so grossen Werth hat, dass die Coordinaten der Körper nicht nach Potenzen von fi entwickelt werden können. Man kann auch nicht dessen sicher sein, dass fi deswegen einen sehr grossen Werth haben muss. Wir wissen nämlich, dass fx als Factor in den Ausdrücken für die secularen Aenderungen der Perihelien und der Knoten der periodischen Bahnen vorkommt, und die Entwickelungen der Coordinaten (oder der

§ 13. Andere Gattungen periodischer Lösungen. 241

Elemente) nach Potenzen von n geschieht also gleichzeitig nach Potenzen von t Man kann mithin nicht sicher sein durch Ent- wickelungen nach Potenzen von ^ solche Bahnen zu erreichen, für welche die Periode T eine gewisse Grösse überschreitet.

Die KEPLER'schen Ellipsen sind durch ihre Einfachheit sehr geeignet, den Ausgangspunkt für die Aufsuchung periodischer Bahn- formen zu bilden. Ihre Hauptfehler in dieser Beziehung, wie für die Störungstheorie, dürften in der Unbeweglichkeit der Perihelien und der Knoten der KEPLER'schen Ellipsen zu suchen sein. Man kann aber beliebige intermediäre Bahnen als Ausgangspunkt be- nutzen, und es liegt nahe an der Hand, zu diesem Zweck von den secularen Werthen der Elemente auszugehen. Man würde hierdurch periodische Bahnen langer Periode berechnen können, und auch für gewisse Bahnen kurzer Periode ist diese Behandlungsweise zu empfehlen.

Auf einen anderen Umstand möchten wir hier aufmerksam machen. Es wurde im Vorhergehenden angenommen, dass die Periode T für /* = 0 und jti =t= ^ dieselbe ist. Es liegt nahe, sich die Frage zu stellen, ob man etwas dadurch erreichen könnte, dass man die Perioden in beiden Fällen verschieden annähme um eine Grrösse, die mit ^ verschwindet. Betrachten wir die Sache näher.

Es seien die Differentialgleichungen

i = 1

ist, und F^ sei nur von x^, x^, . . ., .r, abhängig.

Dann ist für ^ = 0 (1*) ^i = «i, i/i^n.t + c.,

wo

Wir nehmen an, dass die Lösung (1*) periodisch ist mit der Periode T.

CiiAELiER, Mechanik des Himmels, n. 16

m t

BF

dy. _ dt "

dF

dx,

vorgelegt, wo

242

Periodische Lösungen.

Zur Aufsuchung der periodischen Lösungen für ;a 4= 0 nehmen wir an, dass die Anfangswerthe von x^ und 3/.

^i = «i + ßiy ^i = '^i^ + <^i + Vi

sind. Die hierdurch hestimmte Bewegung soll aber nicht mehr die Periode T, sondern die Periode

besitzen.

Setzen wir nun

(2)

[l+k)T

t=[\ +k)x.

und führen r als unabhängige Veränderliche in (1) ein, so dass nunmehr

4^ = (1+^)1^

dl ^ ^ ' dXi

ist, so sind k, ß^ und y^ so zu bestimmen, dass die Bewegung für u 4= 0 periodisch ist. Setzt mau

^i = <^i + ßi + l, (3) \ (1 = 1, 2, ..., 5).

Vi^^i'^ + ^i + /; + '/j »

SO bekommt man für |. und i]^ die Differentialgleichungen

BF

(l+Ä)^-n. (/=1, 2, ..., s).

Die Functionen |. und r/. sind nach der Voraussetzung perio- dische Functionen von r mit der Periode T. Setzen wir

(4)

9i = -T

•c rdF,

§ 13. Andere Gattungen periodischer Lösungen.

243

so sind also die Bedingungen für eine periodische Lösung, dass (5) cf^ = 1/'. = 0 [i=\, 2, . . ., s).

Zur Erfüllung dieser 2 s-Gleichungen hat man über die 2s-\-l Grössen ß., y. (e= 1, 2, . . ., s) und ä zu verfügen. Man könnte dann meinen, dass man über eine dieser Grössen beliebig verfügen kann — z. B. A = 0 setzen — und dass man die übrigen 2^ Grössen immer so bestimmen kann, dass man alle in der Umgebung von |[i = 0 vorhandenen periodischen Lösungen wiederfindet. Anders ausgedrückt giebt es periodische Lösungen, die für A n^ 0 nicht mit den für ä = 0 erhaltenen Lösungen übereinstimmen, die aber nichtsdestoweniger für jU = 0 mit den letzteren zusammenfallen?

PoLNCAEfi hat (M6th. nouv. I Nr. 38) bewiesen, dass dies der Fall sein kann.

Betrachten wir in der That die Gleichungen

0 («■= 1, 2;

Nach (4) können wir dafür schreiben

[^\ 0 -h^^' I ^ ^"'^^ 8 +^ fi-^dT4-

•' 0

[i=l, 2, ..., s),

wo die vernachlässigten Glieder mit /i verschwinden. Betrachten wir die Matrix

ÖFo	d-F,	d'-F,	e^F,
da.	dc,:^'	d a^d a., '	' ' doida.
BF,	d'F,	d'F,	d^F,
da.	ÖOgÖßi	da,- ' •	■ ' da^da.
BF,	d' F,	d'F,	d'F,
da.	da.da.	' da.d a, ' •	"' öa/

16"

244 Periodische Lösungen.

Aus dieser Matrix können s + 1 Determinanten A^, A^, . . ., A^ gebildet werden, indem man aus der Matrix die 1*% 2*% ..., [s + 1)*^ Colonne ausschliesst.

Ist die Determinante J^ = 0, während irgend eine (oder mehrere) der Determinanten J^, A^, . . ., A^ nicht verschwindet, so ist die Lösung A =j= 0 im Allgemeinen von der für ä = 0 erhaltenen verschieden, indem nämlich dann für k = Q keine einfache Lösung der Grleichungen (6) existirt.

ScHWAEzscHiLD hat (A. N. 3506, 1898) auf einen solchen Fall aufmerksam gemacht, der sich auf die periodischen Lösungen der zweiten Gattung im asteroidischen Drei-Körperproblem bezieht.

Wenn nämlich der „störende" Planet sich in einem Kreise um die Sonne bewegt, und der Asteroid, mit der Masse Null, für fx = 0 in einer beliebigen Ellipse, so ist die Bewegung, für // = 0, perio- disch, so oft die mittleren Bewegungen w, des Asteroiden, und n, des störenden Körpers, commensurabel sind.

Wie ist die periodische Bewegung für jw =j= 0 beschaffen? Ist die Periode T in der „gestörten" und in der „ungestörten" Bewegung dieselbe, so muss die symmetrische Conjunction oder Opposition am Ende und im Anfang der Periode in derselben Länge stattfinden, da die Periode des störenden Körpers in beiden Fällen dieselbe ist. Bas Ferihel des Asteroiden muss stillstehen, wie wir in § 11 gefunden haben und zwar für beliebige Werthe der Excentricität des störenden Planeten. Eine solche periodische Bahn kann nur für einen be- stimmten Werth der Excentricität auftreten, der aus der Formel (25) des betreffenden Paragraphen erhalten wird.

Hat die Excentricität einen anderen Werth, so wird das Perihel nach der Zeit T sich vorwärts oder rückwärts bewegt haben — aus Vn § 11 wissen wir, dass die mittlere Bewegung des Perihels für kleine Werthe von e immer positiv ist — und folglich werden der Planet und der Asteroid sich nach der Zeit T -{■ AT wieder in symmetrischer Conjunction oder Opposition befinden, wenn dies um die Zeit ^ = 0 der Fall ist. Durch eine geeignete Be- stimmung der Elemente für ^ = 0 würde man also eine periodische Lösung mit der Periode T -{- AT erhalten können, und diese Lösung

§13. Ändere Gattungen periodischer Lösungen. 245

hat nichts mit der früher erhaltenen periodischen Lösung von der Periode T gemeinsam.

Analytisch stellt sich die Sache folgendermassen.

Zwei Körper — der „Planet" und die „Sonne" — mit den Massen fi und 1 bewegen sich in kreisförmigen Bahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Ein dritter Körper — der Asteroid — mit verschwindender Masse wird von den zwei anderen Körpern attrahirt. Bezieht man die Bewegung des Asteroiden auf die Sonne als Anfangspunkt der Coordinaten, so hat man nach V § 2

(7) liL = iÄ, i^==_M f^•-l 2 31

wo

dq, dt

dH

- dp,'

dpi _ BH dt dqi

dqi

ist, und q^, q^, q^ die rechtwinkligen Coordinaten des Asteroiden bezeichnen. Hier ist

(8) //= \-[p,'+p^ + p,') - i - V + ^(^1 ^^ + 9.q, + q,q,),

wo A den Abstand zwischen dem Asteroiden und dem Planeten be- zeichnet, r den Radius Vector, q^, q^, q^ die Coordinaten des Planeten bezeichnen. Der Abstand Sonne — Planet ist gleich der Einheit gewählt und die Attractionsconstante ist gleich Eins.

Fällt die XT- Ebene mit der Bahnebene des Planeten zu- sammen, und wird die Länge des Planeten für t = 0 gleich Null angenommen, so ist

q^ = cos n i , «/s = sin 7i t , q^ = 0 , wo

n =]/l +fx, und endlich ist

(8*) J2 ^ 1 + 7-2 — 2 [q^ cos n t + q^ sin n t) .

Wird

H' = \:[P,'+P^ +?,")-]:

246

Periodische Lösungen.

gesetzt, und werden die Differentialgleichungen dqi _ BH' dpi __ dH

dt

d pi

dt

dq,

(^=l, 2, 3)

nach der Methode von Jacobi integrirt, so erhält man, nach Ein- führung der Elemente von Delaunat, die Differentialgleichungen

9)

wo, durch die osculirenden elliptischen Elemente ausgedrückt, L =^a, l = mittlere Anomalie,

dL dF	dl	dF
dt ~ dl '	dt	~ dL
dO dF dt ~ dg '	dg dt	dF dO
dH dF dt dh '	dh dt	dF ~ dH

G =ya(l-e2) H = Gcosi,

Hier ist (9*) F:

ist.

1

2X2

h = n

fji {q^ cos n t -{- q^ sin n t) .

In F kommt also ausser den Elementen auch die Zeit vor. Man kann aber durch Einführung anderer Elemente die Zeit eliminiren.

Aus (8*) und (9*) ist nämlich ersichtlich, dass die Zeit nur in der Combination

q^ cos n t -{■ q^ sin n t

vorkommt. Nach IV § 9 (23) ist aber

q^=Al-\-B,],

q, = AJ-i-£,7].

§13. Ändere Gattungen periodischer Lösungen. 2 AI

Die Bedeutung der Coefficienten Ä, A^, B, B^ wird im citirten Paragraphen angegeben, und es ist

(10)

^ — a (cos lü — e), f] = a ]/l — e^ sin iv ,

wo lü die excentrische Anomalie bedeutet. Die Grössen | und i] lassen sich also durch die linearen elliptischen Elemente und durch l ausdrücken.

Zieht man die Werthe der Coefficienten A. und B. in Be- tracht, so findet man indessen, dass

(1 1) g^ cos n t + g^ sin n t = Ä ^ + B' ij ,

wo

(A' = cos^ cos [h — n' t) — sin g sin [h — n' t) cos i, B' = — sin g cos ih — n t) — cos g sin {k — n t) cos i ist.

Hieraus folgt, dass in F die Zeit immer in der Combination ]i — n t vorkommt. Wird für h — n t eine neue Veränderliche ein- geführt, und wird gleichzeitig n H zu der charakteristischen Func- tion F hinzuaddirt, so bekommt man ein canonisches System von Diiferentialgleichungen, in denen die Zeit nicht explicite vorkommt. Wir setzen

Tj = y«, ^1 = mittlere Anomalie,

.Tg = ]/a(l —e^)cosi, 2/^ = Q — n t ,

■^' ^^ 2^ + '' -''3 + J" ~ ^' ^^1 ^°^ n't+g,^ sin ,t' t) ,

wo der Ausdruck (11) für g^co^n t -\- g^^mn t einzuführen ist, und

J ' = cos ^2 cos ;/3 - sin y^ sin y^ ^ ,

B' = — sin y^ cos y^ — cos y.^ sin ^g — ^

248

Periodische Lösungen.

ist. Wir haben nun
dx^ _dF' ^^^ ^ dt dy,'	dy, dF' dt dxi	[i=\,2,%
Aus der Form von	F' finden wir

(11***)

F^ = — — [q-^ COS n t -\- g^ sin ?i t)

ist, und weiter findet man, dass die Entwickelung von F^ die folgende Form hat

^1 = 2^cos(«>, + i'y,^ +73/3)-

Geschieht die Bewegung in einer Ebene (in der durch die Planetenbahn gelegenen Ebene), so bekommt man für Ä und B' die Ausdrücke

A' = cos(;r — n t),

und man setzt

sin {71 — n t) , 3/1 =^

in welchem Falle die Differentialgleichungen lauten

(12) und ist

dx,

dt

dF' = Ty-'

dy, dF' dt ~ dxy

dx,

dt

BF' ~ dy,'

dy^ dF' dt dx^

F - '

0 "" 2x,

+ nx,^

§ 13. Andere Gattungen periodischer Lösungen.

249

Wir wollen die periodischen Lösungen der zweiten Gattung dieser Diöerentialgleichungen aufsuchen.

Wird die mittlere Bewegung des Asteroiden mit 71 bezeichnet, so dass

(13)

d x^ Xi

ist, so ist die erste Bedingung für eine periodische Lösung, dass n und n commensurabel sind:

(14)

n _ p

n' q

WO p und q relativ prim sind.

In diesem Falle ist die Bewegung für ,u = 0 periodisch. Setzt man

^'i = «1 + /^i + li ? Vi^ n t + c + y^ + ij^ , .^2 = «2 + /?2 + I2 , ^J2=-nt-\-g^y^+ 7]^ ; r

wo in der Summe i und i' alle ganzen Zahlenwerthe annehmen, für welche

(15)

ist, also (15*)

i]) — i' q = 0

00 [^] = 2 ^^3, SP coas{qc- pg),

so erhalten wir aus (4) und (6) die Bedingungen

(16)

0 =

d[F\ de

dg

= — q^s A,q^ sp ^va.s{qc — p (j) ,

— p^s //,3, SP sin s[qc — j) g) ,

d ic, d Xi

ö'^o

d[F,]

0 = ^^ + ^,^/?,+^^/^, + ^.^^^

d x^ dx^d Xi' ^ dxj^ ' ^ ^ d X2

250 Periodische Lösungen.

Da wir ohne Einschränkung g = 0 wählen können, so sind die zwei ersten dieser Gleichungen für

(17) c = r^^ (r = 0, 1, 2, ...,2q- 1)

erfüllt. Was die zwei letzteren Gleichungen (16) betrifft, so sieht man, dass die HESSE'sche Determinante von F^^ in Bezug auf x^ und x^ gleich Null ist, wogegen die Gleichungen einfache Lösungen in k und ß^ oder k und ß^ geben. Man erhält also hier ver- schiedene Lösungen, je nachdem ä = 0 oder A > 0 angenommen wird. Für A = 0 erhält man eine gewöhnliche periodische Lösung der zweiten Gattung, mit stillstehendem Perihel, und die Excen- tricität wird durch die Gleichung

(18) o=^ = -^i^«I^.

^ ' 8 x^ x-i e 0 e

bestimmt. Diese Lösung findet also für bestimmte Werthe der Excentricität statt. Diese Gleichung ist mit der Gleichung § 11 (25) identisch.

Nimmt man k von Null verschieden, so kann eine von den Grössen ß^ und ß^ gleich Null genommen werden. Es zeigt sich aber, dass der Coefficient von ß^ verschwindet, so dass man nur die Wahl ß^ = 0 hat, wenn man eine einfache Lösung erhalten will, und man erhält zur Bestimmung von k und ß^, da

BF, dx.	1 BFo -xy ex, =^'
dx,^	3 d^F, Q B'F, a^i* 8 Xidx, ^ 8 xj
i, die Gleichungen
0=-	■i. + ^^+''^? + ->
0 =	.. +.r + -.
jlche geben

§13. Ändere Gattungen periodischer Lösungen. 251

(19)

k =-JL^Ml

ß^^^k-^^

Wir können auch schreiben

(19-) t = i.i^n^.

^ ' Mae öe

WO wir n = 1 genommen haben. Die Periode hat die Länge

(1 +k)T,

und k bezeichnet somit die Bewegung des Perihels.^ Der Asteroid hat während der Periode p Umläufe in der (beweglichen) ElHpse gemacht, der Planet ist ^-Mal in seinem Kreise herumgegangen.

Die Aufsuchung der periodischen Lösungen, welche einer ge- gebenen Commensurabilität der mittleren Bewegungen entsprechen, geschieht in dieser Weise bequem und rasch, nachdem die Ent- wickelung der Störungsfunction gegeben ist. Da ß^ — 0 ist, so können solche Lösungen bei allen Werthen der Excentricitäten vor- kommen.

Wird die Bewegung eines masselosen Körpers in drei Dimen- sionen betrachtet, so kann man aus den Gleichungen (11**) ähnhche Schlüsse ziehen. Wir werden dann zu einer periodischen Bahn mit beweglichen Knoten geführt. Zwischen der Excentricität und der Neigung der Bahn des Asteroiden muss eine Relation bestehen, und der Abstand des Perihels vom Knoten hält sich unverändert.

Die Bedeutung der periodischen Lösungen für die Astronomie muss als eine sehr grosse geschätzt werden. In theoretischer Hin- sicht ist es, wie PoiNCARi: bemerkt, mit Hilfe der periodischen Bahnen zuerst gelungen, in ein Feld einzudringen, das vorher der Analysis unzugänglich war — die Natur der Integrale des Drei-

Man vergleiche die Gleichung (19) mit der Gleichuug VII § 1 (6).

252 Periodische Lösungen.

Körperproblems. Die grundlegenden Arbeiten PoiNCAiii:'s werden hier eine unschätzbare Quelle für die Mathematiker und die Astro- nomen bilden. Für die praktische Astronomie werden die perio- dischen Lösungen bald grosse Dienste leisten. Es giebt zwar im Planetensystem, so viel bis jetzt bekannt ist, einen einzigen Fall, wo man wirklich vor einer periodischen Lösung des Drei-Körper- problems (in diesem Falle des Fzer-Körperproblems) steht, nämlich bei den drei inneren Jupiterstrabanten. Die Bedeutung der perio- dischen Lösungen für die Astronomie liegt aber nicht hauptsächlich in der Möglichkeit, solche Fälle in der Natur wiederzufinden — obgleich jedes Beispiel dieser Art vom grössten Interesse ist — , sondern vielmehr in der Thatsache, dass man mit ihrer Hilfe ver- schiedene besonders schwierige Probleme des Himmels mit Erfolg angreifen kann. In seiner grundlegenden Arbeit über das Mond- problem geht Hill von einer periodischen Lösung der ersten Gat- tung aus, und seine diesbezüglichen numerischen Untersuchungen sind nicht als blosse Rechenübungen zu betrachten, sondern als eine wahre Grundlegung einer genauen Berechnung der Mondbahn. Derselbe Ausgangspunkt kann mit Vortheil auf die Theorie der kleinen Planeten Anwendung finden. Die periodischen Lösungen derselben (der ersten) Gattung werden ohne Zweifel eine wichtige Rolle für die Theorie der Nebenplaneten spielen, wie dies aus den Arbeiten von Airt, Tisseeand, Backlund u. A. über die Saturn- satelliten hervorgeht. Die Libratiousfälle unter den kleinen Planeten stehen in einem intimen Zusammenhang mit den periodischen Lösungen der zweiten Gattung^ und die wichtigen Gruppenstörungen von BoHLiN sind im Grunde nichts anderes als Anwendungen derselben Lösungen, obgleich sein Ausgangspunkt hiervon etwas abweicht.

Man hat also allen Grund anzunehmen, dass die periodischen Lösungen des Drei -Körperproblems eine bedeutende Rolle in der Astronomie zu spielen bestimmt sind.

^ Man vergleiche ,,Meddelan(ien frän Lunds Observatorium Nr. 12'' und die Untersuchungen im siebenten Abschnitt über die secularen Störungen der kleinen Planeten.

ZEHNTER ABSCHNITT

CONVERGENZ DER REIHEN IN DER MECHANIK DES HIMMELS

§ I. Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper.

Die Frage nach der Convergenz der Reihen in der Astronomie hat ihre grosse Bedeutung nicht nur in mathematischer Hinsicht, sondern vor allen Dingen wegen der wichtigen praktischen Schluss- folgerungen, die nur nach einer sorgfältigen Untersuchung der Con- vergenz der benutzten Eeihen gezogen werden können. Folgende Fragen muss man dabei vor Augen haben. Erstens, in welchem Bereich der angewandten Veränderlichen sind die Reihen convergent? Zweitens, wie gross ist der zu befürchtende Fehler, wenn man die Entwickelungen bei einem bestimmten Glied abbricht? Endlich lassen sich unter Umständen aus den Convergenzuntersuchungen Schlüsse ziehen in Bezug auf die Aufsuchung derjenigen Ent- wickelungsmethoden, die für die numerischen Rechnungen die grössten Vortheile gewähren.

Die zweite und dritte Kategorie dieser Fragen ist bis jetzt wenig untersucht worden, obgleich wichtige Ansätze hier und da nicht fehlen. Ich erinnere z, B. an die Untersuchungen über die EuLEE'sche Reihe und ihre Bedeutung für die sogenannte mecha- nische Quadratur (vergl. den achten Abschnitt). Es fehlen auch nicht ähnliche Untersuchungen in der Störungstheorie. Indessen liegt hier ein grosses grösstentheils unangebautes Feld vor, wo man mit Hilfe der vorliegenden Convergenzuntersuchungen für die Astro- nomie höchst wichtige Schlussfolgerungen noch zu erwarten hat.

In Bezug auf die erste Frage, die ja auch für die anderen Fragen grundlegend ist, sind indessen die Untersuchungen weiter getrieben worden, obgleich auch hier verschiedene Probleme noch auf ihre Lösung warten. Das wichtigste Ergebniss dieser Unter- suchungen ist, dass es noch nicht gelungen ist Ausdrücke für die Coordinaten im Probleme der drei Körper zu finden, die für eine

256 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

unbeschränkte Zeit ihre Grültigkeit behalten, oder wenigstens, dass es noch nicht bewiesen worden ist, dass derartige Ausdrücke existireu. Die überaus wichtige Frage von den Grenzwerthen der Coordinaten im Drei-Körperproblem — eine Frage, die man kurz als die Stabilitätsfrage bezeichnet — ist also immer noch als eine offene zu betrachten, obgleich man wohl kaum als ein allzu phan- tastischer Wahrsager betrachtet werden müsste, wenn man die Ver- muthung ausdrückte, dass ihre Lösung nicht viele Jahrzehnte auf sich warten lässt.

Wir haben in diesem Paragraphen die Entwickelungen der relativen Coordinaten im Problem der zwei Körper zu untersuchen. Im § 9 des vierten Abschnittes wurde gezeigt, dass die Coordinaten im Zwei-Körperproblem, wenn es sich um die elliptische Bewegung handelt, periodische Functionen der mittleren Anomalie sind, die sich als FouEiER'sche Eeihen der folgenden Form darstellen lassen:

(1) '^A^iiO^il + ^l - e'-^B^wail,

■wo l = n{t — tjt) ist.

Es wurde in demselben Paragraphen bewiesen, dass diese Reihen für alle reellen Werthe von / (also auch für alle reellen Werthe der Zeit) und für alle endlichen Werthe der Excentricität — e — convergiren. Es genügt solche Werthe von e zu betrachten, deren absoluter Betrag kleiner als die Einheit ist.

Die Coefficienten A. und B. sind holomorphe Functionen von e, die für einen beliebigen endlichen Werth e^, für e, nach positiven Potenzen von e — e^ entwickelt werden können.

Die Functionen cos il und sinil sind andererseits offenbar holomorphe Functionen von t, und jedes Glied in den obigen Summen lässt sich also, für beliebige endliche Werthe von e^ und t^^, nach positiven Potenzen von e — e^ und t — t^ entwickeln, und zwar für beliebig hohe Werthe von e — e^ und t — t^.

Hieraus folgt aber nicht, dass die Summen (1), und somit die Coordinaten, als Reihen nach Potenzen von e — e^ und t — t^ ent- wickelt werden können, die für beliebig hohe Werthe von e — e^ und t—t^ convergiren. Um diesen Schluss zu ziehen, ist es nothwendig,

§ 1. Gonvergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. 257

dass die Reihen (1) gewisse Bedingungen erfüllen, die von Weeee- STRASS in einer berühmten Abhandlung (,,Zur Function enlehre" 1880) auseinandergesetzt worden sind, und welche Bedingungen hier nicht erfüllt sind.

Bei vielen Gelegenheiten muss man indessen Entwickelungen der Coordinaten nach Potenzen der Excentricitäten oder der Zeit anwenden, und es entsteht somit die Aufgabe, den Convergenz- bereich dieser Entwickelungen zu bestimmen.

Die Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen der Excen- tricität, die wir in diesem Paragraphen untersuchen wollen, wurde zuerst von Laplace im Anhang zum fünften Bande seiner „M6ca- nique Celeste" (1825) untersucht. Seine Methode ist, ihrem Principe nach, einfach und direct, erfordert aber bei der Ausführung sehr lange und schwierige Auseinandersetzungen, Später hat Caucht und, nach seinem Vorgange, RoucHi; die Frage vom Gesichtspunkte der CAUCHT'schen Functionenlehre behandelt, und einen ähnlichen Ausgangspunkt haben in letzterer Zeit die meisten Arbeiten über dieses Problem gewählt. Ich möchte unter diesen die Unter- suchungen von Beiot und Bouquet in ihrer „Theorie des fonctions elliptiques" (Quartausgabe) besonders hervorheben.

Diese Untersuchungen beziehen sich auf die Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen von <?, also, nach der Terminologie von Weieesteass, auf die Entwickelung dieser Functionen in der Um- gebung der Stelle e = 0. Hieraus kann man indessen nicht direct den Convergenzbereich der Entwickelung der Functionen in der Umgebung einer beliebigen Stelle e = e^ bestimmen. Diese letztere Frage ist vom Verfasser untersucht worden (Meddelanden frän Lunds Observatorium Nr. 22) und ich gebe hier die Hauptzüge dieser Aus- einandersetzung wieder.

In § 9 des vierten Abschnittes haben wir für die relativen Coordinaten im Zwei-Körperproblem folgende Ausdrücke gefunden:

x = Ä l + B ri,

Charlier, Mechanik des Himmels. U. 17

258 Convergenx, der Reihen in der Mechanik des Himmels.

wo Ä^ und B. gewisse trigonometrische Functionen der Perihellänge, der Knotenlänge und der Neigung sind, und wo

^ = a (cos w — e), 7] = aVl — e^ sin w

ist. Hier bedeutet iv die excentrische Anomalie des Planeten. Die Coordinaten sind also holomorphe Functionen der excentrischen Anomalie.

Wenn man die Coordinaten als Functionen der Excentricität betrachtet, so ist der Convergenzbereich der Entwickelungen der Coordinaten nach Potenzen von e — e^ von der Lage der singulären Punkte dieser Functionen abhängig. Die obigen Ausdrücke zeigen aber, dass diese singulären Punkte theils e = 1 (welcher Punkt ein

Verzweigungspunkt der Function ]/l — e^ ist), theils die singulären Punkte der Function w — als Function von e betrachtet — sind.

Die Aufgabe wird somit auf die folgende reducirt: welchen Convergenzbereich hat die Entwickelung von w nach Potenzen von e — e^?

Der functionale Zusammenhang zwischen der excentrischen Anomahe und der Excentricität ist durch die KEPLEE'sche Gleichung gegeben.

Wird die Excentricität mit ^, die mittlere Anomalie mit /be- zeichnet, so lautet diese Gleichung

(1 ) V) — ^simc = l .

Indem man hier w als eine Function von ^ betrachtet, kann l als ein (constanter) Parameter angesehen werden, der einen beliebigen reellen Werth zwischen — CXD und +oo annehmen kann. Wir setzen

(2) ^ = 9[^)>

oder wenn man den Parameter / andeuten will

(2*) w = cp[^,l].

§ 1. Gonv&rgenz der Beihm im Problem der zwei Körper. 259

Es handelt sich um die Bestimmung der singulären Punkte der Function (p. Wenn die Lagen dieser Punkte bestimmt sind, so weiss man, dass die Entwickelung von w in der Umgebung der Stelle ^ = ^0 innerhalb eines Kreises convergent ist, dessen Mittel- punkt in ^Q liegt und dessen Peripherie durch den nächstliegenden singulären Punkt geht.

Die Function (p ist eine unendlich vieldeutige Function von ^, so dass zu einem gegebenen Werth von ^ eine unendliche Zahl von Werthen für w gehört. Man kann diese Werthe in folgender Weise finden.

Gesetzt (3) C=l + iv, w = x + ii/, x^ = i^ + i]^,

wo z = y — 1 ist, so erhält man aus (1), indem man die reellen und die imaginären Theile trennt, die beiden Gleichungen

(4)

;<2sina: = {x - /) | +y7;,

2

Wir nehmen zuerst an, dass die Excentricität einen reellen Werth hat, so dass j] = 0 ist.

Aus (4) ist ersichtlich, dass die Werthe

( ^ = 0,

(5)

[ , a: — Z = I sin ar

dann immer eine Lösung der Gleichungen (4) geben. Ist | < 1 , wie wir hier vorläufig annehmen, so ist die zweite Gleichung (5) für einen einzigen Werth von x erfüllt. Dies ist, wie gleich be- wiesen werden wird, der einzige reelle Werth von lo in diesem Falle.

Um die übrigen Werthe von w zu bestimmen, schreiben wir die Eelation (4) — wo noch immer *; = 0 gesetzt wird — in der Form :

17*

260

Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

(6)

e^ + e"

ey-e- 2y

X- l I sinx

1 ^cosa;

Die Werthe von x und y, die diesen Gleichungen genügen, können in graphischer Weise leicht erhalten werden. Wir be- trachten nämlich diese Gleichungen als die Gleichungen zweier Curven, die wir bez. mit [Ä) und [B) bezeichnen wollen. Die Schnittpunkte dieser Curven geben die gesuchten Werthe von x und y.

Die Curve {B) besteht aus einer unendlichen Schaar von Zweigen, die alle dadurch erhalten werden können, dass man einen beliebigen Zweig parallel der :r- Achse um die Länge 2k'ji{k = 0, +1, +2, ...)

(B) VaJ

'Aj

m m

Fig. 17.

verschiebt. Es genügt also hier einen einzigen Zweig zu unter- suchen, und da ausserdem beide Curven zur ;r- Achse symmetrisch sind, so genügt es, positive Werthe von y in Betracht zu ziehen.

§ 1. Gonvergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. 261 Die linke Seite der Gleichung für {£)

2y I cos X

wächst stetig mit y und hat also für y = 0 ihren Minimalwerth, der gleich der Einheit ist. Man findet dies am leichtesten, indem man für ev und e-v Potenzreihen einführt. Zu jedem Werth von X gehört also ein einziger Werth von y. Der Minimalwerth von y wird f ür a- = 0 erhalten und ist also aus der Gleichung

22/ I

bestimmt. Da wir hier | < 1 angenommen haben, schneidet die Curve [B] also niemals die x- Achse. Für x = ± ~ wird y = cc. Der hier betrachtete Curvenzweig nähert sich also asymptotisch den beiden durch x = + — definirten geraden Linien.

Was die Curve {Ä) betrifft, so ist ihre Discussion ähnhcher Art. Die linke Seite hat einen Minimalwerth gleich Eins für y = 0 und wächst mit wachsendem y stetig ins Unendliche. Die Curve besteht aus einer unendlichen Zahl von Zweigen, welche sich den zu der y- Achse parallelen Linien x = w;7r(w = 0, ±1, +2,...) nähern. Die Curve ist zur :r-Achse symmetrisch und die ver- schiedenen Zweige sind zwischen den beiden parallelen Geraden X = 2n7i und x = {2n -}- 1) :7r eingeschlossen. Es giebt ausserdem einen Curvenzweig zwischen x = 0 und x = ti . Dieser Zweig schneidet die x- Achse in demjenigen Punkte x^, der durch die Gleichung

(7) x^-^smx^ = l

bestimmt ist und nähert sich asymptotisch der Geraden x = n .

Die Curven haben für | = V2> ^ = Y ^^^ durch die beigefügte Fig. 17 angezeigten Verlauf.

262 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Die Werthe der Function cp{^) für diesen Werth der Excen- tricität und der mittleren Anomalie sind durch die Schnittpunkte zwischen den heiden Curvenschaaren gegeben. Ein Werth, x^, ist reell und wird aus (7) gefunden. Die .r-Coordinaten der übrigen

Werthe sind zwischen .r = 4w-|^ und x = (4n + 1) y gelegen für w = 1, 2, 3, . . ., und zwischen x = 4^— und x = {in — 1) y für n = 0, — 1, — 2, — 3, ..., und nähern sich mit wachsendem n den Werthen x = {4n-^l)^ für positive Werthe von n und den Werthen x = [in — 1) ^ für negative Werthe von n. Die y-Coordi- naten gehen mit wachsendem n ins Unendliche. Ich gebe unten die Gleichung einer Curve an, die durch sämmtliche Schnittpunkte der Curven [Ä] und {B) hindurchgeht.

Hat die Excentricität einen imaginären Werth, so ist die Be- rechnung der entsprechenden Werthe von tc etwas mühsamer. Sie lässt sich aber auch dann in elementarer Weise ausführen. Aus (4) leitet man in der That folgende Gleichungen ab:

(a) i x2 {^22/ + e-22, _ 2 cos 2 x] = [x - If + y^ ,

^^> "" ~ {ey +e-y? ^ {ey-e-yf

fci x' = [{x-D^ + yyf _ [y^-(x-l)rif ^ ' ain^x cos*»

oder wenn man in diesen Gleichungen die x- und die y-Coordinaten separirt:

(a) e^-y + e-^-y-^ = 2 cos 2x + ^^^^,

(b) 1- x"^ {e^y - e- 22/)2 = {x- If [x^ e^y + x^e-^y -2 (|2 - rj^)]

- 8 [X- 1)7/ ^7]

+ y'lx'e'^y + x'e-'-y + 2{l'-7j%

§ 1. Convergen» der Beihen im Problem der zwei Körper. 263

•^ ' sin'' 03 cos''a; '

sin* X cos^ a;

^ ^ [ sin'* X cos* a; J

Diese Gleichungen können sämmtlich auf die Form

f{^) = 9 iy)

gebracht werden, wo / [x] und g [y] bestimmte Functionen von x und y sind. Curven, deren Gleichungen von dieser Form sind, können indessen immer leicht gezeichnet werden.

Die Schnittpunkte zweier der Curven (a), (b) oder (c) bestimmen die Werthe von x und y. Die Gleichung (a) kann als die „Modul- gleichung" bezeichnet werden, da sie nur vom Modul, also nicht vom Werthe des imaginären und des reellen Theils der Excentricität abhängt. Die entsprechende Curve unterscheidet sich von den übrigen darin, dass sie einen continuirlichen Verlauf hat.

Bei der Discussion der Gleichungen (b) und (c) muss man darauf achten, dass die durch Quadriren der Gleichungen (4) er- haltenen falschen Wurzeln eliminirt werden.

Wir haben also gefunden, dass w eine unendlich vieldeutige Function der Excentricität ist. Hat die Excentricität einen reellen Werth, der kleiner als Eins ist, so ist von den entsprechenden Werthen von w eine einzige Wurzel reell. Es ist diese Wurzel, die für die astronomische Anwendung der KEPLER'schen Gleichung von Interesse ist.

Es handelt sich darum, diese Wurzel für einen gegebenen Werth L,Q von ^ nach Potenzen von C — Co ^u entwickeln.

Man kann sich zu diesem Zweck des CAUCHY'schen Existenz- theorems (IX § 6) bedienen.

Aus der Gleichung

(8) m; — / — ^ sin ?ü = 0

264 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

folgt nämlich die entsprechende Differentialgleichung

(9)

dt 1 — C cos w

Das Existenztheorem von Caucht sagt nun aus, dass das Integral ?ü dieser Gleichung, das für ^ = ^o ^^^ Werth w = w^ an- nimmt, sich nach Potenzen von ^ — ^o ^^ ^®^ Form

W = Wq + c^iC- Co) + ^2 (C - ^o)^ + • • *

entwickeln lässt, so oft die rechte Seite von (9) nach positiven Potenzen von w — w^^ und ^ — ^o entwickelt werden kann.

Die singulären Werthe von ^, für welche eine derartige Ent- wickelung nicht existirt, werden also erhalten, indem man w zwischen den beiden Gleichungen (8) tc — l — C sin ?v = 0

und (10) l-^cos?r = 0

eliminirt.

Die Lage dieser singulären Punkte kann in folgender Weise ermittelt werden.

Aus (10) erhält man

und schreibt man (8) in der Form

SO erhält man die folgende Gleichung zur Bestimmung der singu- lären Werthe von ^

§ 1. Gonvergenx der Reihen im Problem der zwei Körper. 265

Man kann diese Gleichung mit ^ multipliciren, wenn man nur beachtet, dass die hierdurch eingeführte Wurzel ^ = 0 die Glei- chung (11) nicht befriedigt und also keine singulare Wurzel ist. Man erhält somit die Gleichung

(12) 1 ±-\/Y^^^ = ce±y^^^+y^K

Man liat die Wurzeln dieser Gleichung zu berechnen. Setzt man zu diesem Zwecke

(13) ^ = iq=yi_^^

welche Gleichung giebt

(13*) ^2= 22-^2^

80 erhält man aus (12) die Gleichung

(14) (A_i),2.^,2 + f::i2..

Der Parameter l hat einen beliebigen reellen Werth. Dagegen kann man für die entsprechenden z reelle oder imaginäre Werthe erhalten. Setzt man also

z = Q e^'^ = o cos d -\- y — 1 Qsind

und trennt in (14) die reellen und die imaginären Theile rechter und linker Seite, so erhält man die beiden Gleichungen

g2ecose|"Acos(2()sinö-ö) - cos (2^ sin ö)] = e2cos2/, g2Q cos 0 \1_ sin (2 o sin (9 - ö) - sin (2 q sin (9)1 = e^ sin 2Z,

(15)

aus welchen man die folgenden bequemen Gleichungen ableitet

266 Gonverg&n% der Reihen in der Mechanik des Himmels.

(16)

-^ + 1 COS

gi-ioi

(17)

sin (2/ + ö - 2o sin ö) - sin (2/ - 2 ^ sin Ö) = 0 ,

Wir betrachten diese Gleichungen als die Gleichungen zweier reellen Curven, deren Schnittpunkte uns die Lage der singulären Punkte giebt. •

Die Curve (16), die von l unabhängig ist, besteht aus zwei ge- trennten Zweigen. Der eine, den wir unten näher betrachten wollen, ist von lemniscatenähnlicher Form, und hat für q cos 6=1 einen Doppelpunkt. Der andere Zweig besteht aus der geraden Linie (>cos(9 = 1 (Fig. 18).

Fig. 18.

Die Schnittpunkte dieser Geraden mit (17) sind leicht zu be- stimmen. Setzt man q = l:cosd in (17) ein, so erhält man näm- lich die Lösungen

(18)

e-tgd = ^-i,

Q =

cos d

Diese singulären Punkte sind also eine unendliche Zahl iso- lirter Punkte, die sämmtlich auf der Linie (> cos ö = 1 gelegen sind.

§ 1. Gonvergenx, der Reihen im Problem der zwei Körper. 267

Die Discussion der Curven (16) und (17) wird durch die Ein- führung geradliniger Coordinaten erleichtert. Setzt man also

M = (> cos d , y = o sin ö ,

80 erhalten wir diese Gleichungen unter folgender Form ,o 4(1 - w) o

(19)

.4(l-u)

- 1

(20) (m- 1)2= 1 +2üC0tg(2/-2ü)-ü2,

wo zu bemerken ist, dass zu (19) noch die Curve u = l , die wir schon discutirt haben, hinzukommt.

Die Curve (19) ist zur Achse der m- Coordinaten symmetrisch und ebenfalls zu der geraden Linie m = 1. Setzt man nämlich

				s =	1 -	- u	?
so kann	man	(19)	in	der Form
(21)			t;2	= -l-i	' +	2s	«2* .2*
oder

v^ = 2s cotghp 2s — s^ — \

schreiben, woraus der Satz unmittelbar folgt.

Weiter kann s nicht beliebig gross werden. Die Maximal- werthe für s werden aus der Gleichung ü = 0 erhalten, welche giebt

(21-) ^' =(;—)'

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: ä = 0 und s= 1.195 (genähert). Die erste Wurzel giebt einen Doppelpunkt, die zweite ist der ge- suchte Maximalpunkt.

Das Aussehen der Curve (19) ist aus der Fig. 18 ersichtlich.

268 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

In der Umgebung des Punktes 5 = 0 hat man genähert

so dass die Curve hier aus den beiden Geraden

s

"= Ff

und

s

" — yt

besteht.

Die Form der Curve (17) oder (20) zu kennen, ist nicht für unseren jetzigen Zweck noth wendig. In der That hängt die Form dieser Curve vom Werthe des Parameters / ab, und indem / sich verändert, bewegt sich der Schnittpunkt zwischen (16) und (17), also auch der singulare Punkt der KJEPLEE'schen Grleichung auf der Curve (16). Für die Convergenz der nach den Potenzen der Excen- tricität fortschreitenden Reihen in der Astronomie, ist aber noth- wendig, dass die Excentricität einen solchen Werth hat, dass die Reihen für alle reellen Werthe von l convergent bleiben. Der ge- suchte Convergenzradius ist also der kleinste Radius, den man er- hält, indem man / zwischen —oo und +00 varüren lässt. Nun kann man aber beweisen^ dass die reelle Grösse / immer so gewählt werden kann, dass die Curve (17) durch einen beliebigen Punkt auf der Curve (16) hindurchgeht. Es genügt also diese Curve zu be- trachten, weil jeder Punkt derselben ein singulärer Punkt sein kann, und also auch als ein singulärer Punkt betrachtet werden muss.

Dass die Grösse / in dieser Weise gewählt werden kann, be- weist man folgendermassen.

Erstens findet man unmittelbar aus der Gleichung (18), dass jeder Punkt der Linie o cos ö = 1 ein singulärer Punkt werden kann. Wird ein beliebiger Werth 6 = d^ gewählt, so erhält man das entsprechende / aus der Gleichung

§ 1. Gonv&rgenz der Bdhm im Problem der ouwei Körper. 269

Dass die Curve (20) bei einer geeigneten Wahl des Para- meters / durch jeden beliebigen Punkt von (19) gehen muss, ist ebenso leicht zu finden. Werden nämlich beliebige Werthe u^ und v^ für u und v angenommen, so ist (20) erfüllt, wenn / so gewählt wird, dass

2»n

tg(2Z-2^;J:

K - 1)2 - 1 + t^o

ist, was durch eine geeignete Wahl von / immer erreicht werden kann.

Von u und v gehen wir mittelst der Gleichung (13*) zu ^ über. Setzen wir

(22) ^=| + ^> = xe^l/^,

so erhalten wir, indem wir die reellen und die imaginären Theile in (13*) trennen,

(23)

x^cos 2 r = - (1 - z/)2 + u2 _^ 1 , x2sin2T= 2ü(1-m),

aus welchen Gleichungen x und t und also auch | und ?/ berechnet werden können.

Die Curve (19) geht hierdurch in eine Curve über, welche die- jenigen Werthe der Excentricität giebt, für welche die Function (2) (f (^) Singularitäten besitzt. Diese Singularitäten sind alle Yer- zweiguugspunkte.

Die so erhaltene Curve, welche die singulare Curve der ellip- tischen Beicegung genannt werden kann, und die in Fig. 19 wieder- gegeben ist, besteht aus einer geschlossenen Curve AB CD um den Anfangspunkt 0 der Coordinaten, und zwei geradlinigen Theilen äE und CF, die mit der positiven bez. negativen |- Achse zu- sammenfallen, wenn die Stücke dieser Achse zwischen 0 und Ä bez. zwischen 0 und C weggenommen werden. Der Radius Vector von 0 nach einem Punkt der Curve, der mit dem absoluten

270

Convergenz der Beihen in der Mechanik des Himmels.

Betrag oder Modulus von ^ zusammenfällt, ist in Ä gleich der Einheit und nimmt continuirüch bis ß ab, wo er den Werth 0.6627 . . .

Fig. 19.

hat. Man findet den Werth q dieses Moduls, indem man in (12) Z = Y und ^ = iq setzt, und die so erhaltene Gleichung

;24) 1 + |/l + ^2 ^ ^ gKiTy»

nach q auflöst.

Die Formel (24) fällt mit der bekannten LAPLACE'schen Formel für die Berechnung des Convergenzradius der Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen der Excentricität (in der Umgebung von ^ = 0) zusammen. Man erhält denselben Werth , wenn man die Gleichung (21°^, die hier in der Form

(24*)

+ 1 - 1

geschrieben werden kann, nach s autlöst und dann nach (23) q{=x) aus der Formel

(24-)

q = fs

berechnet. Man findet in der That, dass diese Gleichungssysteme identisch sind.

§ 1. Convergenz der Reihen im Problem der zw&i Körper. 271

Die Fig. 19 wurde aus den folgenden numerischen Werthen der Coordinaten | und t] der singulären Curve berechnet.

Tabelle L Coordinaten der singulären Curve.

s	V	X	^	V
0.0	0.000	1.000	1.000	0.000
0.1	0.057	0.9966	0.9965	0.0057
0.2	0.114	0.9868	0.9865	0.0231
0.3	0.165	0.9707	0.9694	0.0511
0.4	0.212	0.9491	0.9449	0.0896
0.5	0.251	0.9226	0.9122	0.1376
0.6	0.282	0.8917	0.8702	0.1945
0.7	0.302	0.8574	0.8174	0.2586
0.8	0.310	0.8208	0.7514	0.3299
0.9	0.302	0.7823	0.6681	0.4068
1.0	0.273	0.7413	0.5586	0.4873
1.1	0.211	0.7021	0.4047	0.5737
1.13	0.181	0.6899	0.3406	0.5999
1.16	0.140	0.6779	0.2585	0.6268
1.19	0.071	0.6665	0.1287	0.6539

Die Curve hat für | = ± 1 , ?? = 0 eine Spitze, und geht hier in die geraden Linien ?/ = 0 (| || > 1) über. Indem | gegen Null ab- nimmt, wächst 1] continuirlich, um für | = 0 dem LAPLACE'schen Con- vergenzradius gleich zu werden. Der Winkel bei A ist gleich 120*^.

Die singulare Curve erlaubt in einfacher Weise die Frage nach der Grösse des Convergenzradius bei der Entwickelung der Coordi- naten in der elliptischen Bewegung nach Potenzen von C — Co '^^ beantworten. Man nimmt zu diesem Zwecke ^^ als Mittelpunkt

272

Conv&rgenx der Heiken in der Mechanik des Himmels.

eines Kreises an, und sucht den kleinsten Kreis auf, der die singu- lare Curve berührt. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem ge- suchten Convergenzradius.

Nimmt man z. B. an, dass man die Coordinaten nach Potenzen von ^ — 0.3 entwickeln will , so erhält man mittelst der Figur für den Convergenzradius den Werth 0.544 und folghch ist die be- treffende Entwickelung für alle solchen reellen Werthe — | — der Excentricität convergent, die zwischen | = — 0.244 und | = + 0.844 liegen. Die betreffenden Reihen convergiren also für alle posiäven Werthe der Excentricität, die kleiner als 0.844 sind, wogegen die Entwickelungen nach Potenzen von | nur für | < 0.6627 conver- giren. Da es bei den astronomischen Anwendungen solcher Reihen nur auf die reellen Werthe der Excentricität ankommt, kann man also den Convergenzbereich der Reihen vergrössern, indem man nach Potenzen von <^ — Cq entwickelt und ^^ in geeigneter Weise bestimmt. Die nachstehende kleine Tabelle giebt eine genäherte Dar- stellung der Convergenzverhältnisse bei verschiedenen Werthen von ^p.

Tabelle H. Werthe des Convergenzradius.

'io	B	^min.	^max.
0.0	0.663	0.0	0.668
0.1	0.644	0.0	0.744
0.2	0.598	0.0	0.798
0.3	0.544	0.0	0.844
0.4	0.480	0.0	0.880
0.5	0.409	0.091	0.909
0.6	0.330	0.270	0.930
0.7	0.251	0.449	0.951
0.8	0.169	0.631	0.969
0.9	0.087	0.813	0.987

§ 2. Convergen» der Reihen im Problem der zwei Körper. 273

Es bedeutet hier R den Werth des Convergenzradius bei einer Entwickelung nach Potenzen von C — ?o • Unter ^min. ist der kleinste positive Werth der Excentricität verstanden, der innerhalb des Con- vergenzkreises liegt.

Obgleich der Convergenzradius stetig verkleinert wird, indem ^Q von Null wächst, wird der Bereich der positiven ^-Werthe inner- halb des Convergenzkreises immer grösser, bis man zu einem zwischen 0.4 und 0.5 gelegenen Werth — ungefähr gleich 0.445 — für ^j, gelangt. ^ Eine Entwickelung nach Potenzen von 'Q — 0.445 würde für alle positiven Werthe der Excentricität, welche kleiner als 0.892 sind, convergiren.

Eine ähnliche Untersuchung in Bezug auf die entsprechende Entwickelung der Coordinaten in der hyperbolischen Bahnbewegung wäre leicht auszuführen, liegt aber bis jetzt nicht vor.

§ 2. Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. Fortsetzung.

Wir haben im vorigen Paragraphen gefunden, dass die Coordi- naten in der elliptischen Bewegung holomorphe Functionen der excentrischen Anomalie sind, und dass die excentrische Anomalie von zwei Grössen abhängt, nämlich von der Bahnexcentricität l. und von der mittleren Anomalie l des Planeten. Bei mehreren Gelegen- heiten, im Besonderen bei der Bestimmung der Elemente eines Planeten aus gegebenen Beobachtungen, ist es angemessen, sich der Entwickelungen der Coordinaten nach Potenzen der mittleren Ano- malie zu bedienen, und die Bestimmung des Convergenzradius in diesen Entwickelungen ist also von grosser practischer Bedeutung. Da

l = n[t — t„)

ist, wo t„ die Zeit für den Durchgang des Planeten durch das Perihel bezeichnet, so ist eine Entwickelung nach Potenzen von

^ Eine andere Sache ist die Stärke der Convergenz. Diese ist am grössten für ^"o = 0, wo der Convergenzradius seinen Maximalwerth hat. Chaklier, Mechanik des Himmels. II. 18

274 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

l — l ^ wo Iq = n{t^, — Q ist, mit einer Entwickelung nach Potenzen von t — t , also mit einer Entwickelung nach Potenzen der Zeit, gleichbedeutend.

Der Convergenzbereich dieser Entwickelungen ist leichter zu bestimmen als derjenige der Entwickelungen nach Potenzen der Excentricität, diese Bestimmung geschieht aber in ähnlicher Weise. Aus der KEPLER'schen Gleichung

(1) w — 'C^mw = l

ist w als eine Function von l. und l

(2) iv=^<p[^,l)

definirt. Wir haben im vorigen Paragraphen l als einen reellen Parameter betrachtet und ic als eine B^unction der Veränderlichen ^. Hier werden wir l als eine Veränderliche betrachten und ^ als einen Parameter, den wir als reell, positiv und kleiner als Eins annehmen wollen, da dieser Fall allein für die Astronomie von Interesse ist.

Erstens ist dann zu bemerken, dass lo eine unendlich vieldeutige Function von / ist. Dies folgt in der That aus der im vorigen Paragraphen gemachten Untersuchung, in der bewiesen wurde, dass zu gegebenen Werthen von l, und / unendlich viele Werthe von w gehören. Die Function (p{C, l), als Function von / betrachtet, ist also eine vieldeutige Function, und es handelt sich darum, die singulären Punkte — Verzweigungspunkte — dieser Function auf- zusuchen.

Aus der Differentialgleichung

/7^„ 1

dl 1 — ? cos w

folgt, wie im vorigen Paragraphen, dass in den singulären Punkten (4) 1 — ^cosjü = 0

sein muss, und, indem man to zwischen dieser Grleichung und (1) eliminirt, erhält man die Gleichung (12) des vorigen Paragraphen

(5) i + yi-c'^Ce^'^'-^'

y^Tii

§ 2. Convergenz der Eeihen im Problem der zwei Körper. 275

Diejenigen Werthe von /, die diese Gleichung befriedigen, geben die singulären Punkte der Function cf {^, T), als Function von l betrachtet.

Die obige Gleichung lässt sich aber unmittelbar nach / auf- lösen.

Wir setzen hier, wie schon erwähnt, voraus, dass l, eine posi- tive Grösse kleiner als die Einheit ist. Für den entsprechenden Werth von l erhält man aber im Allgemeinen einen imaginären Werth.

Wir setzen also

l = g + yTrTÄ,

und erhalten aus (5)

(6)

-.eo.„^,H=yrT.('±V^^

e~"cosy = e

Die zweite dieser Gleichungen ist befriedigt, wenn g ein ganzes Vielfaches von n ist. Da indessen, nach den gemachten Voraus- setzungen in Bezug auf ^, die rechte Seite der ersten Gleichung stets positiv ist, so muss g ein gerades Vielfaches von n sein.

(7) g=2kn (ä = 0, + 1 , ± 2, ± 3, . . .).

Die erste Gleichung (6) giebt dann

(7*) A=+yi-t^2 + log

l±l/l-s^

Man findet, dass die beiden Werthe von h , welche diese Gleichung befriedigen, sich nur hinsichtlich des Vorzeichens unter- scheiden (Fig. 20).

Die singulären Punkte sind also symmetrisch zur Achse der «7-Coordiuaten geordnet, und hegen auf den zur Ä- Achse parallelen Linien, die durch die Punkte 2k%{k = 0,±\,±2,..) gezogen werden. Sämmtliche singulären Punkte haben — vom Zeichen ab-

276 Convergenx der Leihen in der Mechanik des Himmels.

gesehen — die nämliche Ä-Coordinate, deren Werth aus (7*) er- halten wird.

Die Lage der singulären Punkte und die Bestimmung der Convergenzverhältnisse bei einer Entwickelung nach Potenzen der

1

t

1

^•.

\

■i

1 1

1

1 g-AcTise

-^x

sjr

1.

» lo

1

Y

t

\

1 1

1

Fig. 20.

Zeit in der elliptischen Bewegung ist zuerst von F. R. Moülton gegeben worden (Astronomical Journal Vol. XXHI, 1903).

Will man die Coordinaten, bez. die excentrische Anomalie, nach Potenzen von l — Iq entwickeln, so hat also, wenn man die Werthe von l^ auf das Gebiet

beschränkt, was keine Einschränkung des Problems bedeutet, der Convergenzradius Ri^ den Werth

(8)

R^ = 1h' + h\

wo h durch (7*) definirt ist.

Ist t^ derjenige Werth von t, der dem Werthe l = Iq entspricht, so ist der Convergenzradius Rf^ der Entwickelungen der Coordi- naten der elliptischen Bewegung nach Potenzen von t — t^^ durch die Formel

(9)

R.

= ^ = A

tn? +

§ 2. Convergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. 277

Die Grösse des Convergenzradius ist von l^ und vom Werthe der Excentricität abhängig. In der Formel (9) geht ausserdem die mittlere Bewegung des Planeten ein.

Der Convergenzradius hat für eine gegebene Excentricität seinen grössten Werth im Aphel und erreicht im Perihel seinen Minimalwerth

Min. i?,„ = I Ä I .

Ist die Bahn kreisförmig, also ^=0, so zeigt die Formel {!*), dass der Convergenzradius unendlich gross ist. Die Coordinaten werden in der That dann durch die Formeln

X = acosn{t — Q, y = asmn{t — Q

gefunden, und sind also in diesem Falle holomorphe Functionen der Zeit.

Indem die Excentricität, für einen gegebenen Werth von Z^, von ^=0 bis ^=1 wächst, nimmt der Werth des Convergenz- radius continuirlich ab, und nimmt für ^ = 1 seinen Minimalwerth — ^0 — an.

Ich werde unten, nach Moulton, einige numerische Beispiele dieser Formel geben.

Die Frage nach der Entwickelung der Coordinaten in der parabolischen Bewegung nach Potenzen der Zeit ist zuerst von W. A. Hamilton (Astronomical Journal, Vol. XXIII, 1903) unter- sucht worden.

Wir haben in IV § 5 gefunden, dass die Coordinaten in der parabolischen Bewegung yanze rationale Functionen einer Hilfsgrösse w sind, welche mittelst der Formel

(10) „ + l„3 = _|_(,_y

mit der Zeit verbunden ist. Setzt man w = w{t),

278 Gonvergenx der Reihen in der Meehanik des Hvmmels.

so fallen also die Singularitäten dieser Function mit den Singulari- täten der Coordinaten, als Functionen der Zeit betrachtet, zusammen. Man findet aber für w die Differentialgleichung

1/^

V2q'l^

dt 1 +w^

und die einzigen Singularitäten der Function iü{t) findet man also, nach dem CAUCHr'schen Existenztheorem, für

Die entsprechenden singulären Werthe — t' — von t sind nach (10)

Man hat also hier nur zwei singulare Punkte. Die Ent- wickelung der Coordinaten in der parabolischen Bewegung nach Potenzen von t — t^ convergirt innerhalb eines Kreises , dessen Mittelpunkt in t^^ liegt und dessen Peripherie durch t' geht. Der Convergenzradius ist also, für einen reellen Punkt t^, durch die Formel

(12) R = 1/(^0 - g^ - [f - g^ = |/(^o - Q' + ^

gegeben.

Der Convergenzradius ist am kleinsten im Perihel, wo

^_ 2 1/2-,'/^

ist. Je grösser der Perihelabstand — g — ist, desto grösser ist E, das mit q, und auch mit t^ — t„, ins Unendliche wächst.

Was endlich die Entwickelung der Coordinaten in der hyper- bolischen Bewegung nach Potenzen der Zeit betrifft, so ist diese JFrage von Mouxton (1. c.) untersucht worden.

§ 2. Gonvergenz der Reihen im Problem der zwei Körper. 279

Die Untersuchung kann in ähnlicher Weise, wie in den früheren Fällen, geführt werden. Nach IV § 6 findet man, obgleich der Beweis daselbst nicht ausgeführt wurde, dass die Coordinaten in der hyperbolischen Bahn holomorphe Functionen einer Hilfsgrösse lo sind, welche hier eine ähnliche Rolle wie die excentrische Anomalie in der elliptischen Bewegung spielt. Zwischen dieser Grösse und der Zeit besteht die Relation

(13) ^sinhp w — w = l,

wo ^ die Excentricität bezeichnet und / = ^ '- [t — O = ^-jy- it — Q

a a'"

ist. Wird hier ?r als eine Function von / betrachtet, so fallen die Singularitäten dieser Functionen mit den Singularitäten der Coordi- naten, als Functionen von / betrachtet, zusammen. Man erhält in früher auseinandergesetzter Weise diese singulären Werthe von /, indem man ic zwischen (13) und der Gleichung

(14) ^coshp IC — \ = 0 eliminirt.

Indem wir die Bedürfnisse der practischen Astronomie vor Augen haben, können wir uns hier auf solche Werthe von l, ein- schränken, die reell und grosser als die Einheit sind.

Aus (14) folgen die Relationen

cosnp IV

= -:r , smhp w = ^ i '-^ — ,

=: log (coshp w + sinhp w) = log - — ^^

Setzt man weiter

l = ff -\- hi,

80 lautet die Gleichung (13)

+ ey^2_ 1 _ log (1 + iy^2 _ 1) + log^- = ^ + /^i. Da weiter

log (1 ± i |/^^^=n) = log C+i[2k7i± arctg ]/F^

280 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

ist, wo k Null oder eine ganze positive oder negative Zahl be- zeichnet, und arctg]/c^^— 1 denjenigen Bogen zicischen 0 und jr/2 bedeutet, dessen Tangens gleich ]/c^ — 1 ist, so erhält man, indem man die reellen und die imaginären Theile trennt, für g und h die Werthe

g = Q,

(15)

yr'- 1 - arctg]/^2 _i j^2kn

(Ä = 0, +1, ±2, ...).

Die singulären Punkte liegen also in diesem Falle sämmtlich auf der Ä-Achse, sind also rein imaginär. Sie sind symmetrisch auf beiden Seiten der reellen Achse gelegen, und wenn man setzt

(16) h^ = yc^- 1 - arctg ]/C^ - 1 ,

so werden alle singulären Punkte erhalten, wenn man, von den beiden Punkten h^ und — h^ aus, auf der imaginären Achse nach einander Stücke gleich 2 7i, 4:7t, 6 ;r u. s. w. absetzt.

Der Convergenzradius R in der Entwickeliing der Coordinaten in der hyperbolischen Bewegung ist also, für einen reellen Werth von /,

wo Äq den kleinsten der aus der Formel (15) erhaltenen ä- Werthe bezeichnet.

Man stösst indessen hier auf eine Schwierigkeit. Nimmt man für k irgend einen ganzen negativen Werth an, so giebt es immer einen positiven Werth für l., grösser als die Einheit, für welchen die rechte Seite von (15) verschwindet. Der Punkt / = 0 würde dann ein singulärer Punkt sein, was aber mit den gemachten Vor- aussetzungen nicht vereinbar ist. Es ist nämlich vorausgesetzt worden, dass, für / = 0, man tv = 0 hat, und die Gleichung (14) zeigt, dass w = 0 kein singulärer Punkt ist. Dieser scheinbare Widerspruch findet seine Erklärung in dem Umstände, dass nicht alle

§ 2. Convergenx der Reihen im Problem der zwei Körper. 281

singuläreii Punkte der Function rp {^, l) auch Verzweigungspunkte desjenigen Zweiges dieser Function sind, der, für alle Werthe der Excentricität, für 1=0 den Werth Null hat. Offenbar kann dieser Zweig der Function (p{L,,I), den wir allein hier betrachten, nicht für / = 0 einen Verzweigungspunkt besitzen, da angenommen worden ist, dass, für Z = 0, w = 0 ist, und iv = 0 kein Verzweigungspunkt der Function (f{iü, /) ist. Wir müssen also diejenigen Werthe von k in (15) ausschHessen, die für irgend einen positiven Werth von ^ (> 1) einen Werth ä = 0 geben können. Mit anderen Worten, k ist entweder gleich Null, oder ist gleich einer positiven ganzen Zahl. Wir müssen also in (16*) h^ = h^ setzen und erhalten für den Convergenzradius den Werth

(17) R = fi^rVi^'

wo

(1 7*) Ä, = ]/^2 _ 1 _ arctgy^2 _ 1

ist, und arctg "j/c;^ — 1 denjenigen zwischen 0 und nj2 gelegenen Bogen bezeichnet, dessen Tangens gleich j/^^ — 1 ist.

Die Formel (17*) zeigt, dass R, für ein gegebenes l^, stetig mit der Excentricität — l, — wächst. Ist i^ = 1 , so ist Ä = | Z^, | . Geht ^ ins Unendliche, so wächst R gleichzeitig über alle Grenzen.

Will man den Convergenzradius — Rt^ — für die Entwickelung der Coordinaten in der hyperbolischen Bewegung nach Potenzen von t — t^^ berechnen, so erhält man

(18) ^^=^-^^'

wo der Werth für R aus (17) einzusetzen ist.

MouLTON hat einige interessante numerische Schlussfolgerungen aus diesen Gleichungen gezogen, die ich zum Teil wiedergeben will.

Schreibt man, der Symmetrie wegen, für die parabolische Be- wegung

(19) ' = vgv.('-«.

282

Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

so dass die Gleichung (10) lautet

(20) ic + ^2o^ = l,

so kann man den Ausdruck für den Convergenzradius sowohl für elliptische, wie parabolische oder hyperbolische Bahnen in der Form

(21) schreiben, wo

JR = p,^ + h,\

(22)

|/i

für C < 1 : Ai = - l/n^' + log „ ^=l:h^= f , „ ^>l:h^= ]/^-ri_arctgl/?^^

ist, und es sich um eine Entwickelung nach Potenzen von l — l^ handelt.

Für verschiedene Werthe von C erhält man hieraus folgende Werthe von h^:

Tabelle IIL

._ c	K	V	'	h
0.0	00	00
0.1	1.998 1.312	1090.55 75.17	1.0	0.667
0.2	1.05	0.010
0.3	0.920	52 .69	1.1	0.029
0.4	0.650	37 .23	1.2	0.077
0.5	0.451	25 .86	1.3	0.137
0.6	0.298	17 .06	2.0	0.685
0.7	0.181	10.35	10.0	8.478
0.8	0.093	5 .35	100.0	98.42
0.9	0.031	1.80	1000.0	998.4
0.95	0.011	0.63

§ 2. Conv&rgenz d&r Reihen im Brohlmn der zwei Körper.

283

Diese Tabelle giebt den Werth des Convergenzradius an für /() = 0, also für die EntwickeluDgen im Peribel nach Potenzen von /. In der dritten Columne habe ich die entsprechenden Werthe von h^, in Graden ausgedrückt, eingeführt. Man findet hieraus, dass, wenn die Excentricität gleich 0.1 ist, die Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen der mittleren Anomalie bis / = 109**.55 convergirt u. s. w. Die Entwickelungen nach Potenzen von l (also im Perihel) bei der parabolischen Bewegung convergiren für Z< 0.667, was einem Werth von 62° für die Länge entspricht.

Die Convergenzradien für die Entwickelungen nach Potenzen der Zeit lassen sich mittelst der Formeln (9) und (18) leicht be- rechnen, wenn der Werth der mittleren Bewegung bez. der halben grossen Achse in der Bahn bekannt ist. Indem er a = 2.65 setzt, berechnet Moulton folgende Tabelle, die für die Anwendung dieser Untersuchungen auf die Theorie der kleinen Planeten von Interesse ist.

Tabelle IV.

Tagen für a = 2.65.

'i	4 = 0	lo = 60»	lo = 1200	lo = 180»
0.0	c»	00	00	CO
0.1	501.2	553.0	726.0	933.7
0.2	329.3	421.1	620.0	854.0
0.3	230.7	349.6	573.7	821.0
0.4	163.1	302.2	550.1	805.1
0.5	113.0	285.9	537.3	796.0
0.6	74.9	273.1	530.5	791.5
0.7	45.5	266.5	527.3	789.3
0.8	23.4	263.7	525.8	788.4
0.9	7.7	262.7	525.3	788.0
0.95	2.8	262.6	525.2	788.0

284

Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Die Umlaufszeit eines Asteroiden in diesem Abstände ist 1575 Tage. Die Entwickelungen der Coordinaten nach Potenzen der Zeit sind also im Aphel für mehr als einen halben Umlauf convergent. Im Perihel nimmt die Grösse des Convergenzradius mit wachsendem Werthe der Excentricität rasch ab.

Die nachfolgende, ebenfalls von Moulton berechnete Tabelle giebt eine gute Übersicht über die Werthe des Convergenzradius bei ver- schiedenen Bahnformen.

Tabelle V.

Rto in Tagen für t^ = t„, q

?	Bt,	C	Ri.
0.0	OD	1.0	54.8
0.1	136.1	1.05	53.8
0.2	106.7	1.1	52.3
0.3	91.3	1.2	50.1
0.4	81.3	1.3	48.5
0.5	74.1	2.0	39.9
0.6	68.6	5.0	25.7
0.7	64.1	10.0	18.3
0.8	60.5	100.0	5.8
0.9	57.4	1000.0	1.8
0.95	55.6

Hier ist in allen Fällen der Perihelabstand unveränderlich gleich der Einheit angenommen.

Die Wichtigkeit dieser Zahlen für das Bahnbestimmungs- problem liegt auf der Hand.^

* Vergleiche in Bezug hierauf die citirten Aufsätze von Hamilton und

MoüLTON.

§ 2. Convergenx d&r Beihen im Problem der xwei Körper. 285

Zuletzt werde ich die Entwickelungen im Zwei-Körperproblem für den Fall betrachten, dass die Kraft repulsiv ist, und es sich um die Entwickelungen der Coordinaten nach Potenzen der Zeit handelt. In IV § 7 werden die Coordinaten in diesem Fall durch eine Hilfsgrösse w ausgedrückt, welche durch die Relationen

(23) w + ^ sinhp lo = l,

(23*) l=^{t-Q

mit der Zeit verbunden ist. Hier soll, für 1=0, w gleich Null sein. Die singulären Werthe von / werden also erhalten, indem man w zwischen (23) und der Gleichung

24) 1 + ^ coshp 10 = 0

eliminirt. Hier soll ^ als eine positive Zahl grösser als die Ein- heit angenommen werden. Aus (24) erhält man

1

sinhp tf? = + ^■-

\/^'-l

C

t^ = log -

-l±*•VC^-l

Setzt man

log(-l ±i]/?^^) = c^ + ßi,

so erhält man zur Bestimmung von a und ß die Gleichungen

e« cos/9 =— 1 ,

e« sin /9 = ± ]/^2 _ 1 ^ und also

ci= logC,

ß = + arctg y^2 — 1 + /n TT ,

286 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

wo m eine ganze Zahl oder Null bezeichnet. Man findet aber aus der Gleichung

e" cos ;^ = — 1 ,

dass cos/5 negativ und also m eine ungerade Zahl sein muss. Es ist also

log(- 1 ± i^:;^-l) = logC+e(+ arctgyc:^- 1 +(2Ä + l)7i) ,

wo Ä = 0 , + 1 , + 2 , + 3 , . . . ist.

Wird dieser Ausdruck in (23) eingesetzt, und schreibt man

(25) l = ff + hi,

so wird

g= 0,

h=+ arctg ]/^2_i ^^2k + l)7i±-^C^-l.

Wie für die hyperbolische Bewegung, bei attrahirenden Massen, so müssen auch hier negative Werthe von k ausgeschlossen werden, weil man sonst für 1 = 0 einen singulären Punkt erhalten würde. Setzt man

h^=-\/C^-l - arctg y^2 _ i ^

so ist also die Lage der singulären Punkte durch die Formeln p = 0,

(26)

±h = h^+{2k + l)7i (/i = 0, 1, 2, 3, . ..)

gegeben.

Der Convergenzradius — B — hat den Werth

(27) i2 = y/„^ + (Äi + >T)^

Der Werth von h^ fällt mit dem Werth (16) für h-^ in der hyperbolischen Bewegung bei attrahirenden Massen zusammen.

§ 2. Gonvergenx der Reihen im Brohlem der zwei Körper. 287

Die Grösse des Convergenzradius wächst mit der Excentricität. Im Perihel ist

(28) -Sperihel = ^j + 71 .

Ist die Excentricität gleich Eins, so ist Ä^ = 0 , und also R = 7i. Es kann befremdend erscheinen, dass man hier einen endlichen Werth für den Convergenzradius für c = 1 erhält, wogegen bei attrahirenden Massen für ^ = 1 der Werth des Convergenzradius gleich Null ist. Dies findet seine natürliche Erklärung darin, dass für ^ = 1 bei anziehenden Massen die Bahn eine gerade Linie ist, die im Centralkörper ihren Endpunkt hat. Es findet also im „Perihel" ein Zusammenstoss der beiden Massen statt, und es kann dann von keiner Entwickelung nach Potenzen der Zeit die Rede sein. Wir haben dagegen in IV § 3 gefunden, dass bei einem Zusammenstoss die Coordinaten nach Potenzen von

[t - ^oT' entwickelt werden können.^

Bei abstossenden Massen liegt die Sache anders. Für C = 1 ist zwar die Bahn auch geradlinig, die Körper nähern sich aber bis zu einem gewissen endhchen Abstand, um dann dieselbe Linie rückwärts zu beschreiben. Die Formel (28) zeigt, dass eine Ent- wickelung der relativen Coordinaten der Körper im Perihel nach

Potenzen von /, d. h. von ~~ [t — Q , für / < ;r convergent bleibt.

Der Werth des Convergenzradius bei einer Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen von t — t^ ist nach (23*) und (27)

(29) Jit.= ]/{to-t.? + ~{K-\-7iY,

und hängt also von a und vom Werthe der Repulsionsconstante ab.

^ Der Convergenzradius dieser Entwickelung ist nach (18) und (15) gleich -—2n.

VT*

288 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

In der Bessel - BuEDiCHiN'schen Theorie der Cometenschweife bedient man sich der Reihen, die nach Potenzen der Zeit fort- schreiten. Der Convergenzbereich dieser Reihen kann aus (29) berechnet werden.

Nachtrag. Nachdem das Obige geschrieben wurde, habe ich von Herrn Professor A. Wiman in Upsala, mit dem ich diesen Sommer Gelegenheit hatte über diese Convergenzfrage zu sprechen, folgende briefliche Mittheilung erhalten, die ich mit der Erlaubniss des Verfassers hier abdrucke. Seine Auseinander- setzungen beziehen sich auf die S. 280 erwähnte Schwierigkeit bei der Be- stimmung des Werthes des Convergenzradius in der Entwickelung der Coordi- naten in der hyperbolischen Bewegung nach Potenzen der Zeit. Professor WiMÄN schreibt:

„Es handelt sich um die Bestimmung des Convergenzradius derjenigen Potenzreihe w = f{l), welche durch die Gleichung

(1) 'C sinhp w — 2V — l = 0

definirt wird, wo, für ^ = 0, w = 0 sein soll. Die Grösse c ist ein Parameter, der positiv und > 1 ist.

Die singulären Punkte der verschiedenen Zweige, welche der Gleichung (1) genügen, müssen die Bedingung

(2) 4' coshp w — 1 = 0 erfüllen, und man bekommt also

(3) ^ = ± i IV'i^ - 1 - arctg ]/?* - 1 +2k7t],

wo k eine ganze positive oder negative Zahl bezeichnet.

An einer solchen singulären Stelle vertauschen sich im Allgemeinen zwei «^^-Zweige. Man findet aber, dass gewisse C-Werthe von besonderer Bedeutung sind, diejenigen nämlich, für welche die Gleichung

(4) y^^- 1 - arctg VC^-l +2kn = 0

erfüllt ist, wobei k einen negativen Werth haben muss. Für solche 4"-Werthe fallen xwei singulare /-Werthe zusammen. Dies bedeutet, daß in diesem Falle zwei Paar z<;-Zweige um den singulären Punkt permutirt werden. Ein Zweig des einen Paares wird indessen hierbei nicht in einen Zweig des anderen Paares übergehen.

Damit mehr als zwei Zweige in einem singulären Punkt in Zusammen- hang treten sollen, ist erforderlich, dass auch

§ 3. Die Hill' sehe Grenzcurve. 289

(5) t sinhp w = 0 ,

welche Gleichung erfordert, daß s = 1 ist. Für die singulären Punkte ist hier 1 = 2k7ii. Au einer solchen Stelle hängen drei w-Zweige cyclisch zusammen. Für Ä; = 0 werden diese Zweige durch die Gleichung w^ + . . . = ßl

gegeben. Unter diesen giebt ein Zweig, bei wachsendem Werth von L', für l = 0 , w = ü , also den Ausgangszweig.

Wächst nun ^ und wird > 1, so wird dieser singulare Punkt in zwei Punkte aufgelöst, für welche

l = ±i {Y'Q^ - 1 - arctg YW^

ist. Der Ausgangszweig hängt in diesen Punkten mit zwei verschiedenen Zweigen zusammen. Es ist aber nicht möglich, einen singulären Punkt des Ausgangszweiges zu erreichen, für welche | l \ kleiner als ]/C* — 1 — arctg )/^^ — 1 ist. Der fragliche Zweig muss ja, wenn (4) erfüllt ist, mit genau denselben Functionszweigen in den singulären Punkten verbunden sein, wie für benachbarte t-Werthe. Der Convergenzradius der betreffenden Potenzreihe w = f{l) ist also

y^^-1 - arctg Vi'« - 1 ."

§ 3. Die HiLL'sche Grenzcurve.

Die Convergenzuntersuchungen in der Mechanik des Himmels bezwecken vor allen Dingen die Grenzen, innerhalb welcher die relativen Coordinaten der Planeten sich verändern können, zu be- stimmen. Es lässt sich aber indessen denken, dass man diese Grenzen finden kann, ohne für unbeschränkte Zeit gültige Reihen für die Coordinaten zu besitzen, und in der That sind verschiedene Versuche gemacht, solche Grenzen in indirecter Weise aufzusuchen. Von diesen Versuchen hat indessen, so viel ich weiss, nur einer sich als erfolgreich erwiesen — wenigstens als allgemeines Princip betrachtet — nämHch derjenige, der in der in § 3 IX erwähnten HiLL'schen Grenzcurve seinen Ausgangspunkt hat. Mit Hilfe dieser Grenzcurve wurde es Hill möglich, das erste Mal in der Geschichte der himmlischen Mechanik, einen strengen Stabilitätsbeweis für eine Classe Bewegungen im Drei-Körperprobleni zu finden, indem er bewies, dass der Mond der Erde sich niemals mehr als bis zum Vierfachen seines jetzigen Abstandes von der Erde vom Haupt- planeten entfernen kann. Es wird hierbei vorausgesetzt, dass nur

Charlier, Mechanik des Himmels. II. 19

290 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

die Anziehung der Erde und der Sonne auf den Mond in Betracht gezogen wird, und ausserdem musste Hill die Beschränkung machen, dass die Bahn der Erde um die Sonne genau kreis- förmig sei.

Die HiLL'sche (irenzcurve hat in den letzten Jahrzehnten eine mehrfache Anwendung gefunden. Die allgemeinsten Untersuchungen über dieselbe rührt von Bohlin her („Ueber die Bedeutung des Princips der lebendigen Kraft für die Frage von der Stabilität dynamischer Systeme'', Acta Mathematica. 10. 1887), der auch ihre Bedeutung für das allgemeine Drei-Körperproblem untersucht. Es zeigt sich indessen, dass man hier aus einer Discussion der Grenz- curve keine allgemeinen Schlüsse über die Maximal- oder Minimal- werthe der gegenseitigen Abstände ziehen kann, nur lässt sich ziemlich unmittelbar schliessen, dass nicht alle Abstände gleichzeitig unendlich gross sein können. Zieht man das allgemeine Problem der n-Körper in Betracht, ist nämlich nach V § 1 das Integral der lebendigen Kraft von der Form

so dass die Gleichung für die HiLL'sche Grenzcurve (hier würde man wohl besser von einer Grenzfläche sprechen) lautet:

(1*) 0 = 2—^^^ + ^''

wo r. . den Abstand zwischen der Masse m. und der Masse m. be- zeichnet. Wir nehmen an, dass die Constante h der lebendigen Kraft, wie es in unserem Planetensystem der Fall ist, negativ ist. Die rechte Seite von (1) muss immer positiv sein, und hieraus folgt, dass die Abstände r^. nicht alle gleichzeitig unendlich gross sein können. Die Mitglieder unseres Planetensystems können sich also nicht im Laufe der Zeit alle unendlich weit von einander entfernen. Im asteroidischen Brei-KÖrperproblem giebt indessen die HiLL'sche Grenzcurve bessere Aufschlüsse über die Natur der Bewegung. Bohlin zeigt, wie bei gewissen Werthen der jACOBi'schen Constante die Bahncurve des Asteroides innerhalb einer geschlossenen Curve liegt. Seine Untersuchungen wurden von Darwin in eleganter

§ 3. Die Hill' sehe Grenzcurve. 291

Weise weitergeführt, und wir haben in IX § 3 die wichtigsten Er- gebnisse dieser Discussion wiedergegeben. Hier werde ich die Folgerungen aus diesem Principe in Bezug auf die Bewegung der kleinen Planeten in unserem Planetensysteme untersuchen.

Es sei zuerst Jupiter der störende Planet, der sich in einem Kreise um die Sonne bewegt. Das JACOBi'sche Integral lautet

(2) (4f)'=2ß-C,

WO

(2-) 2fi = ,.= + A+,(„^. + A)

ds ist, und —z— die Geschwindigkeit des Asteroiden im beweglichen

Co ordinalen Systeme bezeichnet.

Die Gleichung der Grenzcurve ist

(3) 2ß-<7=0.

Ist C hinreichend gross, besteht die Grenzcurve aus ge- schlossenen Zweigen und der Asteroid muss, wenn er sich beim Anfang der Bewegung innerhalb eines geschlossenen Zweiges be- findet, immer da bleiben. Bei einem Werth C = C^ geht die Grenzcurve in eine Lemniscaten-ähnliche Figur über, die im Libra- tionspunkte Z^ einen Doppelpunkt besitzt. In IX § 1 haben wir gefunden, dass dieser Librationspunkt im Abstände 0.0668 vom Jupiter liegt. Der entsprechende Werth C^ von C wird demnach aus (3) erhalten, indem man o^ = 0.9332, q^ = 0.0668, fi = 1:1047 setzt. Man erhält

C^ = 3.0426 .

Wir können also den Satz aufstellen: jrenn für einen kleinen Planeten die JACOBi\^che Constante grösser als 3.0426 ist, so kann der Planet sich nicht ausserhalb einer um die Sonne geschlossenen Curve bewegen.

Um die Werthe der Jacobi' sehen Constante für die kleinen Planeten zu erhalten, kann man aus ihren bekannten Elementen für eine gewisse Zeit die Werthe von q^, g^ und -^ berechnen, und erhält dann den entsprechenden Werth von C nach (2) aus der Formel

19*

292

Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

(4)

C = ..^ + |+.((./ + ^j-,,,

Ich werde einige Werthe von C unter der Voraussetzung be- rechnen, dass die Bahn für eine gewisse Zeit kreisförmig ist. Die absolute Geschwindigkeit des Asteroiden ist dann gleich 1:'^ g^ und die Gresch windigkeit Jupiters ist ]/l + ju, so dass

(5) ist.

ds dt

Vö:

-QiP+f^

Setzt man diesen Werth in (4) ein, so findet man, dass C für kleine g^ einen grossen positiven Werth hat; wie man sich von der Sonne entfernt, nimmt die jACOBi'sche Constante an Grösse ab, bis sie zwischen (>i = 0 und (>i = 1 ein Minimum erreicht, um dann für ()j = 1 wieder ins Unendliche zu wachsen.

Aus (4) und (5) habe ich folgende Werthe der jACOBi'schen Constante abgeleitet.

Tabelle VI.

Iferthe der jACOBischen Constante im Planetensystem.

?1	m	C
0.1	9.3773	10.6356
0.2	4.1452	5.8978
0.3	2.3274	4.4325
0.4	1.3945	3.7690
0.5	0.8351	3.4190
0.6	0.4768	3.2214
0.7	0.2448	3.1089
0.8	0.1010	3.0486
0.9	0.0236	3.0277
0.95		3.0403
0.98		3.1170

§ 3. Die HiLL^sche Grenxcurve.

293

Diese Werthe sind für solche Werthe von q^, die zwischen 0.6 oder 1.0 liegen, in der Fig. 21 graphisch dargestellt.

Zieht man durch die Ordinate C = 3.0426 eine zur Abscissen- achse parallele Linie, so schneidet sie von der Curve ein Stück ab, das solchen C-Werthen entspricht, für welche die Grenzcurve nicht

		\
3.16 3.n 3.12 3.10 3.08 31)6		\
	\	\
		\
		\	\
			\
			\	\				/
				\	^			/

3.02 tnn						■\	^-

Fig. 21.

geschlossen ist. Man findet in dieser Weise aus der Figur, dass solche Asteroiden, welche eine Kreisbahn beschreiben, deren halbe grosse Achse einen Werth zwischen 0.815 und 0.96 hat (die halbe grosse Achse der Jupiterbahn als Einheit genommen), keine ge- schlossene Grrenzcurve besitzen. Man ist deswegen berechtigt, solche Bahnen als instabil zu betrachten. Wird die halbe grosse Achse der Jupiterbahn gleich 5.201 astronomischen Eiaheiten gesetzt, so sind also die genannten Grenzen für die Instabilität

a = 4.24 und a = 5.00 .

Die äussersten Asteroiden, die im Anhang zum ersten Bande aufgeführt sind, und ihre mittleren Entfernungen [a] von der Sonne sind

294 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Hinwnels.

@ Thule 4.263 1893 Z 4.125

(S) 3.962

(g) Hilda 3.962

Der äusserste Asteroid (279) Thule liegt also nahe auf der Grenze zum instabilen Bereich. Alle übrigen bekannten Asteroiden besitzen eine geschlossene Grenzcurve , insofern nur die Jupiter- störungen in Betracht gezogen werden, wenigstens wenn vom Ein- fluss der Werthe der Excentricitäten und der Neigungen auf die Stabilitätsfrage abgesehen wird.

Eine Untersuchung über die Grenzcurve der kleinen Planeten wurde zuerst von Kobb ausgeführt (Bulletin Astr. 1901). Er findet, indem er auf die Excentricität der Bahn Rücksicht nimmt, dass der Asteroid (279) Thule ausserhalb der Stabilitätsgrenze Hegt und um die Sonne keine geschlossene Grenzcurve besitzt.

Hat die Bahn des kleinen Körpers einen mittleren Abstand grösser als 0.96, wird die entsprechende Grenzcurve um Jupiter geschlossen, und der Körper wird dann nicht zum Asteroidenringe gehören.

Es kann kein Zufall sein, dass, von einem einzigen Asteroiden vielleicht abgesehen, sämmthche bekannte kleine Planeten innerhalb des in Bezug auf die Jupiterstörungen stabilen Gebietes gelegen sind. Der Werth a = 4.24 bildet eine natürUche obere Grenze für die halben grossen Achsen der Bahnen der kleinen Planeten, ebenso- wohl wie der in VII § 12 gefundene singulare Punkt a = 2.05 eine untere Grenze für den Asteroidenring bildet.

Wir haben hier nur den Einfluss Jupiters auf die kleinen Planeten berücksichtigt. Von den übrigen Planeten im Planeten- system ist die Einwirkung vom Mars auf die Asteroiden indessen nicht zu vernachlässigen. Giebt die Grenzcurve hier eine Auskunft über die Natur der Bewegung?

Für grosse Werthe von C — und bei allen bekannten Aste- roiden hat C einen Werth, der als gross betrachtet werden kann —

§ 3. Die Hill sehe Grenxeurve. 295

besteht die Grenzcurve aus einem kleinen, nahe kreisförmigen Zweig um Mars, einem ebenfalls nahe kreisförmigen Zweig um die Sonne mit einem Radius, der etwas kleiner als die halbe grosse Achse der Marsbahn ist, und ausserdem aus einem dritten Zweig, den man auch als nahe kreisförmig betrachten kann, dessen Mittelpunkt in der Sonne liegt und der einen Radius etwas grosser als die halbe grosse Achse der Marsbahn hat. Der kleine Planet muss sich ausserhalb des letztgenannten Kreises bewegen. Den Radius dieses Kreises kann man als ein Minimum für den Abstand des kleinen Planeten von der Sonne betrachten.

Bei der Berechnung des Werthes dieses Radius kann man die mit der kleinen Marsmasse multiplicirten Glieder in (2*), (4) und (5) vernachlässigen. Wird die augenblickliche Bahn eines Asteroiden als kreisförmig betrachtet, mit dem mittleren Abstände o von der Sonne, und der Werth des betreffenden Radius mit x bezeichnet, so leitet man aus den genannten Formeln leicht folgende Gleichung zwischen a und x ab:

(6) . .-^H-A^i + syä,

eine Gleichung, die eine Wurzel zwischen Null und der Einheit und eine Wurzel zwischen der Einheit und + oo hat. Die letztere Wurzel entspricht dem gesuchten Minimalwerth von a.

Ist z. B. a = 1.5 (es ist zu bemerken, dass alle Abstände in dem mittleren Abstände des Hauptplaneten — hier Mars — von der Sonne als Einheit auszudrücken sind), so bekommt man a;=1.21; ist a = 2.0 so ist x = 1.36.

Man kann dieselbe Formel (6) benutzen, um den Maximalwerth des mittleren Abstandes des Asteroiden zu berechnen, wenn die Störungen des Asteroiden vom Jupiter in Betracht gezogen werden. Hier handelt es sich um diejenige Wurzel, die kleiner als die Ein- heit ist.

Werden die Werthe der Maximal- und Minimalabstände in gewöhnlichen astronomischen Einheiten ausgedrückt, so erhalten wir somit aus (6) für a = 2.28 : Minimalabstand = 1.82 , Maximalabstand = 3.28 ,

„ a = 3.04: „ =2.08, „ =3.90.

296 Conve/rgenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Der kleine Planet (\o\ Harmonia, der sich gegenwärtig in einer nahe kreisförmigen Bahn mit der halben grossen Achse nahe gleich 2.28 bewegt, würde also niemals der Sonne näher kommen können als auf den Abstand 1.82 und sich niemals weiter von der Sonne entfernen können, als auf den Abstand 3.28.

Wir sind indessen dabei von der Voraussetzung ausgegangen, dass die beiden störenden Planeten unabhängig von einander ihre Grenzcurven für den kleinen Planeten bestimmen. Inwiefern die so bestimmten Maximal- und Minimalabstände des kleinen Planeten als wirkliche Annäherung zur Wahrheit betrachtet werden können, muss dahingestellt werden. In Bezug auf den Maximalabstand wird zwar die kleine Marsmasse kaum eine merkliche Correction geben können. Ob aber die durch Mars, wenn dieser Planet der einzige „grosse" Planet im Planetensystem wäre, bestimmte innere Grenzcurve für die Asteroiden auch thatsächlich vorhanden ist, kann hieraus nicht geschlossen werden.

Zuletzt will ich bemerken, dass das jACOBi'sche Integral (2) erlaubt, weitere Schlüsse über die Stabilitätsverhältnisse zu ziehen, als nur mit Hilfe der Grenzcurve geschehen kann. Die diesbezüg- lichen Betrachtungen können indessen besser in einem anderen Zu- sammenhang als hier auseinandergesetzt werden.

§ 4. Convergenz der Entwickelungen nach Potenzen der störenden Massen.

Die Störungstheorie, deren Methoden seitLAPLACE undLAGEANGE bis in unsere Tage die Untersuchungen in der Mechanik des Himmels beherrscht haben, geht von einer Entwickelung der Coordinaten nach Potenzen der kleinen Planetenmassen aus. Wie verhält es sich mit der Convergenz dieser Entwickelungen?

Es stellte sich bald heraus, dass das Vorhandensein der secu- laren Störungen für die Convergenz der Reihen, wenigstens für längere Zeiten, hinderlich sei. Zwar könnten Laplace und Lageange den Beweis geben (man vergleiche den siebenten Abschnitt), dass in den Störungen der ersten Ordnung keine secularen Glieder in den

§ 4. Gonvergenz der Entmekelungen nach Potenzen u. s. w. 297

Ausdrücken für die halbe grosse Achse, die Excentricität und für die Neigung der Bahn vorkamen. Wie es sich aber mit den Coeffi- cienten der höheren Potenzen der Massen in dieser Beziehung ver- hält, wussten sie nicht und dies muss, in der Hauptsache, bis jetzt als eine unbekannte Sache betrachtet werden.

Eine andere Schv^ierigkeit für die Convergenzuntersuchung gaben die „kleinen Divisoren". Vom Standpunkte der Störungs- theorie betrachtet, könnte ein vor der Integration unbedeutendes oder gar verschwindend kleines Glied zu Störungen von beliebig hohem Betrage Veranlassung geben, wenn nur die mittleren Be- wegungen der Planeten mit einander nahe commensurabel sind.

Andererseits zeigt die numerische Anwendung der Störungs- theorie auf das Planetensystem eine gute Uebereinstimmung zwischen der Theorie und den Beobachtungen. Man kann hieraus indirect schliessen, dass eine Gonvergenz, irgend welcher Art, wirklich vor- handen sein muss.

In Anbetracht der genannten Schwierigkeiten könnte man indessen darauf gefasst sein, dass die Reihen wenigstens nicht für beliebig hohe Werthe der Zeit convergent blieben. Sind aber die Reihen über- haupt für einen beschränkten Zeitraum convergent? Oder gehören sie zu den „halbconvergenten" Reihen — von der Art der Stieling'- schen Reihe, die wir im achten Abschnitt betrachtet haben — , die einen genäherten Ausdruck für die Functionen geben, wenn man einige Glieder im Anfange der Reihe mitnimmt, deren Glieder aber zuletzt ins Unendliche wachsen?

Die Antwort auf diese Fragen ist für die Anwendungen der Störungstheorie auf die Berechnung der Bewegung der Himmels- körper von der grössten Bedeutung. Sind nämlich die Reihen nur halbconvergent, so kann die Berechnung der Störungen höhei-er Ordnung unter Umständen als eine unnütze oder gar schädliche Arbeit betrachtet werden, und man thäte dann besser, die sehr zeitraubende Berechnung der Störungen höherer Ordnung zu unterlassen, und sich mit den Störungen der ersten Ordnung zu begnügen, in welchem Falle man natürlich genöthigt wäre, diese Berechnung für genügend nahegelegene Epochen neu aus- zuführen.

298 Gonvergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Es sei X irgend eine Coordinate, ^ für welche man durch Inte- gration der Differentialgleichungen der Bewegung den Ausdruck

(1) X = X^-\- ^X^+ p?X^ + /z3^3 + . . .

erhalten hat. Die Grösse ^ ist ein Repräsentant der störenden Planetmassen, so dass, wenn diese mit m^, m^, . . ., m^ bezeichnet werden, man

(2) m^= a^fi, r«2 = «2 ^ , . . . , m = «^ ^

hat, wo cZj, «2' ' ' • 1 ^.s ^^ endhche Zahlen zu betrachten sind, von welchen eine beliebig gewählt werden kann.

In (1) nennt man x^ die Störungen erster Ordnung, .r^ die Störungen der zweiten Ordnung u. s. w.

Bei der Behandlung der Frage nach der Convergenz der Reihe (1) sind zwei Probleme zu unterscheiden. Die Störungen der verschiedenen Ordnungen werden nicht durch geschlossene Aus- drücke gegeben, sondern in der Form unendlicher Reihen. Das eine Problem ist, die Convergenz dieser Reihen zu untersuchen. Das zweite Problem hat zum Gegenstand, die Convergenz der von den Störungen verschiedener Ordnung gebildeten Reihe (1) zu unter- suchen.

Mit dieser letzteren Frage wollen wir uns in diesem Para- graphen beschäftigen. Um uns vom erstgenannten Problem unab- hängig zu machen, wollen wir die Aufgabe so formuliren: lassen sich die Coordinaten im Drei -Körperproblem (bez. Problem der w- Körper) nach Potenzen der kleinen Massen entwickeln, und, wenn dem so ist, welcher Art ist die Convergenz dieser Reihen?

Die Antwort auf diese Frage ist vom Verfasser im Bulletin Astr. 1902 gegeben.

Wir bedienen uns der DELAUNAY'schen Elemente des fünften Abschnittes (§ 5). Wenn ausser der Sonne s Planeten vorhanden sind, so lauten die Differentialgleichungen

* Unter Coordiuate verstehe ich hier eine beUebige abhängige Veränderliche, es seien rechtwinklige Coordinaten, polare Coordinaten, osculirende Elemente o. d.

§ 4. Convergenz der Entwickelungen nach Potenzen u.

299

(3)

dt

dOj

dt

dHj dt

dF

ßi dir

dF

' ßidg,'

dF ßidhi'

U=U 2

dh dt

dgi dt

dhj dt

dF

ßidLi'

dF

ßi d Qi '■

dF ßidHi'

H, = ]/a.(l-e.2)cos J.

Die Störungsfunction F lässt sich nach Potenzen der kleinen Massen — oder nach fx — entwickeln, und man hat

(3*)

F=F^ + fiF,+tJi'F,+

Die Erweiterung PoincaeS's des CAUCHY'schen Existenztheorems (IX § 7) lehrt, dass das Integral der Gleichungen (8) nach Potenzen von /j. entwickelt werden kann, wenn fj, hinreichend klein gewählt wird, für alle Werthe von t, für welche die Entwickelung (3*) gültig ist, mit einer Beschränkung, die wir in IX § 7 formulirt haben für den Fall, dass die Entwickelung (3*) für alle Zeit convergirt.

Damit dies gilt, muss aber eine Bedingung erfüllt werden, die wir jetzt untersuchen wollen. Die Lösung der Grleichungen (3) sei:

Z. =Z.{t,fi), l. ==L{t,fx),

wo die Functionen L.{t, /j), G.{t, fji) u. s. w nach positiven Potenzen von u entwickelt sind.

300 Gonv&rgenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Für fx = 0 haben diese Functionen die Werthe

Z,{t,0), G,[t,0), H,[t,0),

(4)

l{t,0), g,{t,0), h^{t,()),

und nach IX § 7 ist erforderlich, dass F und die Ableitungen dieser Function nach Z, G u. s. w. nach Potenzen von L. — L^ {t, 0) , G. — (?. [t, 0) u. s. w. entwickelt werden können.

Die Functionen (4) reduciren sich aber im vorliegenden Falle auf Constanten, mit Ausnahme von l{t, 0), welche Function den Werth

/. {t, 0] = n.t + c.

hat. Die Grössen Z.{t, 0), G^{t, 0) u. s. w. sind in der That nichts anderes, als die zur Zeit ^ = 0 osculirenden Elemente der Planeten. Die Störungsfunction und ihre Ableitungen nach den Elementen sind aber analytische Functionen der Elemente, die für beliebige Werthe

(5) I

nach positiven Potenzen von L. — L!^^, G. — G-'^' u. s. w. — unter Voraussetzung, dass diese Grössen hinreichend klein gewählt werden — entwickelt werden können, welche Reihen für alle reellen Werthe der Zeit convergiren, wenn nur die durch (5) bestimmten Kegel- schnitte sich nicht gegenseitig schneiden.

Es genügt, um dies zu beweisen, das folgende einfache Problem zu betrachten. Es sei die Aufgabe gestellt, die Function

Vi + «2 - 2a COS ;

WO « < 1 ist, im Punkte l

wickeln. Es wird behauptet, dass diese Ent Wickelung in einer

§ 4. Convergenz der Entmckelungen nach Potenzen u. s. w. 301

endlichen Umgebung von 1=1^ convergirt und zwar für alle reellen Werthe von l^. Setze

dann ist

cos Z = cos Zq cos I — sin l^-^ sin |

= cos Iq — ^ cos Iq sin^ ^ | _ sin l^ sin | , und also

(6) v(t) = [! + «'- 2«cos/„]-/.(l + _,_L__)-'-,

wo

/ = 2 of (2 cos Iq sin^ 1 1 + sin Iq sin |) ist.

Die rechte Seite von (6) kann aber nach Potenzen von f ent- wickelt werden, wenn

I /"l < 1 + «2 _ 2 a cos Zo

ist, oder da a < 1 angenommen worden ist, wenn

(7) |/|<(l-e.)^

ist, was für einen Werth l^ auch habe.

Die Gleichung (7) ist aber erfüllt, wenn

(7*) SlsinHII + lsinlK^i^^'

ist.

Ist diese Bedingung erfüllt, erhalten wir also

(8) ^[l) = Ä, + Äj + A,p + ...,

wo A^, A^, A^ Functionen von l^ sind. Diese Reihe convergirt gleichförmig für alle Werthe von |, welche dem Bereich (7*) ange- hören, und zwar für alle reellen Werthe von l^. Wir nehmen an, dass (7*) für alle | erfüllt ist, welche die Ungleichheit

(9) \1\<Q befriedigen, wo q eine endliche Zahl bezeichnet.

302 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Die Reihe (8) convergirt dann gleichförmig im Gebiete (9).

Nun ist aber / eine holomorphe Function von |, die, für alle Werthe von l^ , in eine beständig convergirende Reihe nach Potenzen von | entwickelt werden kann. Folglich kann nach dem Theorem von Weieestrass (in „Zur Functionenlehre^') die rechte Seite von (8) in eine Reihe nach Potenzen von | umgeformt werden, die im Gebiete (9) convergirt, und zwar für alle reellen Werthe von /p. Man könnte aber offenbar nicht diesen Schluss ziehen, wenn für einen bestimmten reellen Werth von /^ die Grösse 1 + «2 — 2 oj cos Z(, gleich Null werden könnte.

Nach dem Obigen und nach den Auseinandersetzungen in IX § 7 gestaltet sich also die Convergenz der Reihen (1), welche die Coordinaten im Problem der w-Körper ausdrücken, in folgender Weise:

£Js sei eine beliebige reelle Zahl T gegeben\ dann lässt sich immer eine endliche, positive Grösse E finden der Art, dass die Coordinaten im Problem der n-KÖrper sich für alle | jU | < Ä nach Potenzen von (X entwickelt werden können, und zwar convergiren diese Reihen für alle Werthe der Zeit, t, welche dem Gebiete

O^t^T angehören.

Die Grösse T kann beliebig hoch gewählt werden. Man muss indessen hier zwei mögliche Fälle unterscheiden. Der Werth des Convergenzradius kann entweder von T abhängig sein, oder ist für alle T gleich. Die PomcAüfi'sche Hilfsfunction in IX § 6 führt zu einer Integralfunction, die nach Potenzen von p, entwickelt werden kann, und der Convergenzradius dieser Entwickelung ist von T abhängig, und geht gegen Null, wenn T ins Unendliche wächst.

Nach der im genannten Paragraphen gefolgten Methode kann man nicht beweisen, dass der Convergenzradius der Entwickelung des Integrals einer gegebenen Differentialgleichung grösser ist als der entsprechende Convergenzradius der Hilfsintegralfunction. Es kann aber vorkommen, dass der wahre Convergenzradius einen viel grösseren Werth hat, und im Besonderen kommt es vor, dass der Convergenzradius bei der Entwickelung des Integrals einer gegebenen

§ 4. Convergmz der Entiüickelungen nach Potenzen u. s. w. 303

Differentialgleichung, nach Potenzen eines Parameters \x, von T unabhängig ist. Die Sache könnte etwa durch Aufsuchung einer anderen Hilfsfunction erledigt werden.

Welcher von diesen Fällen (ob R von T abhängt oder nicht) bei den Differentialgleichungen für das Problem der n- Körper wirklich vorkommt, fordert eine besondere Untersuchung, Es scheint mir aber wahrscheinlich, dass hier B, nicht von T ab- hängig ist.

Die practischen Schlussfolgerungen für die Störungstheorie ist in den beiden Fällen sehr verschieden. Ist U von T abhängig, dann lässt sich, hei gegebenen Massen, mit Hilfe von Entwickelungen nach Potenzen der Massen die Gültigkeitsdauer der Entwickelungen nicht über eine gewisse Zeit treiben. Ist diese Maximalzeit erreicht, so lassen sich die Resultate nicht auf längere Zeit ausdehnen, auch wenn man Störungen von noch so hoher Ordnung in Betracht zieht.

Ist andererseits B von T unabhängig, so convergiren die Eeihen für unbeschränkte Zeit, so oft pi < R ist. Man kann dann mittelst der Störungsformeln- die Coordinaten für beliebig hohe Werthe der Zeit berechnen. Die Reihen leiden aber in diesem Fall an einem anderen Übelstand, der ihre practische Verwendung beschränkt. Um je höhere Zeit die Reihen benutzt werden sollen, desto mehr Glieder müssen in den Entwickelungen mitgenommen werden, um eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen, desto höherer Ordnung müssen die zu berücksichtigenden Störungen sein. Die Reihen sind für alle Werthe der Zeit convergent, aber die Convergenz wird mit wachsendem Werth von t verzögert.

In beiden Fällen — sei es, dass R von T abhängig ist oder nicht — lässt sich indessen ein wichtiger Schluss ziehen: Die Entwickelungen der Coordinaten im Problem der w- Körper nach Potenzen der Massen gehören nicht zu den halbconvergenten Reihen. Befindet man sich nur innerhalb des Gebietes der Convergenz, ist es sowohl berechtigt wie nützlich, Störungen höherer Ordnung in Betracht zu ziehen, um genauere Resultate zu erhalten. Je höherer Ordnung die berücksichtigten Störungen sind, desto genauer ist das Resultat.

Die numerische Anwendung dieser Betrachtungen auf das Planetensystem ist mit nicht kleinen Schwierigkeiten verbunden.

304 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Die Methoden des CAUCHT'sclien Existenztheorems geben im Allge- meinen allzu kleine Werthe für den Convergenzradius. Sie werden vielleicht doch genügen, um den Beweis führen zu können, dass die Entwickelungen nach Potenzen der thatsächlich vorhandenen Massen im Planetensystem für einen nicht zu unbedeutenden Zeitraum convergent bleiben. Es ist aber wahrscheinlich nicht unmöglich, bessere Hilfsfunctionen aufzusuchen, die es erlauben, den Conver- genzbereich schärfer zu bestimmen.

§ 5. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie.

In IX § 9 wurde gezeigt, dass die Entwickelung der Störungs- function in der Form

(1) ^=2^Xcos(eZ+e'/'+j^+//)

geschrieben werden kann, wo i, i', j, f alle ganzen, positiven und negativen, Zahlenwerthe annehmen. Hier bedeuten ^ und g' die Winkelabstände der PeriheHen von der gemeinsamen Knotenlinie der Planetenbahnen auf der unveränderlichen Ebene, und l und l' sind die mittleren Anomalien der Planeten, also von der Form

l = nt ~{- c , l = n' t ■\- c .

In Bezug auf die Coefficienten A'^^'^, wissen wir, dass sie ana- lytische Functionen der Excentricitäten , e und e, und der gegen- seitigen Neigung / der Planetenbahnen sind, welche in der Um- gebung von e = e' = /=0 nach positiven Potenzen von e, e und J entwickelt werden können, wobei die Coefficienten Functionen der halben grossen Achsen, a und d, der Planetenbahnen sind.

Die Reihe (2) 2|^X|

convergirt in einem Bereich — B — für a, d, e, e und /.

In Bezug auf die Entwickelung der Coefficienten A ist eine wichtige Eigenschaft zu bemerken, dass nämlich in der Entwickelung

§ 5. Gonvergenz der Reihen in der Störungstheorie. 305

(3*) £^l =^aePeiJ^

immer die Ungleichheit

(3) P + q + r^\i\-\i'\\ erfüllt ist.

Wird nun unter E ein beliebiges Element verstanden, so gilt für dasselbe die Differentialgleichung

(4) ^ = 2^X«o«(^^ + ^'^' + ^,>

Die Coefficienten B haben hier wesentlich dieselben Eigen- schaften wie die Coefficienten Ä in der Entwickelung der Störungs- function.

In der Störungstheorie werden (vergl. VI § 4), um die Störungen der ersten Ordnung zu erhalten, die Elemente g, g', a, d, e, e, J in der rechten Seite von (4) als unveränderliche Grössen betrachtet, und man erhält nach der Integration

t4*) ^ = 2' j~YT^ ™ {ii + i' r + -ö,,) + ct+

Es handelt sich darum, die Convergenzverhältnisse der in diesem Ausdruck auf der rechten Seite vorkommenden Summe zu untersuchen.

In Bezug auf diese Summe ist zuerst zu bemerken, dass alle solche Glieder, für welche i und i' dasselbe Vorzeichen besitzen, aus der Summe ausgeschieden werden können. Da nämhch für solche Glieder der Divisor \i7i -{- i' n | eine endliche untere Grenze besitzt, so bildet die Summe aller solchen Glieder eine Reihe, die innerhalb des Bereiches £ convergent ist.

In Folge der Ungleichheit (3) können wir die Aufgabe noch etwas vereinfachen. Wir können nämlich £-^.^^, auf das grösste Glied in der Entwickelung dieses Coefficienten — welche Entwickelung von der Form (3*) ist — reduciren, und indem wir eine Grösse x

Charlibr, Mechanik des mmmels. II. 20

306 Convergenz der Beihm in der Mechanik des Hi/mmels.

einführen, welche gleich der grössten der — zwischen Null und der Einheit gelegenen — Grössen e, e und / ist, so werden wir auf die Betrachtung einer Reihe von der Form

(5) 2•^sin(^7-^•'/' + i?;

geführt, wo

(5*)

1, 2, 3,

r = 2 — ^

und V gleich dem Verhältniss zwischen // und n ist.

Wäre V eine rationale Zahl, so würde ein Glied in (5) immer unendlich werden, aber auch, wenn v irrational ist, so können die Zahlen i und i' offenbar solche Werthe annehmen, dass der Nenner i — i' V einen behebig kleinen Werth annimmt. Hieraus entstehen die grossen Schwierigkeiten bei diesen Convergenzuntersuchungen.

Die rationalen Werthe von v können aus der Betrachtung aus- geschlossen werden, wenigstens wenn es sich um die rein störungs- theoretischen Reihen handelt. Die Werthe von i und i\ die so beschaffen sind , dass die Gleichung i — i' v = 0 genau erfüllt ist, geben nämlich zu secularen Gliedern Veranlassung, und diese Glieder sind im Coefficienten C (4*) enthalten.

Wir nehmen also an, dass v eine irrationale Zahl bezeichnet, und es ist immer erlaubt, sie kleiner als die Einheit zu betrachten.

In der Summe (5) sind die Factoren sin [il—i'l'-\-I)) nicht ohne Einfluss auf die Convergenzfrage, wie im nächsten Paragraphen näher untersucht werden soll. Wir werden indessen zuerst die Reihe

(6) S = 2|Äf|,

WO

r = \i-i' \

ist, betrachten, und gehen, nach dem Obigen, von der Voraussetzung aus, dass die Summe

§ 5. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. 307

(7) 2^i.^^

absolut convergent ist und einen endlichen Convergenzradius (< 1) besitzt.

Es existirt über diese Eeihe (6) ein Theorem, das zu den wichtigsten Entdeckungen in der Störungstheorie gehört, und das ein neues und ganz unerwartetes Licht auf die Convergenzver- hältnisse der bei der Behandlung des Problems der drei Körper auftretenden Reihen geworfen hat. Dieses interessante Theorem ist von Beuns in einem Aufsatze vom Jahre 1884 (Astr. Nachrichten Bd. 109) gegeben worden und lautet folgen dermassen:

Es sei eine beliebige reelle Grösse v^ gegeben und es bedeute d eine positive oder negative Zahl. Dann giebt es zwischen v = v^ und r = j/^ -j- <5, ivie klein 8 auch gewählt werden mag, eine unendliche Zahl von Jf erthen von v, für ivelche die Reihe (6) convergirt, und ebenfalls in demselben Gebiete eine unendliche Zahl von Werthen von V, für welche die Reihe diver girt.

Bezeichnen wir solche Werthe von v, für welche S convergirt, als Convergenzstellen, und solche Werthe, für welche S divergirt, als Bivergenzstellen, so sagt also das Theorem von Bruns aus, dass die Convergenzstellen und die Divergenzstellen überall dichte Mengen bilden (im ganzen reellen Gebiete für v).

Es genügt offenbar zu beweisen, dass es im genannten Gebiete einen Werth giebt, für welchen die Reihe convergirt, und einen, für welchen sie divergirt. Ist dies bewiesen, so folgt als CoroUarium, dass unendlich viele derartige Werthe existiren.

Die Reihe S (6) convergirt, wenn v die Wurzel einer irredu- ciblen algebraischen Gleichung ist mit ganzzahligen Coefficienten (und ohne rationale Wurzeln). Es sei

(8) G,v-^-\- G^v^-^ + ..M^ = 0

eine solche Gleichung, vjo Gq, G^, . . . , G^ ganze Zahlen bezeichnen.

Die Wurzeln dieser Gleichung, ausser v, seien v^, v^, . . ., v^,

und der Symmetrie wegen schreiben wir für v auch Vy Im Glied

20*

308 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

i— i' V multiplicire man Zähler und Nenner mit dem Produkte

dann ist

m

G^Yli' - '' "'s) = ^0«'"- G,i^—W:Sv^ + G,i^-^i'':Sv,v, + . . . = G^ i^ + G^ i^ -1 i' + 6^2 e - -2 f 2 + . . . + G-'^ r - .

Die rechte Seite dieser Gleichung ist nie Null, da (8) keine rationale Wurzel besitzt, und ist andererseits offenbar immer eine ganze Zahl, ist also immer mindestens gleich der Einheit. Wir be- zeichnen diesen Nenner mit N^^,. Schreiben wir weiter

G^^ii-i'v^) i^-'' «'s) • • • (^-^"^J = ^o^'™"' +^1 ^''""^^" + • • • + i/m-ii'™-S

wo Hq, H^, ..., Em-i gewisse, von i und i' unabhängige Zahlen bezeichnen, so wird die Summe S m m Reihen getrennt, welche sämmtlich die Form

(9) ^.21 —

Nur

haben, und hier ist nun r = \ i — i' \ , | iV.. | ^ 1 .

Ziehen wir in Betracht, dass hier nur solche Werthe von i und i' mitgenommen zu werden brauchen, für welche die Divisoren i — i' V einen kleinen Werth e nicht übersteigen, so ist ersichtlich, dass (9) gleichzeitig mit (7) convergiren muss. Die Reihe S ist also convergent, so oft v eine Gleichung von der Form (8) befriedigt.

Die Zahlen, welche einer algebraischen Gleichung mit ganz- zahligen Coefficienten genügen, sind aber (man vergleiche das Beispiel unten) in der Zahlenreihe überall dicht vertheilt, und hiermit ist der erste Theil des Beuns' sehen Satzes bewiesen.

§ 5. Convergenz der Reihen in der Störimgstheorie. 309

Dass es sich in ähnlicher Weise mit den Divergenzstellen verhält^ beweist Beuns in folgender Weise:

Wir nehmen an, dass v durch eine Eeihe der folgenden Form dargestellt ist

wo die €. je nach Bedarf die Zahl + 1 oder — 1 bedeuten, und Äj, Äg, Äg, ... ganze Zahlen sind, welche der Ungleichheit

(11) Ä„+i^2Ä„-l, h,^2

genügen.

Die Zahlen ä. mögen sonst in beliebiger Weise gewählt werden.

Die Zahlen i und i' in (6) können beliebige (positive) Zahlen- werthe annehmen. Man betrachte die Reihen von Werthen von i und i', welche nach dem folgenden Gesetz gebildet sind:

(12)

/ 1 «2 e„

.h_

ist. Wir bemerken, dass die somit erhaltenen Werthe von i und i' ganze , positive Zahlen sind. Hieraus erhält man , da v in der Form

geschrieben werden kann,

1	4- '' + E,	+	l^-
kann.
'v=^-			^o+2
h	a + lAa + 2

und in Betracht der Ungleichheit (11) genügt es, für hinreichend grosse Werthe von a diesen Ausdruck auf das erste Glied zu

310 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

reduciren. Statt (6) erhalten wir also, wenn nur diejenigen Glieder, welche den Werthen (12) für i und i' entsprechen, in Betracht ge- zogen werden, die Summe

(13) y = 2^a+l I J^ii' 1 ^^

Die Zahlen ha können aber völlig willkürlich gewählt werden, wenn nur die Ungleichheit (11) erfüllt ist. Werden sie so gewählt, dass für alle a

(14) h,,

ist, so findet man, dass (13) divergirt, einen wie kleinen Werth x auch haben mag.

Das Bildungsgesetz (10) für v zeigt unmittelbar, dass die so bestimmten Divergenzstellen eine überall dichte Zahlenmenge bilden. Man braucht in der That nur die Zeichen der verschiedenen «a zu verändern, um dies zu beweisen.

Da man zum Ausdruck (10) für v eine beliebige rationale Zahl hinzufügen kann, ohne dass die obigen Betrachtungen eine Ver- änderung erleiden, so findet man also, dass die Divergenz stellen in der ganzen Zahlenreihe überall dicht vertheilt sind. Man kann in jedem noch so kleinen Intervalle der reellen Zahlen beliebig viele solcher Irrationalitäten aufstellen, für welche die Reihe (6) sicher divergirt.

Beispiel 1. Wir nehmen an, dass v = \:'^b ist, so dass

(15) 5 »'2 - 1 = 0

ist; eine Gleichung, welche die Form (8) hat. Die Reihe (6) muss dann con- vergiren. In der That hat man hier

I Ku, x'" I _^ I Kji, 7^ {i + i' v) I

oder nach (15)

|5Z,,,x'•(^• + ^"y) I -^ I 5 *'* — «^ I

eine Reihe, die offenbar gleichzeitig mit (7) convergent ist.

§ 5. Converg&nx der Beihen in der Störungstheorie.

311

Beispiel 2. Es wird verlangt eine Divergenzstelle aufzusuchen, die von der Convergenzstelle des vorigen Beispiels weniger als auf 1:1000000 abweicht. Die Coefficienten Ä,„ werden sämmtlich gleich der Einheit gesetzt.

Zu dem Zweck wird j' = 1 : ]/5 nach dem BßUNs'schen Algorithmus ent- wickelt. Wir erhalten nach einander:

					2v - ]	=	- 0.10558	= -	''1 >
					9"! -	=	- 0.04978	= -	"2.
					20 v^ - ]	L =	- 0.00440	= -	"3,
					227 vs -	l =	- 0.00120	= -	'4,
					833 »'4 - ]	=	- 0.00040	= -	»'5,
also
v =	1 2	]	"9"	+	1 2-9-20	~2	1 •9-20-227	-f-	2-9

Es ist also in diesem Falle h^ = 2, h^ = 9, A3 = 20, /?4 = 227, Ä5 = 833. Wollen wir eine Divergenzstelle der verlangten Art erhalten, so bestimmen wir eine irrationale Zahl Ä der Art, dass die vier ersten Glieder mit den ent- sprechenden Gliedern in v übereinstimmen, lassen aber die Grössen h^, h^ u. s. w. noch unbestimmt. Wir erhalten somit

2 2-9 2.9-

2-9-20-227 2.9-20-227-A,

2.9-20.227-Ä5-Äe

Die Äj, Ag u. s. w. werden nun so bestimmt, dass man nach (12) und (14) setzt:

i?4 = 2-9-20-227 = 81720,

-'^.(i-	1 , 1	1 >
2.9 ' 2-9-20	2-9-20-227
*'4 = ^4 ,
u = \h- h'	= 45174,
h, = 4«"*.

= 36 546,

312 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Weiter bekommt man

1

4 = 2.9.20.227.4«- (1-^ + ^^-^

2.9.20.227

n^ +

2.9-20-227.4""* / ' i's = 2.9-20.227.4*5i74^

Äg = 5'^ ~ ^ u. s. w. Die Reihe (13) lautet

S' = ... + 4*5 1'* X« 1'* + (5 xf-'"- + . . .

imd divergirt, was für einen Werth x auch hat.

Indem man die Zeichen von e^, b^ u. s. w. wechselt, erhält man eine be- liebige Anzahl von Divergenzstellen, die sich auf weniger als 1:68000000 von V = 1 : 1/5 unterscheiden.

Man könnte, nachdem diese eigenthümlichen Convergenz- verhältnisse der Reihe (6) erwiesen worden sind, die Frage auf- stellen , ob überhaupt die durch die Störungstheorie erhaltenen Reihen einen wirklichen mathematischen Sinn haben. Wollte man, um einen solchen zu erzwingen, die mittleren Bewegungen — und somit auch v — auf solche Werthe beschränken, für welche die Reihe (6) convergirt, so würde man zwar in der Praxis in dieser Weise beliebig grosse Annäherung erhalten können, da die Con- vergenzstellen eine überall dichte Menge bilden. Man würde aber in dieser Weise nur die Schwierigkeit verschoben nnd nicht über- wunden haben. Wir wissen nämlich — nach dem Cauchy-Poincae:&'- schen Existenztheorem — , dass die Coordinaten im Drei -Körper- problem analytische Functionen der Integrationsconstanten sind, und man könnte kaum erklären, wie eine Lösung der Differential- gleichungen, welcher diese Eigenschaft fehlt, zu einer Bestimmung der Integrationsconstanten aus den Beobachtungen benutzt werden könnte.

Bevor ich zur Lösung dieser Schwierigkeiten übergehe, will ich einen interessanten, von Gyld£n gemachten Versuch auseinander- setzen, durch den er so zu sagen die Spitze der Schwierigkeiten abbrechen will.

§ o. Convergenx der Eeihen in der Störungstheorie. 313

Gyld£n sucht nämlich zu beweisen, dass, obgleich die Con- vergenz- und die Divergenzstellen überall dicht vertheilt sind, die WahrscheinlicJikeit einer Divergenz doch unendlich klein ist.

Er stützt sich hierbei auf einen merkwürdigen, von ihm ge- fundenen mathematischen Satz, den ich zuerst ableiten will, wobei ich mich indessen auf das für die astronomische Frage Nothwendige beschränke.

Die Untersuchungen GyldM's über diese Frage sind in zwei schwedisch geschriebenen Abhandlungen in „Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens FörhandHngar" 1888 enthalten, von welchen er ein kurzes Eeferat in den „Comptes Rendus" der Pariser Academie vom Jahre 1888 gegeben hat. Diese Untersuchungen sind später von Beod^in (Meddelanden frän Lunds Observatorium Nr. 11, 1900) und WiMAN (in „Öfversigt etc." 1900, Nr. 7) ergänzt und vertieft worden.

Es sei V eine gegebene, zwischen 0 und 1 gelegene, irrationale Zahl,^ für welche die Kettenbruchentwickelung

(16) «/ = — 1

«1 + — ,1

gültig ist, und wo a^, a^, a.^, ... positive Zahlen bezeichnen, deren Werthe mit v eindeutig bestimmt sind.

Die Zahl v hat einen beliebigen Werth zwischen 0 und 1, so dass alle Theilstrecken von derselben Länge im genannten Intervalle als gleichberechtigt betrachtet werden sollen. Wir nehmen also als gleich wahrscheinlich an, dass v zwischen i\ und v^ + Sv^ oder zwischen v^ und v^ -{- Sv^ fällt, wenn v^ und v^ beliebige Werthe zwischen 0 und 1 haben, und Öv^ = Sv^ ist.

Es lässt sich dann die folgende Aufgabe aufstellen und beant- worten: Wenn die Zahlen a^, a^, . . ., a^ im Kettenbruch gegeben sind, welches ist 1) die Wahrscheinlichkeit F^^ ^ > dass die nächstfolgende

1 Für den hier abgeleiteten mathematischen Satz ist nicht nothwendig, dass die rationalen v- Werthe ausgeschlossen werden.

314 Gonvergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Zahl a„+i einen Werth k annimmt [k eine ganze Zahl), welches ist 2) die llahrscheinlichkeit /Ant, dass a„+i^Ä ist.

Um die Frage klar zu legen, fangen wir mit einem einfachen Beispiel an.

Es sei eine Relation

(17) y = -^

1 + —

zwischen den beiden Grössen x und y gegeben.

Hier kann x alle reellen Werthe — also nicht nur die ganzen Zahlenwerthe — zwischen 1 und oo annehmen und für t/ sind alle Werthe zwischen ^2 ^^^ 1 gleich wahrscheinlich. Es wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass x zwischen 1 und 3 liegt.

Offenbar wächst y continuirlich mit x. Für x = 1 ist y = ^/g, für X = 3 ist ?/ = ^1^, und da nach der Voraussetzung 3/- Werthe zwischen ^/g und ^/^ ebenso wahrscheinlich sind wie 1/ - Werthe zwischen ^/^ und 1, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen 1 und 3 liegt, gleich ^1^.

Gehen wir zu der allgemeineren GTLDfiN'schen Aufgabe zurück, so wollen wir zuerst an einige bekannte Eigenschaften der Ketten- bruchentwickelung erinnern. Wir bezeichnen den Näherungsbruch des Kettenbruches (16), die aus a^, a^, . . ., a^ gebildet ist, mit

(«1, «2' • • •' '^n)^^'

dann gelten bekanntlich die Relationen

(18)	^n + l = «n + l ^n + ^«-1 , ^«+1 = ««+1 «n + ^n-1
(19)

WO r^ = 1, Tg = 02, s^ = a^, s^ = a^a^ + l.

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten werden nun von Beod^in 1. c. in folgender Weise abgeleitet.

§ 5. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. 315

Es sei n eine bestimmte Zahl, und man setze für a^, «g» • ••> «„ bestimmte Werthe voraus, nicht aber für ö„+i, a„+2 u. s. w. Dann sind die möglichen Werthe des Kettenbruches zwischen (a^, a^, . . ., aj und [a^, a^, . . ., a^, 1) enthalten, und die erste oder zweite dieser Grenzzahlen ist die kleinere, je nachdem n gerade oder ungerade ist. Es ist somit v an eine Strecke von der Länge

li = (-i)M(«i. •••, «„, i)-K> ■'■, «J

gebunden. Nach (19) und (18) findet man hierfür den Ausdruck (19*) /„i = ^ = — — ^ r •

"^ «n *n+l *n («n + «n-l)

Es sei ferner k eine ffanze Zahl ^1. Ist a„+i^Ä, wobei ön+2 5 fln+3 > • • • beliebige Werthe annehmen , so muss der ent- sprechende Werth von v in die Strecke

fallen, welche Strecke nach (19) die Länge

^^^"^ ^"^ ^ ^n(^-n + -«-l)

hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass, bei gegebenen a^, ..., a^, ön+i = Ä ist, wird durch den Quotienten von l^^ und l^^ aus- gedrückt und setzen wir

(20) q^ = ^>

80 ist also diese Wahrscheinlichkeit //^^^ gleich (21) Ki. = li^-'

' Bei Gyld^n hat sich bei der Ableitung dieser Wahrscheinlichkeit ein Rechenfehler eingeschlichen, der von Beod^n corrigirt worden ist.

316 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Je grösser k ist, desto kleiner ist also die Wahrscheinlichkeit, dass «„+1 einen Werth hat, der gleich oder grösser als k ist. Diese Wahrscheinlichkeit hängt von q^ ab. Indessen findet man aus (18), dass q^ immer kleiner als die Einheit ist. Folglich muss JF in den folgenden Grenzen eingeschlossen sein:

(22) \<W<

k + \

Die IVahrscheinlichkeit , dass ein beliebiger Theilnenner a im Kettenbruch, ganz abgesehen von den M^erthen der übrigen Theilnenner, grösser als k ist, wird also immer kleiner als 2 : k sein.

(22*) r<|

Es ist dieser Satz, den wir für das Folgende brauchen.

Man kann aus (21) die Wahrscheinlichkeit F^,^ ableiten, dass a„+i, bei gegebenen a^, a^, . . ., a^, genau den Werth k annimmt. Wir erhalten

(k + q„){k + 1 + q„)

und für hinreichend grosse Werthe von k findet man, dass F, bei beliebigen Werthen von a^, a^, ,.,, a^, immer kleiner als 2 : P ist.

Gyld£;n hat aus diesen Sätzen verschiedene interessante Schluss- folgerungen gezogen, von denen ich nur den eigenthümlichen Satz erwähne, dass, bei der Entwickelung einer beliebig gewählten Zahl im Kettenbruch, der wahrscheinliche Werth eines Theilnenners — a — gleich 2 ist, so dass bei einer solchen Entwickelung ebenso oft 1 als Nenner vorkommt, als solche Zahlen, die grösser als 2 sind.

Für die astronomischen Anwendungen dieser Wahrscheinlich- keitsuntersuchungen genügt es, den Satz (22*) in Betracht zu ziehen.

§ 5. Convergenz der Beihen in der Störungstheorie. 317

Wir kehren nun zur Gleichung (6) zurück, wo wir, der Einfach- heit halber, 1^^= 1 setzen, ^ Weiter werden in der Reihe nur die- jenigen Werthe von i und i' in Betracht gezogen, welche den Näherungsbrüchen r^ : s^ der Kettenbruchentwickelung von v ent- sprechen. Der entsprechende Exponent von x in (6) hat dann, für V <C l , den Werth s^ — r^, und da r^ annähernd den Werth v s^ hat, so können wir also statt (6) die Reihe

(23) f/=2

Tn — SnV

betrachten, wo e eine Grösse, die < 1 ist, bedeutet, deren Werth annähernd durch die Formel 6 = x'^-" gegeben wird.

Nach einem bekannten Satz aus der Theorie der Kettenbrüche hat man

und also ist genähert

( - l)«+i r„ — s^v = >

SO dass wir mit einer Reihe von der Form zu thun haben. Setzen wir hier, nach (18), SO zerfällt (23) in zwei Reihen, U' und U", von denen die eine

* Dies ist berechtigt, da wir von der Voraussetzung ausgegangen sind, dass die Summe '^Ku,'/ einen endlichen Convergenzradius besitzt. Die obige Annahme bedeutet nur, dass wir den Convergenzradius gleich der Einheit wählen.

318 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

offenbar immer convergirt. Die zu untersuchende Reihe lautet somit

(24) Ü'^^a^^^s^e^n.

Aus dieser Form lässt sich die Ueberalldichtheit der Gonver- genz- und Divergenz stellen unmittelbar beweisen. Sind nämhch die Theilnenner a^, a^, . . . , a^ gegeben, so muss v auf die Strecke l^^ (19*) beschränkt sein. Werden nun a^+i , a„+2 u. s. w. so gewählt, dass sie sämmtlich kleiner als eine beliebige endliche Zahl k sind, dann ist offenbar die Reihe V convergent, und diese Convergenz- stellen sind in der genannten Strecke überall dicht vertheilt. Aehu- liches gilt von den Divergenzstellen, wenn man die Zahl a^+i in passender Weise wählt (z. B. indem man a„ ^.i ^ 6" *« setzt).

Gyld£n stellt nun die Behauptung auf, dass die Wahrschein- lichheit für die Divergenz der Reihe (24) unendlich klein ist.

Dieser Satz, dessen Beweis von Gyld£n nur angedeutet wird, wird von Wimak 1. c. abgeleitet. In der folgenden Darstellung habe ich diesen Beweis zu vereinfachen versucht.

Erstens findet man, dass die Reihe (24) gleichzeitig mit der Reihe

(25) U"' = ^a,^,e^n

convergirt oder divergirt. Wir betrachten deswegen diese Reihe.

In Bezug auf die Gonvergenz einer Potenzreihe gilt indessen folgender Satz.

Es sei eine Potenzreihe

(26) 24^^^

gegeben. Wenn dann für alle n, die grösser als n^ sind, die Un- gleichheiten

(26*) I ^„:r^« I ^1

stattfinden, so convergirt (26) absolut für alle | x | < | a;^ 1 .

§ 5. Convergenz der Eeihen in der Störungstheorie. 319

Umgekehrt ist die Reihe nicht absolut convergent, wenn es nicht möglich ist einen derartigen Werth n^ von n zu finden.

Wendet man dieses Theorem auf die Summe (25) an, so ist diese Reihe convergent für alle e < s^, wenn von einem gewissen Werth n = n^ an und für alle grösseren die Ungleichheiten

(27) """+'- TT

stattfinden.

Welche Wahrscheinlichkeit ist dafür vorhanden, dass die Gleichungen (27) für alle n > n^ erfüllt sind?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse dieser Ungleichheiten nicht erfüllt ist, wird nach (22*) kleiner als

2 6,

Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass (27) für ein gewisses n erfüllt ist, grösser als

1 - 2 6i%

und die Wahrscheinlichkeit, dass sämmtHche Gleichungen (27) be- friedigt sind, ist grösser als das Product

n(i

€/«,

welcher Ausdruck aber für einen hinreichend hohen Werth von n^ behebig nahe der Einheit kommt. Die Wahrscheinlichkeit für die Convergenz der Reihe (25) unterscheidet sich also von der Einheit um eine unendlich kleine Grösse.

Die Wahrscheinlichkeit für die Divergenz der Reihe (25), und also auch der Reihe (23), ist somit unendlich klein. W. z. b. w.

Ueber die Bedeutung des GYLDfeN'schen Satzes hat zwischen den Herren BkodM und Wiman ein theilweise sehr lebhafter

320 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Meinungsaustausch stattgefunden, ^ der in vielen Beziehungen von Interesse ist. Wiman hält die GTLDfiN'sche Behauptung in strengstem mathematischen Sinne aufrecht, wogegen von BKODf:N die Ansicht ver- fochten wird, dass der Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht auf die hier vorkommenden, überall dichten Zahlmengen ausgedehnt werden darf.

Wie dem auch sei, so ist aus diesen Untersuchungen hervor- gegangen, dass zwischen den Divergenz- und den Convergenzstellen ein bestimmter mengentheoretischer Unterschied besteht, für welchen man, nach meiner Ansicht, ohne grosse Missverständnisse zu befürchten, den Ausdruck GyldSn's, dass die Wahrscheinlichkeit für die Divergenz unendlich klein sei, anwenden kann, obgleich es sehr möglich ist, dass man hierfür einen adäquateren mathe- matischen Ausdruck finden könnte. Unzweifelhaft ist auch, dass dieser Satz von grosser Bedeutung für gewisse Probleme in der Mechanik des Himmels ist; ich hoffe, dass ich in einem folgenden Abschnitt Gelegenheit habe, auf diese Frage zurückzukommen.

Dagegen löst man nicht in dieser Weise die Schwierigkeiten, welche das Theorem von Beuns in Bezug auf die Reihe (6) enthüllt hat. Auch wenn die Wahrscheinhchkeit für die Divergenz noch so klein ist, so hindert dies nicht, dass man, z. B. bei der Bestimmung der Werthe der Integrationsconstanten, gezwungen wird, bei einer continuirhchen Veränderung der Anfangszustände nach einander eine unendliche Zahl Convergenz- und Divergenzstellen zu passiren. Die Constantenbestimmung würde unter solchen Um- ständen mathematisch unverständlich erscheinen, und die ganze Störungstheorie würde auf einem trügerischen Untergrund aufgebaut sein. Glücklicherweise lassen sich die betreffenden Schwierigkeiten in anderer Weise beseitigen, wie wir im nächsten Paragraphen näher auseinandersetzen wollen.

Brodln: Bemerkungen über Mengenlehre und Wahrscheinlichkeits- theorie. Malmö 1901.

Wiman: Bemerkungen über eine von Gyld^n aufgeworfene Wahrschein- lichkeitsfrage. Lund 1901.

Broden : Noch einmal die GvLD^N'sche Wahrscheinlichkeitsfrage. Malmö 1901.

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. 321

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. Fortsetzung.

Die Untersuchungen von Beuns beziehen sich auf die Eeihe (6) des vorigen Paragraphen, wogegen die Reihen in der Störungs- theorie thatsächHch von der Form (5) oder (4*) sind. Nun folgt zwar aus der Convergenz der Reihe (6), dass auch (5) convergiren muss; es ist aber nicht nothwendig, dass (5) für solche r-Werthe divergiren muss, welche den Divergenzstellen der Reihe (6) ent- sprechen. Es sind in der That die trigonometrischen Factoren in der Reihe (4), welche bewirken, dass das Integral dieser Differential- gleichung als eine analytische Function des Verhältnisses v zwischen den mittleren Bewegungen n und n dargestellt werden kann. ^

Indem wir bemerken, dass die Grössen in + i' n, wo i und i' alle positiven und negativen ganzen Zahlenwerthe annehmen, eine abzählbare Menge bilden, können wir die zu untersuchende Difi'e- rentialgleichung in der Form

rl TP ^

scbreiben.

Wird diese Gleichung zwischen t^^ und t integrirt, so er- halten wir

(2) ^ - ^0 = 2 r t^i^ (^^ ^+Gs)- sin [K fo + GJ]

+ C{t-t,), wo (2*) C=SJ cos G,

ist; diese Summe ist über alle Glieder auszudehnen, für welche A. - 0 ist.

^ Die hier gegebenen Betrachtungen sind hauptsächlich in einem Aufsatz des Verfassers: „Einige Bemerkungen über die Convergenz der Reihen in der Störungstheorie," Astr. Nachr. 2913, 1889, enthalten.

Chaklier, Mechanik des Himmels. II. 21

322 Convergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

Es wird angenommen, wie im vorigen Paragraphen, dass die Summe

CO

2^,

absolut coQvergent ist, und also auch die Summe (2*), und es lässt sich dann beweisen , dass E eine analytische Function von n und n ist.

Man hat it der That

sin (//+(?J- sin (//, + &',) =

2cos[^(^+0 + G'.,Jsin^(^-g, und also

(3)

E-E, = ± ^cos [1 it + g + g}^ sin

f(^-0-

Nun gilt aber für alle reellen Werthe von /.^ und t — t^ die Ungleichheit

(4)

sin^(^-g| <|^(^-0|.

Schreiben wir nun

(5)

so ist

^-^0 = 2 -r

* 2 J. ^i>=2 ^cos

(^+g + G^,

sinA(^_g

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. 323

und nach (4) hat man somit

(6) ^^<(^-oi;Mj-

Nach der Voraussetzung ist aber 2A absolut convergent; wir können also, wenn eine beliebig kleine Grösse a gegeben ist, immer eine Zahl p' finden, derart, dass, für alle p > p',

2 M J < ^

ist. Wir bekommen dann

Diese Gleichung zeigt, dass, für alle endlichen reellen Werthe von t, die Zahl p' immer so gewählt werden kann, dass, für alle p > p', das Restglied in (5) einen behebig kleinen Werth annimmt. Diese Reihe, und also auch (2), ist somit für alle reellen Werthe der Zeit convergent, und zwar absolut convergent, so dass man die Glieder gegen ihre absoluten Beträge vertauschen kann. Indessen kann der Werth des Restgliedes von t abhängig sein. Nach der Terminologie von Weiekstrass (,, Abhandlungen aus der Functionen- lehre". S. 70) sagt man dann, dass die Reihe nicht gleichmässig convergent ist, indem für verschiedene Werthe von t verschiedene Werthe von p' gewählt werden müssen, damit das Restglied unter eine gegebene Grenze fällt.

Die Untersuchung von Bruns bezog sich auf die Reihe

(8)

und gab als Resultat, dass bei dieser Reihe die Convergenz vom Werthe des Verhältnisses — v — zwischen n' und 7i abhängig war, und zwar stellte sich heraus, dass die Convergenz- und die Diver- genzstellen dabei überall dicht vertheilt waren. Bei den in der

21*

324 Convergmz der Feihen in der Mechanik des Himmels.

Störungstheorie thatsächlich vorkommenden Reihen, welche von der Form (2) sind, erscheint dagegen das Integral als eine continuir- liche und analytische Function von v, die Divergenzstellen der Reihe (8) bewirken in der That hier nur, dass die Convergenz nicht eine gleichmässige wird.

Bevor wir zu den astronomischen Schlussfolgerungen aus diesem Satze übergehen, will ich die obigen Betrachtungen etwas erweitern.

Wir haben im Obigen angenommen , dass die Differential- gleichungen in der Störungstheorie sämmtlich von der Form

(9) ^ = 2^.cos(X,^+(?J

sind, und wir haben in VI § 4 gefunden, dass man die Störungen immer aus solchen Differentialgleichungen erhalten kann. Indessen zeigte sich im genannten Paragraphen, dass in einigen Fällen — näm- lich wenn es sich um die Störungen der mittleren Länge handelte — schon bei den Störungen der ersten Ordnung in der rechten Seite von (9) das Integral über eine unendliche Reihe von derselben Form (9) vorkommen kann. Wir haben dann in diesem Falle eigentlich mit einer Differentialgleichung von der Form

(10) If = 2^^.cos(A,^+6^J

zu thun, und wir wollen untersucheu, wie die obigen Schlüsse dann modificirt werden müssen.

Nach (2) bekommen wir aus (10) zuerst

(11)

^-^ = ± t ^^^^^'^^ + ^'^) - ^^"('^^0 + ^^^^

^C{t-t,),

C = S A„ cos G.

ist.

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie.

325

Die Integration von (11) giebt

(12) ^ = - 2 4j^^s ^{c[t- t,f + ^[t - g + x„

wo

H = cos (A^ i+G;}- cos (;., t, + G-j + sin [).^ f, + (?j x >., (< - ^o)

ist. Man hat aber

Il, = -2 sin [i^ (^ + Q + gJ^ sin | [t-f,] + sin (A/, + G) X A, (< - t,),

■welchen Ausdruck wir in der Form

ff

Kit-h)

sin [-^ [t + ^,) + g}^ - sin (/./„ + GJ + 2sin [^ (? + g + G^J {-^(^ - g - sin A(^_ g| schreiben können, oder

Hs = - 2cos [^(^+ 3g + G^J sin-^(^- g x A,(^-g + 2 sin [-^ (^ + t,) + gJ {^(^ - g - 8in^(^ - g} .

Es gelten indessen für alle reellen Werthe von /.^ und t — t^ die folgenden Ungleichheiten

|8inA(^_g|<|_^(^_g|, ^[t- g _ sin A(^ _ g I < A_ I ;.^3(^ _ g3 |

von denen die letztere aus der Potenzentwickelung der Sinus- Function abgeleitet werden kann. Folglich hat man

326 Convergenz der Reihen in der Mechamk des Himmels.

und, wenn dieser Werth in (12) eingeführt wird, ist

(13)

•^ = -2Ä[cos(A^^+&'J-cos(A/, + 6=J + sin(A/,+ (?JxA,(^-g]

+ ^c{t - t,Y + ^{t - t,) + X, + b;,

(13*) ^; ^ (^ - gH2 MJ + (^ - Q'^Yh I K A I

Das Eestglied kann also, für einen gegebenen Werth von t, dadurch beliebig klein gemacht werden, dass p hinreichend gross gewählt wird. Die im Ausdruck für x vorkommende Reihe ist also absolut convergent, obgleich der Werth des Restgliedes unter Umständen von t abhängig sein kann. Es ist nicht nothwendig, dass dem so ist. Wenn nämlich die Reihe

(14)

A, I

171

convergirt, was für gewisse i;-Werthe der Fall ist — wie im vorigen Paragraphen bewiesen wurde — , so ist B^ nicht von t ab- hängig. In jedem Fall gilt indessen die Ungleichheit (13*), sei es, dass die Reihe (14) convergent ist, oder nicht.

In der Formel (13*) ist das zweite Glied im Allgemeinen ver- schwindend, da es sich hier hauptsächlich um solche Glieder handelt, bei denen die Grössen A^, einen sehr kleinen Werth an- nehmen. Wird die Reihe (13) bei einem bestimmten Glied ab- gebrochen — wie es in der Praxis ja nothwendigerweise der Fall sein muss — , so wächst also der übrig bleibende Fehler propor- tional dem Quadrate der Zeitdifferenz.

Das Integral der Gleichung

§ 6. Convergenz der Reihen in d&r Störungstheorie. 327

ist nach (2) von der Form

und ist eine analytische Function der verschiedenen l^, die in der Umgebung von A^ = 0 nach positiven Potenzen von l^ entwickelt werden kann. Es folgt hieraus, dass E auch eine analytische Function des Verhältnisses von n und n ist.

Dies Integral wird im Allgemeinen in der Form

E

= K+ Sf' sin(A/ + öj + c[t - g

geschrieben, wo K eine Integrationsconstante bezeichnet, und die Convergenzuntersuchungen werden an die Reihe

(15) ^^^^MKt

geknüpft, welche die von Beuns entdeckten merkwürdigen Eigen- schaften besitzt. Indessen übergeht man dabei stillschweigend, dass die Integrationsconstante K selbst eine Function von \, l^, Ag, ... ist, welche dieselben Singularitäten besitzt wie die Beihe (15), und dass diese Singularitäten in der That sich gegenseitig aufheben.

Aehnliches gilt vom Integral der Differentialgleichungen von der Form (10).

Die nicht gleichmässige Convergenz der Reihen in der Störungs- theorie hat zur praktischen Folge, dass man genöthigt wird desto mehr Glieder in den Reihen mitzunehmen , je länger die Zeiträume sind, für welche diese Reihen die Coordinaten der Planeten darstellen sollen. Früher oder später werden die Rest- glieder in den Reihen (5) und (13) sich merkbar machen, und die Ungleichheiten (6) und (13*) geben interessante Aufschlüsse über

328 Gonvergenz der Reihen in der Mechanik des Himmels.

die Art, in welcher sich die Abweichungen zwischen Theorie und Beobachtung zeigen müssen. Die in (5) vernachlässigten Glieder wirken, als ob ein der Zeit proportionales Glied ausser Acht gelassen worden ist, wogegen in (13) der Fehler proportional der zweiten Potenz der Zeitdifferenz wächst.

Auf die Elementenstöruugen übertragen sagt dieser Satz aus, dass man, bei einer Störungsrechnung, folgende Unterschiede zwischen der Theorie und der Beobachtung zu erwarten hat:

Bei der halben grossen Achse, der Excentricitdt, der Neigung, der Perihellänge und der Knotenlänge werden Fehler, welche proportional der Zeit wachsen, zum Vorschein kommen. Diese Fehler haben den Anschein, als ob die secularen Glieder aus der Theorie nicht richtig abgeleitet sind.

Bei der mittleren Länge kann der Unterschied ztvischen Theorie taid Beobachtung proportional der zweiten Potenz xcachsen. Dieser Fehler tritt als eine seculare Veränderung in der mittleren Be- wegung auf.

Es fehlen in der Geschichte der Astronomie nicht Beispiele von solchen Mängeln an Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung. Das berühmteste Beispiel dieser Art ist die von Halley 1693 entdeckte seculare Beschleunigung der Länge des Mondes, die nach Hallet 10".2 betrug, so dass es also, um eine Ueberein- stimmung mit den Beobachtungen zu erhalten, nothwendig war, ein Glied

+ 10".2^2

zu der aus der Theorie erhaltenen Länge des Mondes hinzuzufügen.

Dies Glied hat also genau die Form, die man erwarten könnte, wenn man diesen Unterschied aus den von der Theorie vernach- lässigten Gliedern erklären wollte , und in der That gelang es Läplace 1786 ein von der Theorie bis dahin nicht berücksichtigtes Glied zu entdecken, welche die HALLEY'sche Ungleichheit in be- friedigender Weise erklärte.

Von solchen Abweichungen zwischen den Beobachtungen und den astronomischen Störungsrechnungen hat in unserer Zeit eine

§ 6. Convergenz der Reihen in der Störungstheorie. 329

unerklärte seculare Störung in der Länge des Perihels des Merkurs zu umfassenden Discussionen und Untersuchungen Veranlassung ge- geben. Newcomb, dem man die vollständigsten Untersuchungen über diese Frage verdankt, findet („The Elements of the four inner planets and the fundamental constants of astronomy," Washington 1895) für die jährliche mittlere Perihelbewegung des Merkurs (1850) die Werthe:

Aus den Beobachtungen + 5".751 ,

„ der Theorie + 5".338,

so dass eine jährliche Abweichung von + 0".413 unerklärt bleibt, die ungefähr 7.2 ^/^ des ganzen beobachteten Werthes beträgt, wo- gegen die Unsicherheit der Beobachtung sich auf 0.34 ^/^ beläuft. Man hat zur Erklärung dieses ümstandes die verschiedensten Hypothesen aufgestellt und ohne hinreichenden Erfolg geprüft, wobei man auch Veranlassung genommen hat, das NEWTON'sche Gesetz gegen ein anderes zu vertauschen. Da indessen, wie eben bewiesen worden ist, Abweichungen dieser Art zwischen Beobach- tungen und Eechnung bei allen Störungsrechnungen kaum zu ver- meiden sind, so darf man vorläufig erwai'ten, dass auch in diesem Falle das NEWTOx'sche Gesetz über die Schwierigkeiten trium- phiren wird, und dass eine vollständigere Störungsrechnung oder verbesserte Integrationsmethoden einmal die Erklärung dieser Ano- malie geben werden.

Man würde aber Unrecht thun, wenn man hieraus den Schluss ziehen wollte, dass man immer annehmen könnte, dass alle Ab- weichungen zwischen Theorie und Beobachtung, welche proportional der Zeit wachsen, eventuell durch eine genauere Störungsrechnung ihre Erklärung finden könnten. Wäre eine solche Schlussfolgerung erlaubt, so würde man in eine höchst bedenkliche Unsicherheit gegenüber allen Abweichungen von der Theorie geraten. Die Un- gleichheit (6) erlaubt indessen dieser Unsicherheit eine Grenze zu setzen, indem sie einen Maximalbetrag des zu befürchtenden Fehlers gibt, der nicht überschritten werden darf, insofern ein erwiesener Unterschied zwischen Theorie und Beobachtung aus der Theorie

330 Convergenx der Reihen in der Mechanik des Himmels.

erklärt werden soll. Die Coefficienten A^ sind aus der Entwickelung

der Störungsfunction bekannt und für die Summe 2 ^s kann man

p immer einen genäherten Werth erhalten. Wenn der beobachtete Unterschied diesen Betrag überschreitet, so muss man die Erklärung ausserhalb der untersuchten Punktsysteme suchen.

Es mag indessen nicht ausser Acht gelassen werden, dass hier- bei auch ein genäherter Werth der Glieder, die von den höheren Potenzen der Massen abhängen, gefunden werden muss, und es liegt in der That keine unüberwindliche Schwierigkeit im Wege, einen solchen Werth zu ermitteln.

ELFTER ABSCHNITT

ÜBER DIE FORM DER INTEGRALE IM PROBLEM DER DREI KÖRPER

§ I. Ein Transformationstheorem der Mechanik.

In seiner hinterlassenen Abhandlung „Ueber diejenigen Pro- bleme der Mechanik, in welchen eine Kräftefunction existirt, und über die Theorie der Störungen*' (Werke Bd. V) hat Jacobi folgen- des Theorem bewiesen:

„Es seien die BifferenticdquoÜenten der veränderlichen Grössen

' 1 > '^2 ' • • • ' '^m ' 3^] ' 3^2 '

, y^ durch die Gleichungen gegeben:

(1)

es sei ferner

dx, dE

dt ~~ dy,'

dx, d H dt - dy,'

dy, 811 dt dxi

dy, _ dB dt 8x.i

dx„, dB d t 8 y,n '

dy„, 8 B dt 8 a;,„

V'(*'i»^2' •••^•^•™; ^1. I2' •••' IJ

eine willkürliche Function der m Grössen x^, x^, . . . , x^ und der m neuen Grossen |, , ^2? • ••> 1^' bestimmt man diese neuen Grössen und die m anderen Grössen ij^, t].^, . . ., rj^^^ aus x^, x^, . . ., .r^; y^, 7/2 , . . . , y^ vermittelst der Gleichungen

(2)

8xi 8 yj

Ih

8 x^

8w

= 1/2

%

8 a;„i öl//

"öi:.

= - ^;„

und drückt II durch t und diese neuen Grössen 1^ , ^^, • • •> !„; ^i> ^/g' •••' ^^m ""•^' *^ erhält man die Differentialquotienten dieser neuen Elemente durch die ganz ähnlichen Gleichungen:

334 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

(3)

/ d^, dH

dt ~ ö //i '

d^, dH

dt dr]^'

di]i dH dt öli

dv2 SH dt d^.

d^m dH

[ dt " d >]„, '

dri^ dH

dt ~ ds^

Dies Theorem, das in allgemeiner Weise den Uebergang von einem System canonischer Coordinaten zu einem anderen ver- mittelt, werde ich in zwei verschiedenen Richtungen erweitern.

Erstens braucht das Theorem insofern verallgemeinert zu werden, als in dem JACOBi'schen Transformationstheorem voraus- gesetzt wird, dass die Function xp, welche den Uebergang zwischen den beiden canonischen Elementensystemen vermittelt, von der Zeit unabhängig ist. Man kann indessen diese Voraussetzung fallen lassen, und es zeigt sich, dass man dann zum folgenden Transformationstheorem gelangt :

Theorem I. Es seien die Bifferentialquotienten der veränder- j, x^, . . ., x^; 7j^, y^, ..., y^ durch die Gleichungen

liehen Grossen x, , x.

gegeben

(4)

dXi ~dT

dH dVi

dtji dt

d^H

dXi

(e = 1, 2, ..., m),

wo H eine willkürliche Function der Grössen x.^, x^, . . . , x^; y^, y^, . . . , y^ und t bezeichnet; es sei ferner

xi>{x^, x^, . . ., x^^] 1^, I2, . . ., 1^; t)

eine willkürliche Function der m Grossen x^, x^, . . . , x^ und der m neuen Grössen li > I2 » • • • ? 1™ "^^ ^"^^ ^^^^ '■> bestimmt man diese neuen Grössen und die m anderen neuen Grössen 1]^, i]^, . . . , r]^ aus x^, x^, ..., .r^; 7/^, y^, ..., y^ und t vermittelst der Gleichungen

(5) (5*)

dXi

{i= 1,2,..., m)

= - Vi

§ 1. Ein Transformaiionstheorem der Mechanik. 335

lind drückt H durch t und diese neuen Grossen |^, ^^, • • • ■> 1^«; '/i> %: '••■> Vm ^"^' ^^ erhält man die I)ifferentialquotienten dieser neuen Elemente durch die Gleichungen:

l(K\ JÜL _ JiiL ^L^ - _ ^LfL (i - \ 2

dR

(7)

Ist 1/; von t unabhängig, so kommt man offenbar auf das jACOBi'sche Theorem zurück.

Der Beweis wird ohne Kunstgriö"e geführt, indem man mittelst der Gleichungen (5) und (5*) in H x. und y^ [i = \,2, .. ., m) gegen |. und ?/. («■ = 1, 2, . . ., m) vertauscht. Ich führe ihn hier aus.

Werden die Gleichungen (5) und (5*) nach a:. und y. aufgelöst, so bekommt man

(Z = 1, 2, ..., 7/?)

Setzt man diese Werthe in H ein, so geht diese Function in eine Function von li, I2' • • •' Im' ''h^ %'•••■> ''^m ^^^ * über. Wird diese sodann nach »/^^ diff"erentiirt, so sind lx'l2'-'-'lm ^^^ ^ ^^^ Constanten zu betrachten, und wir bekommen somit

			dH dijk ~	^dE ^ dx,	dxi drjk	+s	dH dyi	dVi d rik
oder nach (4)
			dH d >]k	^ dt	dx, d r]u	+ ?■	dxi dt	dVi drjk
	Aus	(5) folgt aber
			c c	) ;/i -f^dXidi	dxj	1
so	dass
		dH	=-?	d t/i d Xi dt drjk	+ ?	^sr^ dx,	( d	>
	i-^^	dx	idxj

dXi

336 üeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

oder, wenn man in der ersten Summe den Index i gegen j ver- tauscht und in der Doppelsumme die Summationsordnung wechselt^

dr]k ~ -y' dri„ [ dT ^ ^ dt dxjdXi

Wird aber die Gleichung (5)

d ^p -^1 d Xj

nach der Zeit differentiirt, so bekommt man

~Jt ^ d Xj d Xi ~~dT '^ ^ dxjö^i dt '^ öXjdt ' SO dass

d>]k ~ ^ ^ ö 7/4 dxjo^i dt y^ örji dXjdt '

Der Coefficient von -^ ist gleich

^ dxj d'^xp

Nun ist aber nach (5*)

dw

Wird diese Gleichung nach i]^ differentiirt, so erhält man

^ d SidXj Örjk ^ ^ ''

wogegen

~ ~ ^ dhd Xj ~dTk ' also ist

diu ^ dt ^ dt dXj drjk' Setzt man

§ 1. Mn Transformationstheorem der Meehanik. 337

so ist also

d^k dB a 1 o ^

1Ü = T^ (Ä=l,2,...,m),

womit die erste der Gleichungen (G) bewiesen ist.

Um die entsprechende Gleichung für dijj^-.dt zu erhalten, ver- fährt man in ähnlicher Weise.

Zuerst bekommt man

BH ^ .^ BH dxj ^ 6H d yt

BSk ^ Bx, öl, +^ Byi 6h

2dyi Bxj ^ dxi B yi , dt ö I, "*" ^ ~dT 'BTk

Aus der Gleichung (5)

	^'' Bxi
die Relationen
B yi ^ B'xp 6 h ^ BxiB Xj	6x, 6"-^, dh ' 6x^6 h '

dyi ^ ^ ö^jV^ dxj ^ B^p d^j d^'ip

dt ■f' öXiBxj dt '^ ^ BxiB^j dt '^ BXiBt '

welche, in den obigen Ausdruck für dH:d^j^ eingesetzt, geben:

6 E __ ST'-sr' ^^' ö"V d^j -^ 6xi B^ rp

~Bh ~~ ^^Th BxiB I,- "dT ~ ^Th 6xiBt

^ dXj Bj^^

'^ -^ dt Bxi6h'

Die Doppelsumme kann in eine einfache Summe verwandelt werden, wenn man bemerkt, dass aus der Gleichung (5*)

B w

- 'h = -öj-

durch Differentiation nach |^ die Gleichung

A ^ ^ B-fp Bxj 6-yj

^ BSjBxi Bh B^jBh

Charlier, Mechanik des Himmels. II.

338 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. folgt. Es ist also

Th ~ ^ 'dl~dl^ ~dT "^ ^ dxjö li- TT -f^ dxjdt 'dj^ Andererseits ist aber nach (5*)

drik ^ d-ip dx^ ^ o^ip dSj d'ip dt ^ dSkdXj dt ^ ^ d^kdij dt ' dhdt
ass dH dfjk dSk ~ dt	ö'^rp -^ d*yj Bxj d^kdt ■f' dxjdt d^k'
Nun ist aber
^ dt ^	d^tp dXj d^yj
dtdx, dh ' dtdSk
Folglich ist
drik dt	dSk

womit der zweite Theil des Transformationstheorems bewiesen ist. Nimmt man beispielsweise an, dass man die Bewegungs- gleichungen (4) mit Hilfe einer sog. intermediären Bahn mit der charakteristischen Function H^ integriren will, so hat man nach der Methode von Hamilton- Jacobi zuerst die partielle Differential- gleichung

(8) 0 = ^+^,(x,,:r„

dV dV . . ., X ; -^ — , ^ — , •

™ 0 CCi 0 x»

BxJ ')

ZU betrachten. Wenn

r= V{x^, a-2, ..

.,x^; a^a^, ...,«„^

; t),

wo a^, «2' •••' ^m ^® Integrationsconstanten bezeichnen, das Inte- gral der Gleichung (8) ist, so erhält man bekanntlich die Grössen x^, x^, ..., x^ und i/i, ^2' '"> I/m ^^^ ^^^ Gleichungen

— — = ?/. , — — = — p. (i =. l , 2, . . ., m) . dXi -''' dui ' ' ^ ' ' ' '

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 339

Vergleicht man aber diese Grleichungen mit den Gleichungen (5) und (5*), so findet man nach Theorem I, dass man das System (4) gegen die Gleichungen

ii

(9)	dtti ~dt ~	dR dßr	dß, _ dt ~	dR
vertauschen kann.	, wo	jetzt
			i? =	^+ dt
ist.	Nach (8) ist aber
			d V dt	= -^1.
so	dass also		R =	H-H,

ist, übereinstimmend mit der gewöhnlichen Theorie für die Variation der Constanten.

Die Constanten a. und ß^, die man bei der Integration der Gleichung (8) erhält, sind im Allgemeinen nicht geeignet zur Be- nutzung als neue Veränderliche in einem Bewegungsproblem. Im Problem der drei Körper z. B. treten in den Gleichungen (8) rechter Hand mit der Zeit multiplicirte Glieder auf, welche der Integration beträchtliche und unnöthige Schwierigkeiten bereiten. Für die KEPLER'sche Ellipse als intermediäre Bahn kennt man schon längst eine Methode, wie man diese Schwierigkeit, durch Einführung neuer Veränderlichen, vermeiden kann. Man vergleiche in dieser Beziehung den fünften Abschnitt § 5. Für andere intermediäre Bahnen müssen aber andere Transformationen eingeführt werden, und es giebt bis jetzt keine allgemeine Theorie, um solche Trans- formationen aufzusuchen.

Ich werde im Folgenden einen ziemlich allgemeinen Fall be- sprechen, in welchem man die gesuchte Transformation direct an- geben kann.

Ich nehme an, dass die charakteristische Function H^ für die intermediäre Bahn die Zeit t nicht explicite enthält. Die Hamilton- jACOBi'sche partielle Differentialgleichung

340	Ueher die Form der Integrale im	Problem der drei	Körper.
hat dann das Integral	6V	dV öx,' ' '	8V\ dxj

wo Jr von t unabhängig ist. Wir nehmen weiter an, dass man ein Integral

der Differentialgleichung

dW dW dW

(10*)

dx^ ö x^ ö x„

gefunden hat, das m unabhängige Constanten «, , u^, ...,u^ enthält. Die Constante C kann mit einer dieser Integrationsconstanten zu- sammenfallen. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall und dann ist nach (10*) C eine gewisse Function von u^, cc^, ..., u^

Die Coordinaten x^ und ?/.(«= 1 , 2, ,.., t/j) der intermediären Bahn sind durch die Gleichungen

dV _ dV _ r.

dxi "■^^' ö«.- " ' '

bestimmt, also durch

d\V _ dW _ dC a

dx, ~y^'' diu " ö«, ^«••

Diese Gleichungen zeigen aber nach dem Transformations- theorem von Jacobi,

und

öC,,,, dC .,o ^C',,.

§ 1. Ein Transfarmationstheorem der Mechanik. 341

conjugirte canonisclie Coordinaten sind, und zwar kann man das

ursprüngliche System (4) durch die Gleichungen

rf«. _ dH

dt ~ d Wi

dui _ _ dH

dt " 8 tti

1,2,

ersetzen, wo

^t+ß, {i=l,2,...,m)

ist.

So oft ein System a^, c(^, ..., c^,,, von Integrationsconstanteu ge- funden worden ist, kann man auf unendlich viele Weisen andere Systeme von Integrationsconstanteu finden. Zu jedem System der Grössen a. gehört ein bestimmtes System der Grössen iv.. Es gilt, die vortheilhafteste Wahl der Grössen c^. zu treffen.

Unter den vielen intermediären Bahnen, die man für ein mechanisches Problem aufstellen kann, will ich hier solche ins Auge fassen, in welchen die Coordinaten als bedingt lieriodische Functionen der Zeit erscheinen. Mittelst einer linearen Trans- l'ormatiou der Argumente (man vergleiche II § 3 (21)) kann man bewirken, dass die Periode in Bezug auf die verschiedenen Winkel- coordinaten gleich 2% ist. Wir nennen diese Argumente 7]^, r,^, . . ., i]^^_^, so dass

^i = ";/ + c. (2=1,2,..., m)

und die Coordinaten in der intermediären Bahn periodische Functionen von ?;, , 7/2 , . . . , 7/^ mit der Periode 2 n sind. Wählt man nun die Integrationsconstanteu a.^^, a^, . . . , c/.^ in solcher Weise, dass

n =- l^

' d «;

wird, und nennt man diese besonderen Constanten Ij, Ig, . ... |,„, so dass nunmehr

dC

"^•=-0.^.

ist, so hat man

342 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

dW _ dW _

T^i ~ y^ ' ~bJl ~ ~ ^i

und folglich sind |;, >y\ [i=\, 2, . . ., m) conjugirte canonische Coordinaten.

Wie sollen diese Constanten |^, Ig, . . ., |^ gefunden werden?

Ich nehme zuerst an, dass in der charakteristischen Function H^ für die intermediäre Bahn die Grössen y^, y^_^, ..., y^^ nur in quadratischer Form vorkommen, und dass die Integration der Gleichung

durch Separation der Variabein geschehen kann. Nach Stäckel lautet dann das Integral der Gleichung (10*)

(11)

^'' =2j]/^ ^. W +22«, 7^., W d.r^ .

Hier bezeichnen t/;^ (.r^) und ^^^ (.r_^) gewisse gegebene Func- tionen von 2-__ ; cc^, ci^, . . . , a^ sind die Integrationsconstanten^ von denen a^ mit der Constante C in (10*) zusammenfällt. Die Inte- grale der Gleichungen

	dXi	dH,	dy^
	dt	- dy, '	dt
sind demnach

	ÖTF
. 5TF	ÖTF

Es zeigt sich dann, dass die Grössen ,r^, x^, . . ., x^ bedingt periodische Functionen — mit der Periode 2 n — einiger Grössen

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 343

u^, 7^2, ■ . ., 11^ sind, welche in folgender Weise mit der Zeit zu- sammenhängen (II § 3 (21)). Man hat

(12)

vT (- ^ + /?j) = Wj^ U^ + f02i ^2 + . • . + W„i M„, ^ P2 = ^"12 ^1 + «22 ^2 + • • • + ^.<2 "n'

n q)i j {Xi) a Xi

(12*) «i • = / ,/ ™

(a:0

ist, und a. und ^. die Grenzen bezeichnen, zwischen denen die Grrösse ,r. oscillirt. Diese Grenzen sind immer Wurzeln der Gleichung

2^',(-^) + i:2«y,^.(.r) = 0. j=i ^ ^

Es wird angenommen, dass die Determinante

ß=i«,. [i,j=l,2,...,m)

nicht identisch verschwindet.

Die Grössen w. . (^J = 1, 2, ..., m) werden Elementarperioden genannt.

Aus der vorhergehenden Untersuchung ist ersichtlich, dass man

Vi = u,

haben muss, um eine Transformation der verlangten Art zu erhalten. Wie müssen zu diesem Zweck die Grössen |. gewählt werden? Wir werden beweisen, dass man

(13) I, = ^ j |/2^i^(.^•) + ±2u.cp,.{x)d.v [i =1,2,..., m)

344 TJeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

setzen muss, um die zu 7;. (?= 1, 2, ..., m) conjugirten canonischen Coordinaten zu erhalten.

Es ist in der That erlaubt, die Integrationsconstanten u^, u^^ . . ., a^ gegen irgend ein anderes System «/, a^ , ..., u^ von Inte- grationsconstanten zu vertauschen, wenn nur die Functionaldeter- minante des einen Systems in Bezug auf das andere System von Null verschieden ist (I § 9). Weiter wissen wir, dass die zu 1^, I2' • • •' It« conjugirten Coordinaten die Form

"<=-|f' + '''

(;=i,2,..,,7«)

haben. Wir werden sehen, dass diese Grössen mit den Grössen u^, ^2 , . . . , u^ zusammenfallen, und dass ausserdem die Functional- determinante |^ , l^, . . ., |^ in Bezug auf cc^, a^, . . . , cc^^ von Null verschieden ist.

Lösen wir nämlich die m Gleichungen (13) in Bezug auf a^, a^, . . . , a auf, so hat man

:i4)

^1 = ^1 (ii ' I2

D'

Diese Gleichung werden wir in Bezug auf a^, u^. dififerentiiren, und bekommen dann

(15)

ai2

0

+

da, djrn

d^,n da,

da, 8J^

dln da,

da, dj^

dS„, dn„,

(16)

Nun ist aber nach (12*) und (13)

dSi 'J duj

so dass folglich die Gleichungen (15) lauten

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 345

^ = ^^ «U + -^T- «21 + • • • +

ö «, , 9 «1 1 ,9

+ -^^ «„2

r\ 9 a. , 9 «1 , , S a.

Da «j mit C zusammenfällt, so findet man bei einem Vergleich mit den Gleichungen (12), dass tj. = u. ist. Da weiter die Func- tionaldeterminante der Grössen |^ , ^^, . . . , |^ in Bezug auf a^ , «2, • • •, «„ nach (16) gleich

^-™ I «0- I (*''^"= ^' ^' •••' "")

ist, und diese Determinante der Voraussetzung nach nicht ver- schwindet, so bilden die Grössen |^, Ig» •••> Im zusammen ein unabhängiges System von Integrationsconstanten. Wir gelangen so- mit zum folgenden Theorem:

Theorem II: „Es seien die Differentialquotienten der veränder- lichen Grössen x^, x.^, . . ,, x^^; y^, y^, . . ., y^ durch die Gleichungen gegeben:

„ dx^ BE^ dy^ BH^ ^^ = 1 9 rn\-

^^^' dt dy/ dt 9x. yi- i-,-,--;rn),

es sei ferner eine intermediäre Bahn durch die Gleichungen definirt:

dxi _ dE^ dt ~ dm '

{i=l,2,...,m) dyt __ 9^1 dt ~ 9 X, '

tvo H^ eine quadratische Form der Grössen y^, y^, . . . , y^ ist. IFenn die Differentialgleichungen mittelst der in II § 1 auseinander- gesetzten Methoden integrirt werden können, so erscheinen die Coordi- naten der intermediären Bahn als periodische Functionen, mit der Periode 2 ;r, der m Argumente

346 üeb&r die Form der Integrale im Probl&m der drei Körper. r,. = r).t + c. = -^j-t+c^, {i=\,2,...,m)

wo ^., mit deji Bezeichmigen des citirten Paragraphen, durch die Eelation

h-^j]J-iW,{x) + ±2a.cf..{x]

)dx

dl. dt

8H

drj.^

dt

dH

definirt ist. Drückt man dann H durch t und diese neuen Grössen li» ^2) • • •» Im' ''h' %' • • •' ^^ha ^^'^' "''^ erhält man die iJifferential- quotienten dieser neuen Elemente durch die Gleichungen

{i= 1, 2, ..., m)

Zur Erläuterung dieses Satzes führe ich den Beweis für einen Freiheitsgrad aus. Es sei

dx _ öE , dy _ _ dH

dt ~ d y '' dt ~ d X ^ wo

H = \,/- U{x)

ist. Dann lautet die HAMiLTOx-JACOBfsche Differentialgleichung

so dass

}F = ^y2{U +a)dx. ist. Folglich hat man

_ ÜE _ C dx

^ ~ da ~ J ]/2{U+ a)

Aus diesem Ausdruck folgt, dass die Zeit T zwischen einem Minimum -t^ und einem Maximum x^ der Grösse x durch die Formel

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik.

347

_ r ^ dx__

gegeben ist. Setzt man

so ist folglich

T =

BS du

Die Grösse x ist eine periodische Function von t mit der Periode 2T oder, anders ausgedrückt, eine periodische Function von

nt -{- c

mit der Periode 2 71, wenn

gesetzt wird. Nach dem obigen Ausdruck für T hat man also

1 du

du

womit der Satz für einen Freiheitsgrad bewiesen ist.

Wenn die intermediäre Bahn eine KEPLEE'sche Ellipse ist. so stellt sich die Anwendung des Theorems II folgendermassen.

Nach den Ausführungen in II § 1 (14), IV § 2 (2) und (3) und § 8 (8**) hat man hier

(18)

+ i

^ J V cos- 9 ^

— i

l3 = ^/y2^^ö;

348 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

(18*)

r}^=n{t + H^),

wo die Integrationsconstanten a.^, a^, u^; H^, H^, H^ in folgender Weise mit den gewöhnlichen elliptischen Elementen zusammen- hängen. Man hat

und

2«!=-^^; 2a^= fjio[\ - e^); 2u^ = na{i - e^)co^''' i

In V § 5 haben wir a^, u^, a^ und H^, H^, H^ als veränder- liche Elemente zur Darstellung der Coordinaten im Probleme der drei Körper eingeführt. Statt dessen werden wir hier |^, ^^, I3, ^1' ''h' ^3 benutzen. Nach Theorem II wissen wir, dass, wenn irgend welche Grössen x^, x^, x^; y^, y^, y^ durch die Gleichungen

(19) 4^ = 1^^ 4t=-4^ (^-=1,2,3)*

^ ' dt d yi dt d Xi ^ ' ' y

definirt sind, und wenn durch die gewöhnlichen Formeln für die elliptische Bewegung x^, x^, x^; 7/^, y^, y^ durch ^^, ^^, 1,; 7/,, 7/3, 7/3 ausgedrückt werden, die letzteren Grössen durch die Gleichungen

~dT-T^' 'dT-~~BT ^^-^'^'^i

bestimmt werden, welche Gleichungen dann vollständig die Rela- tionen (19) ersetzen.

Wir wollen die Ausdrücke für |^, ^^, I3 als Functionen der elliptischen Elemente aufsuchen.

Die Grenzen r^ und r^, zwischen denen r schwankt, sind, durch die elliptischen Elemente ausgedrückt, «(1 — <?) und a{l -\- e). Da

'1

dr

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 349

so bekommt man nach der Substitution

r = « (1 — e cos w) , indem man auf den Wert von a.^ Rücksicht nimmt:

e cos w\ dw

oder, nach einer bekannten Formel,

(20) I, = 1/^.^(1 -yi-e^),

In die Formel für Ig

■^ ^ J K COS^CjD

macht man die Substitution

sin cp = sin i sin u

und bekommt dann, nach einer kleinen Rechnung,

(20*) I3 = y/x a (1 - e") (1 - cos i) .

Endlich hat man

(20**) I3 = y2;^3 = i/^i«(i-.^) cos ^.

Die Elemente |. und ?y. fallen nicht mit den DELAUNAY'scheu Elementen, die wir in V § 5 eingeführt haben, zusammen. Man kann aber durch eine lineare Substitution von dem einen System zum anderen übergehen. Die Bedingungen für eine solche Trans- formation leitet man leicht aus dem JACOBi'schen Transformations- theorem ab. Setzt man nämlich

350 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

-ip = («11 li + «12 12 + • • • + «^i™ L)vi,

+ («21 ll + «22 I2 + • • • + «2 m U %, +

+ («ml ll + «™2l2 + • • • + «™mlJ<

sowie

und

% = -öf- = «11 'A' + «21 ^/a' + • • • + «ml <» ^2 = -0I7 = «12 '/l' + «22 ^2' + • • • + «m2 ^A«''

^;m= -^ = «1™*// + «2m'?2' + • • • + «,„,„ O

ll' = ö^ = «11 ll + «12 I2 + • • • + «im Im^ I2' = "ö^ = «21 ll + «22 I2 + • • • + «3m tn >

In ^§^'^ «»all + «-2I2 + • • • + «mm Im'

SO bilden nach dem jACOBi'schen Theorem |.', ?;.' (2= l, 2, ..., m) zusammen ein canonisches System, wenn dies für |., tj. (? = 1, 2, . . ., m) der Fall ist.

um zu den ÜELAUNAY'schen Elementen in V § 5 überzu- gehen, müssen wir

Il' = ll+l2+l3» S2 ~ §2 I S3 '

I3' = I3

setzen, und folglich sind die entsprechenden canonischen Winkel- elemente 1]^', 1]^', 7]^' durch die Relation

^1 = Vi,

% = Vi + %,

V3 = Vi + V2' + Vs

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 351

en, so dass

%' = % - Vi = Tt - Q, %' = % - 'iz = ^

ist, mit den Formeln in V § 5 übereinstimmend.

Zweckmässiger wäre übrigens eine andere lineare Transfor- mation auszuführen, nämlich

ii" = ii + i2 + i3 = yi««.

12" = li =^/fxa(l-n-e'),

I3" = I2 = y/i a (1 - e'') (1 - cos i) ,

in welchem Falle die entsprechenden canonischen Winkelelemente Vi"> %') % durch folgende Formeln bestimmt sind

nx = ^1" + n^^ % = '^\ + ''h ^

oder

^^2" = ^^1 - '^3 =- ^>

%" = */2 — ^'3 = ~ -^ •

Löst man die Ausdrücke (20), (20*) und (20**) nach «^ auf, so bekommt man

fi'

""i- 2{^, + i, + ^,r'

woraus wir

3 «1 ö «, ö «1 /.i^ ]/jü

~di; ~ ~di; ~ 'di; ~ {s, + sS + ^sf '^

erhalten. Die Argumente r]^ , ij^ , 7/3 haben also dieselbe mittlere Be- wegung — H — wie schon aus den Ausdrücken (18*) ersichtlich ist.

352 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Als intermediäre Bahn kann man in einigen Problemen die- jenige Bahn benutzen, welche ein massenloser Körper beschreibt, der von zivei festen Centren nach dem JVewton' sehen Gesetz angezogen imrd.

Im dritten Abschnitt haben wir die dabei auftretenden Bahn- formen ausführlich behandelt. Man bekommt hier

(21)

, 1 r / dl

^1 = T j ]'2(fÄ>Ä-') A + h):^ + U) y^^

I, = ^J]/2(;ä-A"; ^, + h^^ + u) y^

wo ö^ und b^ die Grenzen sind, zwischen denen die Grösse X

schwankt, wogegen a^ und b^ die entsprechenden Grenzen für ^i sind.

Die Winkelgrössen ?;j und tj^ ergeben sich aus den Relationen

(21*)

hat:

öh

Im asteroidischen Lreikörper- Problem eignet sich in vielen Fällen die zuletzt behandelte intermediäre Bahn zur Benutzung. Wir wollen von diesem Gesichtspunkte aus einen Blick auf dies Problem werfen. Nach IX § 2 lauten die Differentialgleichungen

dqi _ 6^ dt ~ dpi

dpi ~dT

BH

WO

(22)

(^•=1, 2), ^I=\[Pl^-\-P,') + n{p, q,-p,q,) - U.

Hier bedeuten q^ und q^ die rechtwinkligen Coordinaten des massen- losen Körpers in Bezug auf ein bewegliches Coordinatensystem —

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 353

mit der DrehuDgsgeschwindigkeit n — bezogen. Die Grösse n fällt mit der Winkelgeschwindigkeit in der kreisförmigen Bewegung von m^ und m^ um den gemeinsamen Schwerpunkt zusammen. Uebrigens verweise ich auf die Bezeichnungen im betreffenden Paragraphen. Der Anfangspunkt der Coordinaten ist hier in den Schwer- punkt der Massen m^ und m^ gelegt. Um eine vollständige Analogie mit dem Zweicentren-Problem zu erhalten, legen wir ihn in den Mittelpunkt der Linie tw^ m^ . Zu diesem Zweck setzen wir

^1 = ?i +

2(1+^)' ^2 = ^2 » //i =Pi' 3/2 = 7^2 •

Die neuen Coordinaten x^, x^, y^, y^ sind offenbar auch canonisch, so dass man hat:

(23) ^ = 4^' ä^^_^ (/=1,2).

^ ' dt o yi dt d Xi ^ ' '

Hier ist

^= iÜ/i^ + y,') ^n[y,x,-y,x,) + l^^^y^ " ^ und

Mi.^x-W'rx^ yix, + \f + X^

Wir definiren nun eine intermediäre Bahn durch die charakte- ristische Function

(24) ^i = l(i/r + //2^)-^.

Die entsprechenden Differentialgleichungen sind

^ = 4^, 4t=-^ (e = i,2).

^ ' dt öyi dt dxi ^ ' '

Dies sind die Differentialgleichungen für die Bewegung eines massenlosen Körpers, der von zwei festen Centren angezogen wiid. Die Coordinaten dieser Bahn, also auch die Grössen x^, x^, y^, y^,

Chaklier, Mechanik des Himmels. U. 23

354 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

sind bedingt periodische Functionen der Zeit, welche in FouRiEK'sche Reihen nach den Vielfachen von t]^ und ij.^ (21*) entwickelt werden können. Die Coefficienten in diesen Reihen können als Functionen der in (21) definirten Grössen |^ und 1^ ausgedrückt werden. Nach- dem x^, x^, y^, ?/2 in dieser Weise als Functionen von ^^, Ig- Vi, % gefunden sind, setzt man diese Ausdrücke in H ein und bestimmt die VeränderuDgen der Grössen 1^, ^^, i]^, t]^ nach dem jACOBi'schen Transformationstheorem vermittelst der Gleichungen

^^^> dt - dri, ' dt öl, ^' '' "^•

Hier ist indessen zu bemerken, dass die Grösse H^, nach der Substitution der Ausdrücke für x^, x^, y^, y^ durch |j, ^^, ?yj, i]^ sich auf eine Function von |j und Ig reducirt, da ja die Gleich- ungen (25*) das Integral H^ = Constans besitzen. Nennt man diese Constante Cj, so hat man also

(27) H=C^ + n{y^ x, - y^ x,) + f^^Jy^ •

Dies ist also der einfache Ausdruck für die Störung sfunction, wenn man vom Zweicentren-Problem ausgeht und nachher die Willkür^ liehen Consta7iten dieses Problems variirt.

Die Constante Cj ist eine Function nur von |j und Ig. Die übrigen Glieder in (27) sind periodische Functionen von ij^ und ij^, die leicht zu berechnen sind, nachdem x^, x^, y^, y^ durch |^, Ig, 7/j, 7/2 ausgedrückt worden sind. Die Störungsfunction ist also sehr leicht zu bilden, nachdem die Coordinaten im Zweicentren-Problem als Functionen der Zeit dargestellt sind, welche Darstellung in- dessen verschiedene Untersuchungen erfordert, die bis jetzt nicht ausgeführt worden sind. Sehr bemerkenswerth ist, dass man bei der Anwendung dieser intermediären Bahn eine Störungsfunction erhält, in welcher der reciproke Iferth des Abstandes zwischen dem gestörten und dem störenden Körper nicht mehr zum Vorschein kommt.

Es folgt hieraus, dass das Zweicentren-Problem einen innigen Zusammenhang mit dem Problem der drei Körper haben muss.

§ 1. Ein Transformationstheorem der Mechanik. 355

Da die canonischen Differentialgleichungen niclit symmetrisch in den „jö-Coordinaten" und in den „^'-Coordinaten" sind, so muss das jACOBi'sche Transformationstheorem etwas anders formulirt werden, je nachdem in der Transformationsfunction die eine oder die andere Art von Coordinaten auftritt. Der Vollständigkeit wegen stelle ich hier die diesbezüglichen Formeln zusammen.

Ich werde die alten Coordinaten x^, x^, . . ., x^\ Vx^V^^ • • •» ^m und die neuen |j, Ig» • • -■> 1,«; *?!> */2' • • •> %i nennen, und zwar so, dass man immer hat

(28)

dx, dt

~ dyr

dyi dt

dH

{i =

und auch

(29)

dt ~

8H ,

dm '

dm dt

dH

Wir können dann 4 Fälle unterscheiden:

1) Die Transformationsfunction i// hängt von x^, x^, .,., x^^; li' li' •■•> L ab, so dass

ip = ii>{x^, x^, . . ., ar,j I, , I2, . . ., IJ .

Die Relationen zwischen den alten und den neuen Coordinaten sind dann

-^=-r]. (2= 1,2,..., m).

,; li=-|, (,-=l,2,...,,„).

3) Ist dagegen

^ = xpix^, x^,..., xj ri^,i]2>'- •» Vj,

so haben diese Relationen die Form

P^ = .jr, 4^ = 1, (.•=l,2,...,m).

23*

(30)	2)	Ist	d Tp d Xi	^	1/i
so ]	bat	man
				=	^1

356 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper. 4) Wenn endlich

so hat man

In vielen Fällen, wo die charakteristische Function von anderer Form ist, als in Theorem II vorausgesetzt worden ist, kann man sich ähnlicher Methoden bedienen wie oben. Wir werden unten bei Behandlung des DELAUNAT'schen Problems einen solchen Fall kennen lernen.

§ 2. Ueber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad.

Für den Fall, dass zwei reelle Grössen x und y durch die Differentialgleichungen

dx__dJl dy ^ dB

^^> dt ~ dij ' dt~ dx

bestimmt sind, haben wir im zweiten Abschnitt § 2 die Verände- rungen von X und y untersucht, unter der Voraussetzung, dass H eine quadratische Function von y ist von der Form

H=\y''-U[x).

Wir haben gefunden, dass x dann zwischen zwei festen Grenzen periodisch schwankt, und dass zwischen diesen Grenzen keine Maxima oder Minima von x vorkommen. Für gewisse Werthe der Inte- grationsconstanten können Limitationsbewegungen auftreten.

Wir wollen nun diese specielle Voraussetzung über H fallen lassen und nur annehmen, dass H innerhalb eines gewissen reellen Gebietes — G — eine Function rationalen Charakters von x und y ist.

Die Gleichungen (1) haben das Integral

(2) H{x,y)^C.

§ 2. lieber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad. 357

Diese Relation, die immer bestehen muss, enthält die Gleichung für die Bahncurve, die also nur von einem einzigen Parameter ab- hängt. Es ist indessen zu bemerken, dass nicht alle Werthe von X und y, welche der Curve (2) angehören, wirklich bei der Bewegung erreicht werden können. Vielmehr wird der Punkt [x, y) im All- gemeinen nur einen Theil der Curve (2) beschreiben, und zwar ist vicht nothwendig, dass diese Bahncurve ein isolirter Zweig der Curve (2) ist.

Betrachten wir die Gleichung

,Q\ dx dH

wo also nur reelle Werthe von x und y vorkommen, und nehmen wir an, dass wir mit dem Punkt (ar^, y„) anfangen, wo dH:dy beispielsweise positiv ist, so ist klar, dass .r mit wachsendem t auch wachsen muss, bis wir zu einem Punkt (a, b) kommen, in welchem

¥- = 0

dy ist.

Wie wird sich die Grösse x nachher ändern? Um diese Frage zu untersuchen, werden wir die Function R nach den Potenzen von x — a und x — b entwickeln, was ja möglich ist, wenn der Punkt [a, b) innerhalb des Gebietes G liegt, wie hier vorausgesetzt wird.

Da der Punkt [a, b) nothwendigerweise auf der Curve (2) liegen muss, so hat man

(^)

H-C=Ä,,{x-a) + J,,{y-b) +

+ ^20 (^ - «)' + ^n (^ - «)(// - *) + ^02 (y - *)"

und folglich

(^*) 4f = ^ox + Ai (^- - «) + 2 A,, [y - b)

358 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Der Voraussetzung nach soll dieser Ausdruck für x = a und 7/ = b verschwinden, woraus folgt, dass J^^ = 0 ist. Mit Hilfe der Gleichung

0 = H- C= A^Q {x - a) +

(4**) + A,, {x - «)2 + A^^ (x -a){i/-b) + A,, [y - bf

+

können wir in der Umgebung des Punktes [a, b) ij —b durch x — a ausdrücken. Setzt man diesen Werth in (4*) ein, so nimmt (3) die Form

dx r, .

an, womit die Differentialgleichungen der Bewegung auf Quadratur gebracht sind.

Es zeigt sich, dass Bewegungen ganz verschiedener Art auf- treten, je nachdem A^^ von Null verschieden ist oder nicht.

Wir betrachten zuerst den Fall

Ao + 0. Es sei rechter Hand von (4**)

das Ghed niedrigster Ordnung in y — h, das nicht mit x — a multi- plicirt ist. Dann ist

0

Ao(-^ - «) + ^oJy - ^)' + 24,(^ - «)'(y - *V

wo in der Summe alle Glieder, für die i = 0 ist, einen Index j haben, der größer als s ist. Wir erhalten dann in der Umgebung des Punktes («, b) die Entwickelung

(5) x-a = {y- by [a, + « Jy _ Ä) + a^ [y - bf + . . .-].

§ 2. lieber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad. 359

Hier ist

(6) «o=-^o.:^io^

woraus folgt, dass a^ nicht unendlich und nicht Null ist. Durch Umkehrung dieser Eeihe erhält man

(7) y-b = ß,{x- afl^ + ß,{x - afl^ + ß^x - afl^ + ...,

wo /9j endlich und von Null verschieden ist.

Diesen Ausdruck für y — h setzen wir in (4*) ein, welche Gleichung jetzt folgende Form hat:

41 = . J,, (y - i)-i + ^jA,. [X - af [y - b)J-^ ,

wo in der Summe, für i = 0 , j > s ist.

Wird hier die Reihe (7) eingesetzt, so erhält man für die Gleichung (3) die Form

-^ = [x-a)' [r, + r^ [x - ay + /^ [x -ay +. . oder

— ^ [1 + Ö, [x - «)i/^ + S, [X - afi^ + ...] = ro '^^ (x -a) '

WO 7o endlich und von Null verschieden ist. Das Integral dieser Gleichung lautet

, (.r _ «)i/. \l^^ (^. _ «)!/. + ^ (o: - «)=/> + ...]=;-„ (^ - t,),

WO t^ denjenigen Werth von t bezeichnet, für welchen x = a ist. Durch Umkehrung dieser Reihe erhält man zuletzt

(8) X -a = {t- t,y [e, ^e,{t- f,) ^ B,{t - t.f + . . .]

mit einem endlichen und von Null verschiedenen Werth für e^,.

Ist s eine (jerade Zahl, so wächst x bis der Werth x = a er- reicht ist, dann fängt x an abzunehmen, und fährt damit fort, bis

360 (Jeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

wieder ein Punkt {a, b') erreicht wird, in welchem dü:dy ver- schwindet. Hier muss wieder eine ähnliche Untersuchung wie im Punkte (a. b) gemacht werden.

Ist dagegen s eine ungerade Zahl, so wird x den Punkt a passiren und für t = t^^ zu Werthen übergehen, die grösser als a sind. Die Grösse x wächst dann weiter, bis man zu einem neuen Punkt (a", b") kommt, wo dH:dy verschwindet, und wieder eine ähnliche Untersuchung gemacht werden muss.

Die obigen Auseinandersetzungen erleiden eine Ausnahme, wenn s unendlich gross ist. In diesem Fall hat H— C den Factor x — a, und die Bahncurve besitzt dann einen isolirten Zweig, nämUch die gerade Linie x = a.

Wir gehen jetzt zum zweiten Fall über, dass nämlich der Coeffi-

= b, dü'.dx = 0, so

cient

^10

verschwindet.

Dann

ist für X --

= «> y

dass

man

gleichzeitig

hat

(9)

0

= H-

C' =

dH dx

dH

dy

Wird X und ?/ aus den zwei letzten Gleichungen eliminirt und in die erste Gleichung eingesetzt, so findet man, dass solche Punkte nur für ganz bestimmte Werthe der Constante C auftreten können. Diese Werthe von C können deswegen als die singul'dren Punkte der gegebenen Differentialgleichungen angesehen werden. Die Aufsuchung dieser singulären Punkte geschieht mit Hilfe der Gleichungen (9).

W^ie gestaltet sich die Bewegung in der Nähe dieser Punkte?

Wir werden finden, dass bei diesen Werthen der Integrations- constante C immer Limitation auftreten muss. Die durch (9) bestimmten Punkte (.r, y) können bei der Bewegung niemals über- schritten werden.

In der Umgebung des Punktes (a, b) haben wir nun die Ent- wickelungen :

(10)

0 = H -C=Ä,,[x - af + A,,{x - a){y - b) + A,,[y - bf

+ ^30 (.r - af + Ä,,{x - af[y - Ä) + 1,,^^ - a){y-b)^ -\-Ä,,{y-bf +

(11)

,<? 2. üeber mecMnische Probleme mit einem Freiheitsgrad. 361 +

Die rechte Seite dieses Ausdruckes soll als eine Function von X — a dargestellt werden.

Zu diesem Zwecke nehmen wir zuerst an, dass die Lösung von (10) folgende Form hat:

(11*) jj - b = u,[x - a) + a,^[x - af + ci^{x - af + . . ..

Wir bekommen dann aus (10) folgende Formel zur Berechnung der Coefficienten a^, a^, a^, ...

(^n + 2^02 «l) ^2=- ^^30 - ^21 «1 - ^12 ^1^ - A3 ^1^

und allgemein

{J,,+2A,,a,)a^= 0^ (r = 2, 3, 4, . . .),

wo 0^ eine bekannte Function von a^, u^, . . ., oCf_-^ ist.

Um aus der ersten dieser Gleichungen einen reellen Werth von c/.^ zu erhalten, ist erforderlich, dass die Ungleichheit

Ä:

erfüllt ist. Um endliche Werthe füi' cc^ zu erhalten, ist ausserdem nothwendig, dass die Coefficienten Ä^^ und Ä^^ nicht gleichzeitig verschwinden. Beide Bedingungen sind also erfüllt, wenn an- genommen wird, dass

(12) A\^-AA,,Ä,,>Q

ist.

Um endliche Werthe für a^, a^, a^ . . . zu erhalten^ ist er- forderlich, dass

362 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

von Null verschieden ist. Man hat aber

und es genügt also, dass die Ungleichheit (12) erfüllt ist, um reelle und endliche Werthe der Coefficienten in der Reihe (11*) zu er- halten.

Wird nun die Reihe (11*) in (11) eingesetzt, bekommt man

^ = ^ = A,[x-a) + A,{x- af + A,{. - af + . . .,

^VO A^ =^11 + 2.^02^1 = ^^\^ -

schieden ist. Hieraus erhält man

^ {B^+B,{x-a) + B^{x - af + ..)=dt

und also nach der Integration

B^ log(.r - a) + B^{x - a) + ^ B,[x - af + . . . = t - t,,

welche Gleichung zeigt, dass x nicht den Werth a erreichen kann für einen endlichen Werth von t.

Hier tritt somit Limitation auf.

Wir kommen also zunächst zum Fall, dass

(13) A\^--^A,,A,, = Q

ist. Man hat dann

4, [x - af + Ä,, [x -a){y-b) + A,, [y - bf = = (l/4o(.r-«) + ]/^(y-i))2.

In diesem Falle ist es angemessen, eine neue Veränderliche

§ 2. lieber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad. 363 statt X — a einzuführen. Wir bekommen dann, für Jgo ^ ^'

wenn nicht etwa A^^ und A^^^ beide verschwinden, in welchem Falle diese Substitution nicht erlaubt ist. Um die noch möglichen Be- wegungsformen aufzusuchen, werden wir uns auf die bekannten Untersuchungen von Puiseüx über die algebraischen Functionen stützen.

Wir nehmen an, dass

[X - ay

die niedrigste Potenz von x — a ist, die in H vorkommt, und dass ebenfalls

{y - f>r

die niedrigste Potenz von y — b ist in dieser Entwickelung. Wir betrachten irgend eine der PüiSEUx'schen Classen

K = A [x - a)^ + 2 M^ - ^Y' (3/ - f^Y^ + ^ (i/ - ^)^ wo die Ungleichheiten

P > Pl>P2> ■ "^

(14)

<7i < 72 < . . . < ^

erfüllt werden müssen. Es ist zu bemerken, dass sowohl A vde B gleich Null sein können. Setzt man

(14*) y-b = [x-aY,

so müssen, weil alle Glieder in K derselben Classe — fx — an- gehören,

(15) P=Pi+ qi^ = P2 + q2l^ = " ' = ^i^

sein, vorausgesetzt nämlich, dass sowohl A wie B nicht verschwindet. Würde A{x — a)p nicht der Classe angehören, so würde das erste

364 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Grlied in (15) verschwinden; würde B[y — bY nicht vorkommen, ver- schwände das letzte Glied. Da

so ist

?2 - ?1

SO dass |tt immer positiv ist. Ein beliebiges Glied in Ä'

Jf{x — a)Pf{i/ — J)3/ gibt in dH-.ÖTß ein Glied

q^Äf{x-aYr[y-bY-^ oder nach Einsetzung von (14*)

qjÄf[x — a)^^+''^<?^-l).

Der Exponent eines beliebigen Gliedes in dH:dy ist also immer grösser als die Einheit. Eine Ausnahme könnte nur ent- stehen, wenn die betrachtete Classe nur die Glieder

A [x — a)P + B{i/ — by

enthält. Die Ordnung des letzten Gliedes ist ^q, und die Ordnung des entsprechenden Gliedes in öH'.dy ist also [q — \)fx. Nun ist aber in diesem Falle

P ^ 1 und folghch ist

(^-l)^=;.(l-i,).

Wir müssen uns aber erinnern, dass nur solche Werthe von p und q hier zu berücksichtigen sind, die grösser oder gleich 2 sind. Folglich ist

§ 2. Ueber mechanische Probleme mit einem Freiheitsgrad. 365 und

,(i-|)s,.

Die Ordnung eines beliebigen Gliedes mdH:dy ist also gleich eins oder grösser. Wir können also setzen

-^ = «1 (^ - «)^-' + «2 (-^ - «)'•' + «3 l'^' - «)^' + • • • . WO

Aj < ^2 < A3 < . . .

und A^ ^ 1 ist. In der Umgebung des Werthes .r = a können wir somit die Differentialgleichung für x in der Form

dt = -^^ [Ä, + b^ [x - ap + b, [x - aY^ + . . .] {x — a)'-

schreiben, wo //^ < ^Ug < . . . und (i^ positiv ist. Das Integral lautet

t + Constans ^-^r-j \-^ + ^ ix - af^ +

(16)

Wäre Aj = 1, so würde das Integral die Form

(1 6*) t + Constans = b^ log (.r - a) + ^[x- af^ + ^{x - a)f^ + ...

annehmen.

Im einen Falle wie im anderen findet man, dass x den Werth a nicht für einen endlichen Werth von t erreichen kann.

Es tritt also Limitation auf.

Wir können in diesem Falle, mutatis mutandis, dieselben Be- trachtungen auch für die Differentialgleichungen für y durchführen, so dass folglich gleichzeitig Limitation sowohl in x wie in y auf- treten muss.

366 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Ist die Function H nebst ihren Ableitungen eine einwerthige Function von x und ?/, so kann die Bahncurve nicht sich selbst schneiden, vorausgesetzt, dass C nicht einen singulären Werth hat. In jedem Punkt (^o, 3/0) ist in der That dx-.dt und dy.dt völlig bestimmt: kommt man, nachdem man eine geschlossene Curve beschrieben hat, zu demselben Punkt (^o, yj zurück, so wird man wieder in die alte Curve eingelenkt und die Bewegung ist dann periodisch. Würde die Bahncurve einen Doppelpunkt besitzen, so wäre in demselben

dH_ _ ag _Q

d X d y '

und die Constante C würde dann nach (9) einen singulären Werth haben, was gegen die Voraussetzung ist.

Es ist wohl zu bemerken, dass hier vorausgesetzt wird, dass die canonischen Coordinaten x und 7/ CAETESius'sche Coordinaten eines Punktes bezeichnen. Unter Anwendung anderer Coordinaten- systeme oder anderer Coordinaten kann es sich wohl ereignen, dass die Bahncurve Doppeltpunkte oder andere Singularitäten aufweisen kann.

Wir können die obigen Auseinandersetzungen über Bewegungen, die einen Freiheitsgrad besitzen, in folgendem Theorem zusammen- fassen.

Theorem: Wenn x und y reelle Veränderliche bezeichnen, toelche durch die Differentialgleichungen

(17)

dx

dn dy

dy ' dt

ÖH dx

mit dem Integrale

iXV)

E{x,7j) = C,

bestimmt sind, und wenn H eine einwerthige Function ist, die in jedem reellen Punkte (a , b) nach den positiven Potenzen von x — a und y — b entwickelt werden kann, so ist die Natur der vom Punkte (x, y) beschriebenen Bahncurve vom Werthe der Constante C abhängig; solche Werthe von C, die man aus (17*) erhält, wenn man x und y aus den Gleichungen

§ 3. Entwickelung der Störung sfunction im asteroidischen u.s.w. 367

(18) 4^ = " = 4^

berechnet, sind als singulare Wtrthe von C zu betrachten; hat C einen solchen singulären TFerih, so nähert sich, mit icachsendem t, der Punkt (x, y) asymptotisch einem Grenzpunkt (a, ß), ohne ihn in end- licher Zeit zu erreichen; hat C keinen solchen singulären Werth, so ist die BaJincurve entweder eine geschlossene Curve, die vom Punkte (x, y) in endlicher Zeit beschrieben toird, oder es müssen die Grossen X und y — die eine oder beide — mit wachsendem t ins Unendliche tvachsen oder abnehmen.

§ 3. Entwickelung der Störungsfunction im asteroidischen Dreii(örper-Problem.

Im § 13 des neunten Abschnitts haben wir die Differential- gleichungen für das asteroidische Dreikörper-Problem im Raum in folgender Form erhalten:

dXj' _ d F dt d y/

d y( __ QF dt d x(

(e=l, 2, 3)

(1*) ^= ^ + ^< + i - /^(^i costV?' + q., sin Nt)

ist, und iV die mittlere Bewegung des störenden Planeten („Jupiter") bezeichnet. In Bezug auf die übrigen Bezeichnungen verweise ich auf den betreffenden Paragraphen.

Die Störungsfunction F lässt sich, wie an citirter Stelle be- wiesen wurde, in eine FouKiER'sche Reihe nach den Cosinus der Vielfachen von y^, y^ und y^ entwickeln. Die Coefficienten in dieser Reihe sind Functionen von x(, x^ und x^.

Zur Erhaltung der Coefficienten in dieser Reihe werde ich mich der von Leverbier im ersten Band der Pariser Annalen gegebenen Entwickelung bedienen.

368 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

In den LEVEEEiEE'schen Bezeichnungen ausgedrückt, hat man

(2)

I/l	=	/.	— 0) ,
Vi	=	w	— ß
Vz	=	n	- r.

Ich werde nur die Glieder bis zum vierten Grade in den Excentricitäten und bis zum zweiten Grade der Neigung hier berücksichtigen.

Die Argumente, die hier Torkommen, haben, durch die Winkel- grössen y^, y^ und y^ ausgedrückt, folgende Form:

i{l - l] = i 1)1+ CO —il' = i 2)A + 2« -il' = 2)A + 2r'- il' = 3)/. + 3« - il = i

(z/i' + ya' + ys').

(/// + y^ +yz')- Sy/,

4)/. + 4w -il' = i[y^ + y^ + y^) - 4?//.

Für die LAPLACE'schen Coefficienten, welche in der Entwicke- lung der Störuugsfunction vorkommen, wollen wir eine etwas andere Bezeichnung als in VI § 5 einführen, um üebereinstimmung mit Leveeriee zu erhalten. Wir setzen nämlich

(3)

wo Ä^ und B^ durch die Reihen (1) des citirten Paragraphen de- finirt sind. Man hat also, da a' = 1 ist,

[1 + a^ — 2a cos qoj

[1 -h a} — 2a cos 9] ''

7- = i 2 -^ -'^ °°^ ^ ^f '

— 00

+ x>

\^B'i^cosi(f.

§ 3. Entiüickelung der Stöi-ungsfunction im asteroidischen u.s.w. 369 Weiter setzen wir mit Leveeeiee

(3*) Af = ^^-.

\s da^

Schreibt man wo

F^= — H [q^ COS iV if + q^ sin Nt)

ist, so erhält man F^, wenn man in den LEVEEEiER'schen Ent- wickelungen für

•^(0, 1) — ^1

e' = 0 und a — 1 setzt. Wir erhalten somit

^i^2=(-« + i«.Hc^^;H^^^)cos(y/ + y/+y3')

+ l«^cos(?//+?/2' + y3'-3//)

+ (- i«^ + 8 «^^COS(?// + y2' + y3' + y/)

(4) ] + (_|«e2 + |«^4)cos(y/+i/2' + j/3'+2y/)

- -h ae^ cos (?// + 7/2' + yg'- 3?//)

- tIs « «' cos (3// + 1/2' + y^ - 4y/)

- i-M « ^' cos (y/ + //,' + 3^3' +4///). Hier hat man

(5) 7?2 = sin2 -

Chakliek, Mechanik des Himmels. II. 24

370 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

gesetzt, wo J die Neigung der Asteroidenbahn gegen die Jupiter- bahn bedeutet.

Für I\ erhalten wir aus den LEVERRiEK'schen Entwickelungen folgende Form:

X cos(?(y/ + y2' + y3')-yi')]

+ 2 [(i(- 5^- + 4^•2) ^''•)+ (- 1 + 204^:- + ^*p) (2-)'

+ (^-(lU-- 32e2 + 30/3 _ Si^)Ä^i) + 1(8 - 23z + 24 1 2 - 8z V/' + (- 4+ 30.4'0 + 4iJ}^> + 4 J</)) (1) '] X cos (z (y/ + z/g' + ya') - ^!/i)

— oo

+ 00

+ 2 [-3- ( - 13^'+ löi' - 4i3)^(0 + 1( _ 3 4- 9i - 4?2)4^) — 00

+ (2 -20^^'-^^'] ^2,

X cos(z(y/ + 3/2' + y3')-3?/J + 2 [-2¥(- 206i + 283z2 - 120i3 + löz*)^«

— CD

+ i(_ 16 + 592 - 42?2 + 823)4') + 1.(8-132 + 4/2)4)

+ (-3 + 204)+4.'](|)'cos(%/ + y; + y3')-4yi).

§ 3. Entwiekelung der Störung sfunction im asteroidischen u.s.w. 371

Ich werde indessen die Entwiekelung der Störungsfunction nicht in dieser Form benutzen, sondern zuerst eine Transformation der Coordinaten vornehmen. Es ist nämlich wünschenswerth, statt x^ und Xg' andere Coordinaten einzuführen, so dass die Störungs- function nach Potenzen derselben entwickelt werden kann. Wir haben in VI § 1 gesehen, wie dies im allgemeinen Dreikörper- Problem erreicht werden kann.

Hier genügt es zu setzen:

(6)

l 3/1 =^i' + ^2 +3/3'; y%=-y'i-y^y yz=-yzj

so dass also die neuen Veränderlichen in folgender Weise durch die elliptischen Elemente ausgedrückt werden:

(6*)

0:3 = ")/a(l -e2)(l_cos/), y^=- ^ + Nt.

Die Störungsfunction lässt sich dann als eine Eeihe nach den positiven Potenzen von x^ und '^x^ ausdrücken. Man hat nach den obigen Relationen

(7)

,2 __ ^^-2 ^2

y a a

^ 2|/a(l-e^)'

welche Werthe wir in die Entwiekelung der Störungsfunction ein- zuführen haben. Setzen wir

(7*) «2^ -^^ = -^,

2ya 2xi

und brechen mit der vierten Potenz von s ab, haben wir also

24*

372 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

t = ' -H=

e

^"3

Indem wir uns auf die Bewegung in einer Ebene (der Ebene der Jupiterbahn) beschränken, können wir nun die Entwickelung der Störungsfunction in folgender Form schreiben:

F= fi^P'i^ cos ij/^

— =0

+ x

+ ti^P^i> COS [iij^ -y^ +2/2]

— 30 + CO

+ ^ 2 ^"2 cos [?>i - 2(y, + y^)]

+

oder kurz:

(8) ^ = /^ 2 2 ^^' cos [i y, - s {y, + 3/2)] ^

+ 30

i= — 00 Ä = L)

wo die Coefficienten P1" in folgender Weise von x^ und t^ (=]/«) abhängen.

Für 5 = 0 hat man:

P(0 = 1. J'O -1- (- 2iM^^J + J'/) + ^^>))62

mit folgenden Ausnahmen: Für ^ = 0;

§ 3. Entwickdung der Störung sfunction im asteroidischen u.s.w. 373

+ (_ j(j)_ j<o, .^BJ'^' + S^Oe'l- i^Mr 2=1 und i = — 1 ;

pc-i) = po) = 1^(1) _ i« + (^ _ 2^c) + ^<i) + ^a))g2

+ (_|a + 2_3^<>'_2^';'-3^'f + 3^';> + 3^7)£^.

Für 5=1 hat man:

Pf = (- 2iÄ^-^ - Äf)e

+ ((22- 52-2 + 4 23).4^^) + 1.(4 - 7 ?■ + 4 e^) Äf + ( _ 2 - 2?) ^g) - 3^'3'') e^,

mit den Ausnahmen: Für z = + 1 :

p(;' = (3«-2^<"-^';')€

+ (-!« + .4'» + i^<;> - 4^<'> - 3^'j')63.

Für 2 = - 1 :

+ d« - 11 ^'^> + -V-^'J' - 3^<;')«'- Für s = 2 hat man: P(^') = (i(_ 52 + 422)..i'»-> + (- 1 + 2i)4'' + Af) g2

+ (i(3_Li _ 38P+ 302^- 82^).4^')+ 1(11 - 292+2422- 823)^'^")

+ (_ 5 + 32).i<0 + 42J'0 + 44')) 6S

mit den Ausnahmen: Für 2 = + 1 :

+ - ;, + 1^<>' - f .47 - 240 + 4^'>' + 4.4';' 6^ .

374 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Für 2 = - 1 :

+ (^ - -¥-^''' + 24^*5' - 8^'^' - 4Ä^l> + 4 J<;'j 6^ .

Für 5 = 3 hat man:

^'3' = Li ( - 1 3 ^ + 1 5 2 2 - 4 1 V"' + i(-3 + 9z-4 ? V^/^

mit den Ausnahmen: Für 2 = + 1 :

/wr 2 = — 1 :

Für 5 = 4 hat man:

pu' = [^(_ 2062 + 283?^ - UOi^ + 16?^)^« + ^(_ 16 + 59z - 42z2 + 8?3) J(/) + i(8-13i + 4e2)40

+ (- 3 + 2i)Af + J^;^]£4

mit den Ausnahmen: Für 2 = + 1 :

^'i' = [ - ¥ - t^''' + *^'l' - 2 ^^'2' - ^'3' + ^'r] «'• Für z = - 1 :

P(;>) = |_ 1|^ + ^.4<^) - ifA^u) + J^^o) _ 5J'J* + ^'i'] £4.

Die Coefficienten .^l'' hängen nur von «, d. h. von.rj( = ]/a) ab. Es ist

d A^''^ d ä'P

dx, '■da

§ 4. Das DELAüNAY'sche Problem. 375

Nach der Definition (3*) hat man aber

so dass

(9) :r,^ = 2.J« + 2(. + 1)^1^1

ist.

Will man die Störungen bis zum vierten Grade berücksichtigen, so muss man die Grössen .4*' für s = 0, 1, 2, 3, 4, 5 berechnen.

Die Grösse e hängt von .r^ und x^ ab. Ihre partiellen Ab- leitungen lauten

( 5e _ 1 _ 1

d x-i 2\/2x.^x^ AXyS

(10)

de

d Xi

Die Ableitungen von e nach x^ enthalten also e im Nenner. Dies kann unter Umständen Schwierigkeiten verursachen, wenn man nämlich im DELAUNAT'schen Problem Glieder P^° Grades berück- sichtigen muß. ^lan vermeidet diese Schwierigkeiten, wenn man in analoger Weise wie in VI § 1 neue Coordinaten einführt.

In Bezug auf die Coefficienten Ji~" ist zu bemerken, dass

ist. Auf die Methoden zur numerischen Berechnung dieser Grössen gehe ich hier nicht ein. Leveeeiee hat in seinen Untersuchungen ausführliche Vorschriften darüber gegeben, die indessen in einigen Beziehungen vereinfacht werden können. Es ist besonders wünschens- werth, vollständigere Methoden zur Controlle der Rechnungen ein- zuführen.

§ 4. Das DELAUNAY'sche Problem.

In seiner berühmten „Theorie du mouvement de La lune^' hat Delaunay eine neue und geniale Methode eingeführt, um zu den Integralen des Problems der drei Körper zu gelangen. Sie besteht

376 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

wesentlich in der Einführung einer neuen intermediären Bahn statt der KEPLER'schen Ellipse. Durch Variation der Elemente dieser intermediären Bahn — oder richtiger einer Reihe solcher intermediären Bahnen — gelangt Delaunay zu einer rein trigono- metrischen Form für die Coordinaten im Mondprobleme. Wir werden in einem folgenden Paragraphen auf diese Frage zurück- kommen, hier wollen wir zuerst die rein mathematische Behandlung des Problems voraussenden.

Die reellen Grössen x^, x^. y^ y^ seien durch folgende Diffe- rentialgleichungen bestimmt:

(1)

dxi _ BF dy^ _ dF

~dJ ~ djy' ~dt ~ dx,

dx^ _ ÖF dy., _ dF

dt dy^ dt 0x2

wo F die Form

(1*) F= (D + ^Ä^co^iy^

hat, in welchem Ausdrucke 0, A^, A^, ... gegebene Functionen von x^, x^ sind, die in jedem Punkt [a, b) innerhalb eines gewissen Gebietes nach den positiven Potenzen von x^ — a und x^ — b ent- wickelt werden können. Die Aufgabe, die Werthänderungen von ^]j ^2' .'A' Vi aufzusuchen, werde ich das Delaunay sehe Problem nennen.

Da F von y^ unabhängig ist, so findet man zuerst, dass dx^-.dt = Q ist, so dass also

(2) x^ = Constans

ist. Die Aufgabe ist also thatsächlich auf die Betrachtung der

Gleichungen

/2*N dxi _dF^ dy^ _ dF

^ ^ dt ~ dy^' dt ~ dx,

reducirt, ein Problem, das wir mit den Methoden des vorigen Para- graphen lösen können. Wir müssen nur in Betracht ziehen, dass F einen Parameter — x„ — enthält, so dass die singulären Punkte,

§ 4. Das DjcLAUNAT'sehe Problem. 377

die wir zu betrachten haben, thatsächlich als singulare Curven auf- treten werden.

Unser erstes Problem ist also, diese singulären Curven auf- zusuchen. Nach dem Theorem im vorigen Paragraphen erhält man dieselben, wenn man x^ und y^ mittelst der Gleichungen

(3) f- = 0 = 1^ eliminirt und die Werthe in die Gleichung

(3*) C= (Ii + ^J,cosiij^

einsetzt.

Ohne die specielle Form der Functionen 0, J^, Ä^, Ä^, ..., zu kennen, kann man gewisse allgemeine Betrachtungen über das Eliminationsresultat anstellen. Die zweite Gleichung (3) lautet nämlich

(4) 0 = Jj sin ?/j +2^2 sin 2y^ + 3 J3 sin 3y^ -f- . . .

und man findet gleich, dass diese Gleichung die Wurzeln j/^ = 0 und 7/, = TT hat. Wenn noch andere Wurzelwerthe für v, vorkommen

.^1

Vi

können, so müssen sie die Gleichung befriedigen, welche man erhält, indem man (4) mit siny^ dividirt.

Man leitet indessen leicht folgende Relationen ab:

^™. ^ ^ = 2 (cosy -H cos 3 ?/ -}- cos 5y 4- . . . -f- cos (2 z — 1) y) ,

'^°^^/'~^^^ = 1 -|-2cos2y +2cos4y-H... + 2cos(2?-2)y.

und folglich hat man

(5)

^i.

^ smtyi _ ' sin 2^1

+ 2(24 + 4J, + 6.^4-... )cosy^ + 2(3.^3 + 54 + 7.4, + ...)cos2j/i + 2(44 + 64 + ...)cos3yi +

378 TJeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Aus dieser Formel lässt sich häufig leicht heurtheilen, ob andere Wurzeln als 0 und 71 vorkommen können. In vielen Fällen convergirt die Reihe der ^4-Coefficienten so rasch, dass das erste Glied in (5) die Summe der übrigen überragt, in welchem Falle offenbar keine anderen Wurzeln vorkommen können. Ist aber die Convergenz der Reihe (3*) eine schwache, so werden im Allgemeinen andere singulare Werthe als 0 und % für y^ auftreten können.

Wir wollen die Wurzeln 3/^ = 0 und y^ = tt etwas näher in Betracht ziehen. Die entsprechenden Werthe für x^ und C werden aus folgenden Gleichungen erhalten:

(6)

3/1=0,

(7= 0 + .4^ + 4+ J3 + ... ^^dO dA dA, dA,

Vi

=

;r ,

c

=

(D-

A +

^k

-4

+

0

=

60

dx.

öx.

+

dA, dx,

-

OXi

+

(6*)

Wird x^ zwischen den beiden Gleichungen (6) eliminirt, so be- kommt man eine Relation — D^[x^, C) = 0 — zwischen x^ und C, welche die Gleichung für die zu ?/^ = 0 gehörende singulare Curve giebt. Aus (6*) erhält man in gleicher Weise die Gleichung D2{x,C) = 0. Das Eliminationsresultat zwischen einer Function und ihren abgeleiteten Functionen nennt man die JÜiscriminante der Function. Die Functionen L^ und I)^ sind also die Discriminanten der charakteristischen Function F für y^ = 0 und y^ = 71, welche Discriminanten häufig mit Hilfe der Methoden der Algebra erhalten werden können.

Betrachten wir z. B. den Fall

A = -^1 ^1 »

§ 4. Das DELAUNÄT'sche Problem. 379

wo ÖQ, ög ^i^d ij gewisse Functionen von x^ sind und A^ = A^ = ... = 0 angenommen werden, so lauten die Gleichungen für die singulären Curven

so dass in diesem Falle D^ und D^ zusammenfallen. Wäre

^^ = f'o + «1^1 + «2^1^

A = ^ -^-i ' so hat man

[ 0 = ^1 (^2' ^l = («1 + \f - ^ («0 - ^") «2 .

l 0 = D,{x„ C) = [a^ - b,f -4ia, - C)a,.

Diesen beiden Annahmen über F entsprechen zwei wichtige Fälle im Dreikörper-Problem.

Für etwaige Anwendungen schreibe ich noch nach Salmon („Higher Algebra", S. 306, 1876) die Discriminante hin unter der Voraussetzung, dass F vom vierten Grade in x^ ist, so dass

^ = «0 + «1 ^1 + «2 ^1^ + «3 ^1^ + «4 ^/

ist. Man hat dann

D = 4(12 «„a, _ 3 a, 03 + a^^ - {12a,a.^a^ + 9 a, a^ «3

Liegen die Werthe von C und x^ auf einer singulären Curve, so entsteht nach dem vorigen Paragraphen immer Limitation. Im Allgemeinen begrenzen die Curven i>^ = 0, D^^O verschiedene Ge- biete der Veränderlichen C und x^, innerhalb welcher besonders charakterisirte Bewegungsverhältnisse auftreten. So kann z. B. in einem Gebiete die Grösse y, zwischen zwei endlichen Grenzen periodisch schwanken, in einem anderen wird sie mit t ins Unend- liche wachsen. Die singulären Curven spielen also die Rolle von

380 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Discontinuitätscurven, indem nämlicli beim Uebergang über eine solche Curve der analytische Ausdruck für die Coordinaten sprung- weise in andere Formen übergeht.

Die Darstellung der Coordinaten im DELAUNAT'schen Problem, als Functionen der Zeit, geschieht im Allgemeinen ziemlich einfach unter Anwendung der HAMiLTON-JACOBi'schen partiellen Differential- gleichung. Als „^/-Coordinaten" kann man je nach den Umständen entweder die y^ und y^ oder die x^ und x^ benutzen. Im vorigen Falle hat man die Differentialgleichung

dt \dtj, dyj

zu betrachten. Da t und y^ nicht in F vorkommen, so kann man das Integral in folgender Form ansetzen

(8*) r=Ct+a,y,-h Jr{tj,),

wo Jf'{y^) aus der Gleichung

zu bestimmen ist. Hat man ein Integral dieser Gleichung r= Jf^'{y„a,,a,)

mit der Integration sconstante «^ gefunden, so erhält man die Coordinaten aus den Gleichungen

dC dW _ dTV

Aus (1*) und (8*) ist ersichtlich, dass — von den singulären Werthen der Constante C abgesehen — d ff: dy^ eine periodische Function von y ist, und dass JV die Form

§ 4. Das Delaüuay' sehe Problem. 381

W=B,y^+2B^ siny, + 2B^ sin 2y^ + 2B, sin 3^1 + ...

hat. Hier bezeichnet B^ eine gewisse Function von cc^ und C.

Nun ist aber die Wahl der Integrationsconstante a^ willkürlich;

wählt man sie gleich B^, so nehmen die Gleichungen (9) folgende einfache Form an:

(10)

(10»)

^1 = c^i + 2 2 «' A- ^^^ ^¥i ' X., = «„ .

Einen analytischen Ausdruck für die Coefficienten B. findet man leicht. Man hat thatsächlich

71

i = ^ / -^1 cos it/, dy^ ,

(11) iB,

wo der Werth von ^r^ aus der Gleichung F{x„a,)=C einzusetzen ist. Für i = 0 hat man

(11*) B, = a,=^Jx,dy,,

0

durch welche Relation a^, a^ und C mit einander verbunden sind.

Das DELAUNAT'sche Problem ist hiermit, wenigstens für nicht- singuläre Werthe von C, vollständig gelöst.

Würde man x^ und x^ als „y-Coordinaten" benutzen, was in diesem Probleme im Allgemeinen vorzuziehen ist, so gestaltet sich die Lösung folgendermassen:

382 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Die HAMiLTON-JACOBi'sche Differentialgleicliuiig nimmt die Form

(12)

an, und folglich können wir

F= C't + ci^cp {x^) + W

dt +^^-^l'^2' öxj ^

setzen, wo (f eine willkürliche Function von x^ bezeichnet und TV aus der Grleichung

d W

(12*)

F\x,,x,, ^

C

bestimmt wird. Wir wählen am einfachsten (f){x^ = x^, so dass

(12**)

r = C't + a'x^

w

ist. Die Gleichung (12*) hat nach (1*) die Form

(13)

<i){x^,x^-^ ^A.cos;

d x^

c

Wir denken uns diese Gleichung nach dW:dx^ aufgelöst, so dass man hat:

(14) ^ = Z(x,,;r,,<),

wo a^' eine vorläufig unbestimmte Function von C und x^ bezeichnet. Die Integrale der Gleichungen (1) werden nunmehr aus den Relationen

._ dV __ dC dW

(14*)

bestimmt.

BW

ÖC' , , , BW

Bx^

B X2

§ 4. Das DELAUNAY'sGhe Problem. 383

Die Form der Lösung ist nicht so leicht zu übersehen wie im vorigen Falle. Wir können indessen die obigen Gleichungen ver- einfachen. Zuerst wollen wir zeigen, wie man die Grösse u^' in solcher Weise wählen kann, dass die mittleren Bewegungen der beiden Winkelgrössen y^ und y^ mit bezw.

^-T und -^ —

0 «1 ox^

zusammenfallen.

Aus dem Intearrale

0 + 24 cos iy^ =— C

ist ersichtlich, dass x^ unverändert bleibt, wenn y^ mit 27i wächst. Die mittlere Bewegung von y^ ist also gleich 2n dividirt durch die Periode von x^. Diese lässt sich aber aus der Gleichung

BC , _ dW

bestimmen. Ist nämlich r^ der Minimalwerth von x^ und r^ sein Maxim alwerth, so hat man nach (14)

W"=^jKdx^

da man das Recht hat, die eine Grenze des Integrals beliebig zu wählen. FolgUch wird

—r = I -^ — r dx, J ^< '

wenn die Integrationsconstante 7/ so gewählt wird, dass

_ dC wird für x^ = ^2-

0 «1 ^

384 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Nennt man 2 T die Periode von x^ , so hat man offenbar

(15) 5 — r ^ = / -j, — r « i'i •

Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich als die partielle Ableitung einer gewissen Function von «/ und x^ darstellen. Setzt man für den Augenblick

so ist

dQ da/

Q{c(^',x^) = ^ / Kdx^, — / -^ — r dx, + — A, .. , A, j ,

Das letzte Glied in diesem Ausdrucke verschwindet nach den gemachten Voraussetzungen, ^veil K^^ = 0 ist. Andererseits ist Kr = 71, und man hat also

dQ

'1

- = — / ^ — r fix, + -5— V

und ebenfalls

1^

dx,

L = j_ Ca

, .ja

x, 1 ' da;.

Setzt man also (16) q^=l-JKdx^

so ist

(16*)

1^ = 1 r^^,,

9«! TT / Ö «1 ^

'•2

Ö a52 TT / Ö Xg ^

§ 4. Das DELAUNAY'sche Problem. 385

Wir können folglich die Gleichung (15) in der Form

(17) _4^r = ;r4%

schreiben.

Wird die mittlere Bewegung der Grösse y^ mit n^ bezeichnet, so ist

	^i = T
und also nach (17)
(17*)	„ oft __ dC 1 dtti dtti'

Wir wollen jetzt einen Ausdruck für die mittlere Bewegung n^ der Grösse j/^ aufsuchen. Zu diesem Zweck suchen wir zuerst das mit t multiplicirte Glied in dW':d x^ auf.

Man hat

dw _ r dK . _ r ^^ i^^/

'd^,~ J T^,""^ ~ J dx, dt "^'^

wo t^ den Werth von t bezeichnet im: x^ = r^.

Nun ist dK-.dx^ eine periodische Function in n^t -\- c^ — wo unter c^ eine gewisse Constante bezeichnet wird — , so dass man für den Coefficienten von t rechter Seite in der obigen Gleichung nach dem FouEEER'schen Theorem den Werth

1 C dK dx, ,. ,, n, C dK , oft

— / -5 TT d in, i) = -• / -7. — dx, = «, -—

71 J dx^ dt ^ 1 '' TT J d Xj 1 '■ öx^

0 r,

erhält. Also ist

/1QN öC, oft

Die Formeln (17*) und (18) sind allgemein gültig. Besonders einfache Werthe erhalten diese Grössen, wenn «/ mit Q^ zusammen- fallen sollte. Dann hat man

Chaklier, Mechanik des Himmels. II. 25

386 Weber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

und also

(19)

dQr da,'

= 1,

= 0

^1=-

dC

du,'

'

^2 =

ec

dx.

Würde dagegen a^' mit C zusammenfallen, so würde man erhalten

^1 ö C" ' Wj d «2

Lässt man &;' mit Q^ zusammenfallen, in welchem Falle wir die Gleichungen (19) erhalten haben, können wir beweisen, dass «/ = — «^ ist.

Man hat in der That

0

Durch theilweise Integration erhält man aber

jr n ri

und da

(^x).

ii/i)^ = ^ ; (yJo = 0

und ausserdem nach (14^

W

ist, so erhält man somit

(20) < = -.

4. Das Delaunay'' sehe Problem. 387

Da nach (8**) und (12*) noch die Relation

C' = -C besteht, so hat man

^ dC

mit den Formeln (10) übereinstimmend.

Die Berechnung der analytischen Ausdrücke für die Coordi- naten im DELAUNAT'schen Problem stellt sich offenbar, rein mathe- matisch genommen, viel einfacher und übersichtlicher, wenn man y^ und 3/2 als „^'-Coordinaten" annimmt, als wenn man x^ und x^ als solche benutzt. Indessen ist die letztere Wahl, wie schon ge- sagt worden ist, in praktischer Hinsicht vorzuziehen. Die Ursache hiervon ist, dass man im Ausdrucke (1*) für F im Allgemeinen nur wenige Glieder in der Summe mitzunehmen braucht, ja dass öfters ein einziges Glied eine gute Annäherung geben kann. Die Folge hiervon ist, dass die Auflösung der Gleichung (8**) in Bezug auf d JF: dy^ sich im Allgemeinen viel schwieriger gestaltet, als die Berechnung von dW':dx^ aus der Gleichung (12*). Indem es im letzteren Falle öfters genügend ist, eine Gleichung ersten oder zweiten Grades aufzulösen, muss man in (8**), um dieselbe Genauig- keit zu erreichen, eine Gleichung wenigstens des vierten Grades in Betracht ziehen.

Die weitere Verfolgung der Lösung geschieht folgendermassen:

Man wählt «/= Q^ und erhält aus

(21) -|^,^ + y/=4^

in bekannter Weise x^ als eine periodische Function von

Die zweite Gleichung (14*) giebt

^2 = /g' = Constans.

25*

388 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Die dritte und vierte Gleichung giebt unter Anwendung von (14) z/j und y^ als Integrale über bekannte Functionen von x^, die man in FouEiEE'sche Reihen nach Vielfachen des Argumentes (21) entwickeln kann. Man erhält somit y^ und y^ als Functionen der Zeit.

Wir werden in einem folgenden Paragraphen Gelegenheit haben, dies Verfahren näher zu beleuchten.

§ 5. Ueber die Commensurabilitäten niedrigen Grades.

Sind die mittleren Bewegungen n und n zweier Planeten nahe commensurabel, so dass genähert

n:n' = q:p

ist, wo p und q ganze Zahlen bezeichnen, die zu einander relativ prim sind, so entstehen, wie wir in VI § 4 gesehen haben, grosse Störungen in den Coordinaten der Planeten, deren Studium mit bedeutenden Schwierigkeiten verbunden ist. Den absoluten Betrag der Differenz q — p nennen wir den Grad der Commensurabilität. Wird ein Glied, das in den Störungen erster Ordnung das Argument

[pn — qn')t -\- Constans

hat, aus der Störungsfunction herausgenommen, kann man mit Hilfe des DELAUNAT'schen Problems ein angenähertes Studium der Bewegung vornehmen. Die diesbezüglichen Untersuchungen sollen Gegenstand der Betrachtungen dieses und des nächsten Paragraphen ausmachen.

Ich fange mit den Commensurabilitäten niedrigen Grades an. Bei vielen der kleinen Planeten kann man durch Betrachtung eines solchen Gliedes, unter Hinzunahme der secularen Störungen — welche das DELAUNAY'sche Problem erlaubt gleichzeitiy in Betracht zu ziehen — zu einer sehr angenäherten Kenntniss der Bahn des Planeten gelangen. Eine solche Untersuchung hat auch ihr grosses theoretisches Interesse, da sie eine Ahnung giebt von den grossen Schwierigkeiten, die man zu überwinden hat, um zu der allgemeinen

§ 5. Ueber die ContynenstM-abüitäien niedrigen Grades. 389

Lösung des Dreikörper -Problems zu gelangen. Die Betrachtung der Commensurabilitäten höheren Grades ist von nicht geringerem Interesse für diese Frage.

Indem wir uns immer noch, um die principiellen Gesichts- punkte hervorheben zu können, auf das asteroidische Dreikörper- Problem in der Ebene beschränken, nehmen wir aus dem Ausdrucke für die Störungsfunction — Gleichung (8) des dritten Paragraphen

— folgende Glieder heraus:

1) Die in F^^ enthaltenen Glieder nullter Ordnung in Bezug auf die Masse — also in den Coordinaten x^, x^, y^, y^ des vorigen Paragraphen ausgedrückt

(1) ^o = ^. + ^(^i-^J-

2) Die secularen Glieder, die wir mit [F] bezeichnen. Diese sind nach dem Ausdrucke für P'°' im dritten Paragraphen

(2) [i<] = ^[i^(«' + (^7 + ^<o))«2+(-^(J)_^<o)+3^'»'-F3^'«)fi*].

3) Diejenigen Glieder in F, welche ein bestimmtes Argument g

— wo ^ eine lineare Function von y^ und y^ ist mit ganzzahligen Coefficienten — und seine Vielfachen enthalten. Wir schreiben diese Glieder in der Form

^G.co^ig, wo

9 ^hVi- h Vi

und G'j , r/g , G^i "• bekannte Functionen von x^ und x^ sind. Die Grössen s^ und s^ bezeichnen beliebige ganze Zahlen. Indem wir

(3) Ä = -^0 + [^1 + 2 ^i cos ig

setzen, sind wir also zur Betrachtung der Gleichungen

390 Ueb&r die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

, dxi _ dR dy^ _ dR

dt ^ dy,^ d t ~ d x,^ (3*)

dx-i _ dR dy^ _ dR

^ dt ^ dyi' dt ~ ÖX2

geführt.

Diese Gleichungen sind von der Form, die wir in § 4 für das ÜELAUNAi'sche Problem vorausgesetzt haben, oder können wenigstens durch eine lineare Transformation der Coordinaten auf diese Form gebracht werden. Wir können auch die im genannten Paragraphen gemachten Untersuchungen hier direct anwenden.

Statt vom Grade \q — p\ einer Commensurabilität zu sprechen, sagt man auch, dass die Commensurabilität vom Typus p : q ist. Es ist zu bemerken, dass das entsprechende periodische Glied in F immer vom Grade q — p \ in Bezug auf die Excentrici täten und die Neigungen ist.

Um die Ausdrucksweise zu präcisiren, nehmen wir jetzt an, dass es sich um die Commensurabilitäten vom Typus i/S handelt. Das entsprechende periodische Hauptglied in (3) ist dann vom zweiten Grade in Bezug auf die Excentricität, Aus der Formel (8) des dritten Paragraphen erhalten wir für s = 2 und 2 = 3:

(4) {

Weiter erhält man für s = 4 und i = 6:

(4*) nP'l^ = &2 = /a(157^'^' + ^-'-Ä'l' + 37^'«' + dJ'l^ + Ä^l')e\ Für das Argument y erhält man den Werth

oder nach den Formeln (6*) des dritten Paragraphen (5*) ^ = /- 3iV^+ 3;r.

§ 5. Ueber die Commensurabüitäten niedrigen Orades. 391 Wir führen jetzt mittelst der linearen Transformation

\9.

h	= -	1^1+^2 =
K	= 3/]	»
Xj	= -	iA+^2

A.

statt Xj, x^, y^, y^ die neuen Coordinaten A^, A,^, A^, 1^ ein. Nach § 1 sind diese Coordinaten auch canonisch. Wir haben also

(6)

A=^25 ^^1=- 1^1+^2

^J2 = ^"i+i^2; h^Vx^

oder in den osculirenden Elementen ausgedrückt

j A=l/«(1- W^')

\{^Nt- l- Sti),

1 A,^ = ^ß[\-\^|\-e'), ^2 = z + TT - iV^

und es ist

(7)	dA^ dR dt ö Ai dA^ dR dt ~ Ö/2
wo
(7*)	^ = ^0 + [
ist.

dl,

dt

dR - ÖA,

dl, dt

dR ~ dA,

Die Grössen /;, [F] und 6-'. sind durch (1), (2), (4) und (4*) als Functionen von x^ und x^ gegeben. Es erübrigt noch diese Grössen als Functionen von A^ und A^ darzustellen.

Aus (6) erhält man

^i = -^2-iA; 1/1 = K'

^2 = ^i; y2 = ^i+i'^2^

(8)

392 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. so dass man zuerst erhält:

In Bezug auf [i^J und (?. empfiehlt sich nach den Potenzen von A^ zu entwickeln.

Erstens bekommt man

(i») «'-^ = 2Ä; = ^" + '" + '" + ---

wo

(10-) e- = ^

gesetzt worden ist.

Die Grössen Ä^l^ sind nach dem dritten Paragraphen durch die Formel

^ da'

definirt und sind also Functionen nur von ar.. Man hat also

4«(^, - i4) = ^« -\a'-^ + {fi\ ^ + . .

ö «1 ' V 2 / 2 ö »1

wo in den Ausdrücken innerhalb der Klammern nach den Difi'e- rentiationen x^ = A^ zu setzen ist.

Aus der Formel (9) des dritten Paragraphen leitet man aber leicht folgende Kelationen ab:

x,^ =2Äf.

1 ÖiC. 1

~ 2 ;)» iO')

§ 5. lieber die Commensurahilitäten niedrigen Grades. 393

so dass

(1 1) ^« (^2 - i ^i) = ^^^'^ - 26'2 Af + e^{Ä(p + 44«)) + . . .

ist, aus welcher Formel man leicht die entsprechenden Ausdrücke für A^p, Af, A^.p, . . . ableiten kann.

Da es hier nicht meine Absicht ist, die Commensurahilitäten vom Typus 1/3 vollständig zu untersuchen, sondern nur einige principielle Gesichtspunkte hervorzuheben, werde ich mich in der folgenden Untersuchung auf die Glieder zweiten Grades in [F] und G^ beschränken. Dagegen werden wir F^ unverändert behalten.

Man hat also unter Berücksichtigung von (11)

f ^=YMrW + ^("'^-^^^^

(12)

l _|_ ^{x^"» + yi<°'£'2 + [IJlA"' + 5^'^' + Ä'l') €'2cos2 A^} .

Da H von l^ unabhängig ist, hat man nach (7) (13) A^ = Constans.

Die Grössen ^i'' sind also bei der Integration als Constanten zu betrachten.

Zuerst sind die singulären Wertfie der Integrationsconstanten zu bestimmen. Diese erhält man nach § 2 durch Elimination von A^ und Aj aus den Gleichungen:

dB ^ n ^ ü^

dA, dl,'

Die zwei letzteren Gleichungen lauten:

394 üeher die For^n der Integrale im Problem der drei Körper.

wo man hat:

(14**) K = y^Ä^'^-^bÄ'l^ + Ä'lK

Die Gleichung (14*) hat nur die Wurzeln A = ^(ä = 1, 2, 3, . . .).

Es ist zu bemerken, dass diese Schlussfolgerung nicht immer, für Commensurabilitäten niedrigen Grades, gilt, wenn man Glieder mit den Argumenten 4A, 6A u. s. w. mit berücksichtigt. Es können

dann Singularitäten für andere Werthe als 1 = 0 und ^ = -^ auf- treten, wie wir in § 4 gefunden haben. Im Besonderen gilt dies für Commensurabilitäten vom Typus 1/2, 2/3 u. s. w., wo die charakteristischen Glieder vom Grade eins sind.

Setzen wir die Werthe /l = 0 und A = ^ in (14) ein, so er- halten wii- folgende Gleichungen zur Bestimmung der singulären Werthe von A^:

Die entsprechenden Werthe von C erhält man aus:

(16) C=Il = F, + [F] + ,j.Ke"',

(16*) 6'=^= F, + [F]-fiKeK

Die Gleichungen (15) und (15*) können direkt nach A^^ auf- gelöst werden. Man erhält aus (15)

(17) A,-^A, = l3N-^{A^l^ + K)] ''

und aus (15*)

(17*) A, - ^A, = (3i\^- ^(^<°'-Ä')]"^

§ 5. üeber die Commensurabilitäten niedrigen Grades. 395

Diese Werthe für A^ sollen in (16) und (16*) eingesetzt werden. Wir erhalten somit zwei Relationen zwischen A^ und C, welche uns die zwei singulären Curven für den Typus 1/3 geben.

Die Gleichungen für diese Curven können also streng ab- geleitet werden. Es empfiehlt sich aber für die numerische Rech- nung eine Entwickelung nach Potenzen von A^ zu benutzen. Bevor ich aber zu dieser Entwickelung übergehe, werde ich indessen einige Bemerkungen über die strenge Lösung der Gleichungen (7) einschieben.

Nimmt man in [F] und G^ nur auf die Glieder zweiten Grades Rücksicht, so dass R von der Form (12) ist, so lässt sich offenbar — nach (12) — die Gleichung für die ßahncurve in der Form

— -"■1 u' + ß' Äi + f A^^ + 6' yli^

schreiben.

Werden die Zähler und Nenner rechter Seite dieses Aus- druckes bez. mit X und Y bezeichnet, so findet man weiter, dass die Relation zwischen A^ und der Zeit von der Form

' J yiY-X){Y + X)

ist. Die Function unterhalb des Wurzelzeichens ist zwar vom sechsten Grade, man kann aber doch in bekannter Weise die Be- wegung untersuchen, was hier noch dadurch erleichtert wird, dass das Polynom sechsten Grades in zwei Factoren dritten Grades auf- gelöst erscheint.

Wir wollen indessen diesen Weg nicht weiter verfolgen, sondern statt dessen R nach Potenzen von A^ entwickeln. Die Gleichungen (17) und (17*) zeigen, dass auf der singulären Curve A^ in der Nähe des Werthes (3iV)-V» Hegt. Es ist deswegen am dringendsten, solche Werthe von A^ in Betracht zu ziehen, die wenig von (3iV)-'/3 abweichen. Wir setzen demnach

396 üeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

und entwickeln ü gleichzeitig nach Potenzen von | und Ay Zur Abkürzung setzen wir noch

(18*) z^^^xA,.

Dann ist

und folglich bis zu Gliedern zweiten Grades in | und z incl Weiter hat man

= J'°' (-) + 2|^'J) + .. .,

und

so dass, unter Vernachlässigung von Gliedern von der Ordnung ^'^n,

ist. Die Grössen Ä" , ^'J', J'"' und K sind für den Wert x^ = 1/x zu berechnen.

Setzt man noch

(19) V = ^C-^-^f,Ä^o^,

§ 5. üeber die Commensurabilüätm niedrigen Grades. 397

so lautet die Gleichung für die Bahncurve

(20) V = - il + 3|2+ 3z2 - 6|^ + ^iu{^<JH-^7z + Zzcos2A,}.

Die Form der Curve hängt von den zwei Parametern | und ri ab. Die singulären Werthe erhält man wie voraus für l^ = 0 und Aj = 71 12, indem nach den Auseinandersetzungen in § 4 die Discri- minanten der Gleichungen

aufsucht.

Diese Discriminanten lauten:

(21) {6| - ^.u(^-^ ± K)y= 12 (- 7/ - II + 3|2 + -^fiA^Vi

Die Glieder zweiten Grades in | heben einander gegenseitig auf, so dass die singulären Werthe von | und i] geometrisch durch zwei gerade Linien dargestellt werden, deren Gleichungen die Form

(21*) V+^.f^\Ä'V±J^?-l\-i + ^f^{A'V + ^'V±K)\ =0

haben. Nennt man die Discriminanten B^ und D^, so hat diese Gleichung also die Form

D^=0 und D^=0.

Wir setzen zur Abkürzung, um für die numerische Rechnung bequemere Formeln zu erhalten,

(22)

r/ = 1000 7; + f|-3|2_^^.4'«>|

. , 2000 .,0,

,„ 2000 r.

398 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

und können also die Gleichung (20) in der Form

(23) 1]' = 3000 z^- + z[- 6000 i + A^' + K' cos 2l{\

schreiben.

Ist die Masse |it des störenden Körpers bekannt, so kann man für Ä^ und K' bestimmte numerische Werthe einsetzen.

Wir nehmen an, dass es sich um die Jupiterstörungen handelt,

so dass

_ 1 ^ ~ 1047" ist.

Man bekommt dann folgende Werthe für die hier vorkommen- den LAPLACE'schen Coefticienten. Man hat

;f3 = 3 jv = 3yr+7 = 3.001 43 , y^ = 1 =0.69325,

woraus man a^ = 0.48060 bekommt, mit welchem Werth als Argument die LAPLACE'schen Functionen aus den Tafeln von RuNKLE folgende Werthe erhalten:

1^7=+ 1.0667,	J(3)=+ 0.0777,
^7 = + 0.3099 ,	J'J> = + 0.2531,
^'«> = + 0.2585,	^'^' = + 0.3109,
^<°*= + 0.1466,	Ä\' = + 0.2029 .
Hieraus leitet man den Werth
Ä' = + 2.3924
Aus diesen Werthen erhält man
. , _ 2000 /i _ ^1 - ^2 ^1 -	+ 0.2845,

J2' = ^^^<°' = + 02373,

Ä- = ^^Z =+2.1963,

§ 5. lieber die Commensurabilüäten niedrigen Grades. 399

und weiter nach (22) (22*) 7/' = 1000 7? + 1333,0488 | - 3000 12 .

Nennt man die singulare Curve, welche dem Werth \ = 0 entspricht, L^ und diejenige singulare Curve, die man für A^ = %I2 erhält, L^, bekommt man folgende Gleichungen für L^ und L^:

Die singulare Curve L^

(24) 1000 r]=- 0.000 4935 - 1330.6152 | . Die singulare Curve L^

(24*) 1000 n = - 0.000 3198 - 1335.0078 1 .

Führt man die Grösse rf statt r\ ein, lauten diese Gleichungen. Für L^\

?/ = _ 0.000 4935 + 2.4336 | - 3000 12 . Für L^:

7f = - 0.000 3198 - 1.9600 1 - 3000 12 .

Die rechten Seiten sind genaue Quadrate, so dass man diese Gleichungen auch in folgender Form schreiben kann:

( Z-.-i]' = 3000 (I - 0.000 4056)2 ,

(25) \ '

l i/2 : - 7/ = 3000 (I + 0.000 3266)^ .

Durch die Grössen 7/ und | ausgedrückt sind also die singu- lären Curven zwei Parabeln mit parallelen Achsen, mit den Scheiteln bez. in den Punkten |= +0.0004056 und |= -0003266. Wir werden im Folgenden vorziehen, uns auf die beiden geraden Linien (24) und (24*) zu beziehen.

Diese beiden Linien schneiden sich im Punkte

I = + 0.000 0395 , 7? = - 0.053 0927 .

400 Ueher die Form der Integrale im Problem, der drei Körper. Um die Diflferentialgleichungen

dAi _ dB d)n __ _ dR_

zu lösen, gehen wir von der HAMiLTON-jACOBi'schen Gleichung

(26) r/ = 3000 z^ + z\- 6000 1 + ^2' + K' cos 2 ~^

aus. Ist

,c^n*^ T7'/ ^ C 7?' - 3000 *2 + 6000 | X - A' * , .

(26*) W = \ \ arccos-^ ,^7- — ^ — d A,

K'x

eine Lösung dieser Gleichung, wo ?/ als die Integrationsconstante betrachtet wird und nach (18*)

dA, =-dz

ist, so werden nach § 1 ^^ und A^ durch folgende Gleichungen als Functionen der Zeit gefunden:

„,„, , , ri' - 3000 TcT- + 6000 ^ X - A^' %

(27) A^ = i arccos ^ ^^^ ,

Setzt man

X, = K' z- ii' + 3000 ^2 _ 6000 ^z + Ä^ z,

(28)

Z, = Z'r + ^/ - 3000^2 + 6000|2r - Jg'z,

so lautet die Gleichung (27*)

wodurch z als Function der Zeit gegeben ist.

§ 5. üeber die Commensurabiiitäten niedrigen Orades. 401

Die Grenzen, zwischen denen die Grösse z schwankt, sind durch die Wurzeln der Gleichungen X^ = 0 und X^ = 0 bestimmt. Diese lassen sich mit Hilfe der Discriminanten D^ und D^ aus- drücken. Setzt man

D^' =r ID^ = i-7/ + 0.000 0001645 + 0.443 5384 1,

D^' = ii>2 = i^/ + 0.000 000 1066 + 0.445 0029^

und schreibt man weiter
-^\ =	3000 (z	-?i)(^	-92)'
!-,=-	- 3000 {z	-o,){z	-0,),
SO hat man

(29)

Q^ = i- 0.000 4056 + yZV ,

02 = I _ 0.000 4056 - y^,

03 = I + 0.000 3265 + y^, Q^ = i + 0.000 3265 - yiV .

Die Discriminaute D-^' wechselt das Zeichen auf der Linie Z^, die Discriminaute I)^' auf der Linie L^. Ist D^' negativ, so hat die Gleichung X^ = 0 keine reelle Wurzel und X^ bleibt immer positiv. Ist D^' negativ, so hat die Gleichung X^ = 0 keine reelle Wurzel und Zj bleibt immer negativ. Da das Product X^ X^ nicht negativ sein darf, so findet man, dass solche Werthe von | und ij nicht vorkommen dürfen, für welche D^ und D^ gleichzeitig negativ sind.

Die beiden geraden Linien L^ und L^ theilen die reelle |7?-Ebene in vier Gebiete, die wir mit G^^, G^, G^ und G^ be- zeichnen, und zwar so, dass man hat

in G^ : D^ positiv, I)^ negativ,

„ G^'.B^ „ , i>2 positiv,

„ (z'g : i>j negativ, B^ „ ,

„ , i>2 negativ.

G.--^x

Chaklier, Mechanik des Himmels. II.

402 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Das Gebiet G^ ist „verbotenes" Gebiet, da die Differential- gleichungen keine reelle Lösung gestatten, wenn der Punkt (|, ?;) in diesem Gebiete liegt.

Fig. 22.

In G^ sind die Wurzeln pg

und Q^ imaginär, so dass hier X^ immer negativ bleibt. Folglich muss X^ auch immer negativ bleiben, wozu erforderlich ist, dass z zwischen den Wurzeln g^ und (jg schwankt. Hier kann offenbar niemals 2\ gleich 180° sein, sondern die Winkelgrösse \ schwankt pendelartig um den Werth \ = 0. Man hat also im Gebiete G^ Libration in 1^ um Aj = 0.

In G^ sind alle Wurzeln q^, q^, q^, q^ reell. Hier müssen also entweder X^ und X^ gleichzeitig beide positiv oder beide negativ sein. Die Grösse z schwankt zwischen einer der Wurzeln g^ oder g^ und einer der Wurzeln g^ oder g^. Welche von diesen Wurzeln die Grenzen von z bestimmen, hängt von deren numerischen Grösse ab. Die Winkelgrösse l^ wächst hier mit der Zeit ins Unendliche.

Endlich sind in 6^3 die Wurzeln g^ und g^ imaginär, so dass X^ immer positiv bleibt. Folglich muss auch X^ immer positiv sein, wozu erforderlich ist, dass z zwischen den Grenzen g^ und g^ schwankt. Die Grösse 21^ kann hier niemals gleich 0° sein, sondern schwankt pendelartig um den Werth 2\ = 180**. Man hat

also

Gebiete G^ Libration in A, um den Werth 2/, = 180°.

§ 5. üeber die Commensurdbüitäten niedrigen Grades. 403

Um die oben skizzirten Bewegungsverhältnisse zu beleuchten, werde ich die Berechnung der Wurzeln für einen bestimmten numerischen Fall durchführen.

Ich setze

I = + 0.001

und erhalte dann die Discriminante aus den Formeln

2)/ = i,y + 0.000 443 7029, i>/ = ^7/ + 0.000 445 1095.

Ich ertheile nun der Grösse tj verschiedene Werthe zwischen + 0.003 und - 0.001 335 3295, welcher letztere Werth auf der Grenze zum „verbotenen" Gebiete {G^) liegt, und erhalte aus (29) folgende Werthe für die Wurzeln:

\V Qi Q2 Qs ?4

1) + 0.001 + 0.038 5905 - 0.037 4017 + 0.039 3411 - 0.036 6880 ,

2) -0.000 2 +0.016 2054-0.015 0166 +0.016 9825-0.014 3295,

3) - 0.000 4430 + 0.001 4311 - 0.000 2423 + 0.002 7756 - 0.000 1226 ,

4) - 0.000 44335 + 0.001 1885 + 0.000 00035 + 0.002 6530 ± 0.000 0000 ,

5) - 0.000 44370 + 0.000 5944 + 0.000 5944 + 0.002 5125 + 0.000 1405 ,

6) - 0.000 44440 imaginär imaginär + 0.002 1688 + 0.000 4842 ,

7) - 0.000 44511 „ „ + 0.001 3265 + 0.001 3265 .

Die Punkte 1), 2), 3) und 4) liegen im Gebiete G,^. Der Punkt 5) liegt auf Z^, also auf dem Uebergang zum Gebiete 6^3. Punkt 6) liegt im Gebiete G^ und endlich liegt Punkt 7) auf Z^ an der Grenze zum „verbotenen" Gebiete G^.

In den Fällen 1), 2) und 3) oscillirt z periodisch zwischen g^ und (Jg. Die Winkelgrösse Aj wächst mit der Zeit ins Unendliche.

Für i ?y = — 0.000 44335 und überhaupt für alle solchen /y- Werthe, die zwischen diesem Werthe und dem Werthe 1- 7; ==— 0.000 44370 liegen, treten eigenthümliche Bewegungs- verhältnisse auf Es können nämlich hier zwei verschiedene Bahn- formen auftreten: enhceder oscillirt z zwischen q^ und q^ oder

404 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

zwischen q^ und q^. Die Coordinaten sind also nicht eindeutige Func- tionen der Integrationsconstanten | und ?/.

Für -i-?y =— 0.000 44370 tritt Limitation auf. Dies kann auch in zweierlei Weise geschehen. Die Grösse z nähert sich dem Grenzwerth + 0.000 5944 entweder von kleineren z - Werthen, welche die untere Grenze z=+ 0.000 1405 haben, oder von solchen 2;-Werthen ausgehend, die grösser als der Grenzwerth und kleiner als +0.002 5125 sind.

Im Falle 6) oscillirt z zwischen 03 und o^. Die Winkel- grösse 2\ kann hier niemals gleich Null sein, sondern oscillirt um den Werth IbO^. Hier tritt also Libration in l^ auf. Dies findet statt für alle Werthe von ?y, die zwischen i/y =— 0.000 44370 und i,y = — 0.44511 liegen.

Endlich nimmt im Falle 7) z den constanten Werth +0.0013265 an, was für | // = — 0.000 44511 eintritt. Für ?/-Werthe unterhalb dieser Grenze sind keine reellen Bewegungen möglich.

Die Wurzelgrössen o^, o^, 03, o^ geben die Punkte der Bahn- curve, welche den Werthen 21^ =0 und 2A^ = 180^ entsprechen. Um noch zwei Punkte der Bahncurve zu erhalten, werden wir aus (26) den Werth der Grösse z berechnen, welcher dem Werthe

^2' + Ä"cos2;.j = 0

für l^ entspricht. Die numerischen Werthe von A^' und Ä" hier eingesetzt, geben 22^ = + 96°.20.

Die entsprechenden Werthe von z sind nach (26) und (22*)

i±l/r

3000

= I + Vh/ + 0.4443496^. Wir erhalten also in den drei Fällen 3), 4) und 5)

3) Zj = + 0.002 162 , ^2 = negativ,

4) r^ = + 0.002 000 , z^= „ ,

5) ^1 = + 0.001 806 , ^3 = + 0.000 194 ,

§ 5. Ueber die GommensuraMlitäten niedrigen Grades.

405

Tn den Fällen 6) und 7) sind die Werthe von Zj und z^ imaginär.

In der Fig. 23 habe ich die Form der Bahncurven 3) bis 7) geometrisch veranschaulicht. Die eine Curve 4), welche innerhalb der kleineren Limitationsschleife liegt, reducirt sich in dieser Scala auf einen Punkt. Die Limitationscurve ist punktirt gezeichnet. Wenn Limitation auftritt, so bewegt sich der Punkt (z, AJ auf einer der beiden Schleifen und nähert sich mit wachsender Zeit unbegrenzt dem Doppelpunkt der Limitationscurve, ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen.

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X"

Fig. 23.

Ist I negativ oder positiv und kleiner als 0.000 0395 (die |-Coordinate des Schnittpunktes der Linien L^ und L.^, so erfahren die obigen Auseinandersetzungen insofern eine Aenderung, als nun- mehr die Libration in 2\ nicht mehr um 2/^ = 180°, sondern um

den Werth 2;.i = 0 stattfindet.

406 TJeber die Form der Integrale im Problem d&r drei Körper.

Die erhaltenen Zahlen werden verständlicher, wenn wir mit Hilfe der erhaltenen Grenzwerthe für z die entsprechenden Grenz- werthe der osculirenden mittleren Beicegungen des kleinen Planeten berechnen. Für die osculirende mittlere Bewegung — n — hat man die Gleichung

_ _i i_

oder nach (8), (18) und (18*)

(30) n = j^-—^ = 3iV(l - 3| + 3. + . . .)•

Drückt man N in gewöhnlichen astronomischen Einheiten aus und nimmt man als störenden Planeten Jupiter an, so hat man

iV= 299".12836,

und also ist — für | = 0.001 —

n = 894".69292 + ^2692".15524.

Hieraus leitet man folgende Grenzwerthe für die osculirenden mittleren Bewegungen in den Fällen 1) bis 7) ab.

Grenzwerthe für die osculirenden

mittleren Beioegungen der kleinen Planeten vom Typus 1/3

für 1 = + 0.001:

1)	998.5845	-	1000.6052	—
2)	938.3203	-	940.4124	-
3)	898.5456	-	902.1652	-
4)	897.8925	894.7023	901.9352	894.6929
5)	896.2931	896.2931	901.4569	895.0711
6)	—	-	900.5316	895.9964
7^		_	898.2640	898.2640,

§ 5. Ueber die Commensurabilitäten niedrigen Grades. 407

Man sieht aus dieser Tafel unmittelbar, dass die osculirenden mittleren Bewegungen eines kleinen Planeten jeden beliebigen JFerth haben können. Für | ?/-Werthe, die sich auf der singulären Curve L^ befinden, nähert sich — wenigstens für | = + 0.001 — die oscu- lirende mittlere Bewegung einem Werth, den wir mit v.^ bezeichnen wollen, so dass (31) v^ = 896".2931

ist. Im Punkte 7) hat die osculirende mittlere Bewegung den Werth (31*) 1^3 = 898".2640 .

Findet Libration in A^ statt, so oscillirt die osculirende mittlere Bewegung zwischen zwei Grenzen, von denen die eine kleiner als v^, die andere grösser als v^ ist.

Hat man es mit einer Bahncurve [z. B. 4)] innerhalb der kleineren Limitationsschleife zu thun, so liegen die Werthe der osculirenden mittleren Bewegungen unterhalb v^ .

Die obigen Schlussfolgerungen gelten vorläufig nur für den Werth I = + 0.001. Man kann aber leicht einige der wichtigsten auf alle Werthe von | verallgemeinern.

Man kann in der That beweisen, dass in allen Pnnkten auf der Linie L^ die osculirende mittlere Bewegung sich dem durch die Gleichling (31) definirten JFerth v^ unbegrenzt nähert.

Weiter können wir beweisen, dass in allen Punkten auf der Linie L^ die osculirende mittlere Betvegung den durch (31*) definirten Werth v^ besitzt.

Liegt nämlich der Punkt (|, i]) auf Zj, so nähert sich nach (29) z dem Werth

I - 0.000 4056 .

Diesem Werth von z entspricht aber nach (30) ein constanter Werth von n, nämlich

408 TJeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

In ähnlicher Weise findet man — weil in n nur die Differenz

zwischen z und | vorkommt — , dass auf L^ die osculirende mittlere Bewegung den Werth v^ besitzt.

Sehen wir von den Bahncurven ab, welche innerhalb der kleineren Limitationsschleife fallen, so sehen wir, dass im Ge- biete G^ die osculir enden mittleren Bewegungen grösser als v^ sind, und würden wir eine ähnliche Untersuchung für negative |-Werthe (oder strenger für | < 0.000 0395) vornehmen, so würden wir finden, dass die osculirenden mittleren Bewegungen ausserhalb des Librationsgebietes dann kleiner als v^ sind. Findet dagegen Libration statt, so oscillirt die osculirende mittlere Bewegung zwischen zwei Grenzen, von denen die eine — die obere Grenze — immer grösser als v^ ist, wogegen die untere Grenze immer kleiner als 1^3 ist; sie kann aber, je nach den Umständen, grösser oder kleiner als v^ sein. Dieser Umstand zeigt also, dass infolge der Commensurabilität keine Lücke in den osculirenden mittleren Be- wegungen auftritt. Dasselbe muss also auch von den osculirenden halben grossen Achsen der Planetenbahnen gelten. Da die Planeten- elemente, die in astronomischen Ephemeriden publicirt sind, fast ausschließlich osculirende Elemente sind, so findet man also, dass die Lücken, die man im Ring der kleinen Planeten gefunden hat. und die gerade da auftreten, wo die osculirenden mittleren Be- wegungen der Planeten zwei Mal und drei Mal grösser als die mittlere Bewegung Jupiters sind, nicht etwa dadurch erklärt tcerden können, dass solche osculirenden Elemente der kleinen Planeten möglicherweise vom theoretischen Gesichtspunkte unmöglich sein sollten.^ Dies hindert aber nicht, dass die Erklärung dieser eigenthümlichen Lücken mit den Discontinuitätspunkten des DELAUNAT'schen Pro- blems in Zusammenhang stehen kann.

Wie verhalten sich die wahren mittleren Bewegungen in den Gebieten G^, G.^ und G^? Um dies zu beantworten, wollen wir

^ Dies ist übrigens schon daraus selbstverständlich, dass man sich ja einen Planeten denken kann, der in einem bestimmten Augenblicke eine ge- gebene Ellipse beschreibt, wie diese Ellipse auch aussieht. Die osculirenden Elemente können alle beliebig gewählt werden.

§ 5. Ueher die CommensurabiUtäten niedrigen Grades. 409

zuerst den Begriff der wahren mittleren Bewegung etwas näher be- leuchten.

Die Gleichung (28*) zeigt, dass z — von den singulären Linien L^ und Zg abgesehen — eine periodische Function der Zeit ist. Wir nennen die Periode 2T^ und setzen

Dann finden wir aus der Gleichung (27), dass auch dK^:dt eine periodische Function mit derselben Periode ist. Folglich können wir schreiben

2 A^ = Wj ^ + Cj + 2 «i sin i («1 ^ + cj .

"Weiter hat man nach (7)

d}^__ dB

dt ~ dÄ^

und die rechte Seite ist eine Potenzreihe in z, die auch als eine periodische Function der Zeit mit der Periode 2T^ ausgedrückt werden kann. Folglich hat man

^2 = «2 ^ + Cg + 2 *i sin i[n^ t -\- c^).

Die Grössen n^ und n^ sind die mittleren Bewegungen von bez. 2Aj und k^.

Setzt man diese Formeln in die Gleichung (6*) ein, so erhält man die mittlere Länge l ■{■ % und die Perihellänge n als Func- tionen der Zeit dargestellt. Man bekommt aus (6*)

J + %= K+ Nt = [n^ + N) t + c^ + 2 ^ sin i[n^ t + c^), % = N-\[2\-^l^ = (iV— 1-(7?,+»2^)^+^3 + 2 ^iSin^•(n^ t+c^).

Die wahre mittlere Beicegung eines kleinen Planeten, die wir mit n^^ bezeichnen wollen, hat also den Werth

410 Veher die Form der Integrale im Problem der drei Körper. (32) n, = n^+N

und für die mittlere Bewegung des Ferihels hat man den Ausdruck

N-\[n^ +«2).

Wird der mittlere Werth einer Function durch Einklammern bezeichnet, so hat man nach (7)

^ \ dt\ [dÄ^

(33)

dt\~ \dA,

Will man den Werth von n^ für Punkte innerhalb des Librationsgebietes G^ berechnen, so verfährt man am einfachsten in folgender Weise:

Man hat nach (6)

dB __ ^dB_ dB dÄ^ ~~ ^ dxi dx^'

dB ^ dB_ BA^ öx^

und also

dB 2dB_ ^ ^ dB öÄ^ BÄi dx^

Innerhalb der Gebiete G^ und G^ hat man aber 71.^ = 0, fol^

lieh auch
	dA,
so dass also hier
(34)	[dB] ^\dB
ist.

Die rechte Seite ist aber verhältnissmässig leicht zu bilden. Aus (1), (2) und (4) erhält man

§ 5. lieber die Commensurabilitäten niedrigen Grades. 411

(35) ^^« a;,L 1 2 .2

Die vernachlässigten Glieder sind alle mit einer positiven Potenz von s^ und mit der Masse (jl multiplicirt. Um den Mittel- werth der rechten Seite dieses Ausdruckes zu berechnen, ist in erster Linie nothwendig, den Mittelwerth von cos 2 Aj kennen zu lernen. Im Gebiete G^ ist \ eine periodische Function von t, die wir in der Form

2^ = 180" + 2 (^i siii ^ K i + C3) schreiben können. Man hat also in diesem Gebiete

[cos2AJ = -^ / cos2k^ d{n^t + c^). 0

Indem n^t -{- c^ von 0 bis 71 wächst, schwankt z zwischen g^ und Q^, so dass nach (28*)

[cos 2 A, 1 = / — r=^ •

^ X dC n f X^ + X, yX,X^

drt' ^

Man hat aber nach (28*) offenbar

/ '^3 ~ xj yx;^ '

6C

so dass

es e»

(36) [cos2A,]= f ^^-^^ ^* : r ^^

412 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Um diese Integrale zu berechnen, werde ich die Integration der Gleichung (28*) für den Librationsfall ausführen.

Die Wurzeln g^ und ^2 sind imaginär. Setzt man

^1 = « + ifi,

(37)

so hat man

I a = I - 0.000 4056 ,

Das Integral der Gleichung (28*) lautet dann

_ g4 + gl ^^1 + (- g4 + g3 ^1) cn u

l + hl +{- 1 + ki)cnu

wo /?! und u folgende Bedeutungen haben.

Wir führen die Hilfswinkel tpi und qoj durch die Formeln

p. — a ^ P« — «

ein. Dann ist

'S fl .^ » lg fi j

(38) und

cos 92 /(p4 - «)'^ + ß^

"' COS 9), V (ps - «)^ + ß^

(38*) ^r = 8000 x -^ ]/((p^ _ af + ,9^) ((^3 - «)^ + fi^)

und

(38**) u = gt + Constans.

Der Modul — k — der elliptischen Function cn u ist

k= I sin -i ((jD2 - cpi) I .

Hieraus leitet man die folgenden Ausdrücke für X^ und A', ab

[1 + A^ + (- 1 + ÄJ cn z«] A'i = 12000 ((p, - af + (?*) (1 - k'' sn^ «<) [1 + Äi + (- 1 + /?i) cn u] Aj = 3000 h^ {q^ - ^4)* sn^ u ,

§ 5. lieber die Commensurahilitäten niedrigen Grades. 413

und endlich ist

dx du

3000 I

Mittelst dieser Formeln kann das Integral (36) berechnet werden. Es ist indessen nicht nothwendig, diese Berechnungen auszuführen, um eine Ueb ersieht der Veränderungen der wahren mittleren Bewegung zu erhalten. Erstens ist ersichtlich, dass der mittlere Werth von [cos2AJ höchstens gleich + 1 und mindestens gleich — 1 ist. Diese Grenzen werden auch in der That erreicht, oder wenigstens kommt man ihnen beliebig nahe. Dies geschieht nämlich in der unmittelbaren Nähe der beiden singulären Linien L^ und L^. Folglich muss innerhalb des Gebietes G^ die wahre mittlere Bewegung n^ zwischen den beiden Grenzen

(39) */<«> = 3 iY+-^(- J<J>-^'«'-A')

und

(39*) v'l' = ZN + -^[- Ä'\'- Ä'l' + K)

schwanken, wo die vernachlässigten Glieder mit | und der störenden Masse multiplicirt sind und also verhältnissmässig klein sind. Werden die numerischen Werthe eingesetzt, so findet man

',/») = 896". 165,

(39=^^'

<' = 898".136.

Die beiden Grenzen für n^ innerhalb des Gebietes G^ fallen also nicht mit v^ und v^ zusammen. Man findet in der That, dass

v^ -1/7 = i'3 - 7'7 = + 0".128.

Die Differenz v^ — v^ ist also gleich der Differenz ti^\^ — v^\\

414 TJeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Wie verhält sich die wahre mittlere Bewegung beim Ueber- gang über die singulären Linien L^ und L^'^ Um dies zu ent- scheiden, wollen wir einen angenäherten Ausdruck für die wahre mittlere Bewegung im Gebiete G^ aufsuchen. Man hat nach (32) und (33)

----im-

Es ist aber und man hat

wo n die osculirende mittlere Bewegung bezeichnet. Weiter ist genähert

dA^ '^ ^ d Xi x^ 1 '

Was den mittleren Werth von

betrifft, so ist er — innerhalb des Gebietes G^ — bis auf Glieder vom zweiten Grade der Excentricität und von der zweiten Ordnung der Masse gleich Null,^ also hat man genähert

= [;z]-0".128,

wo [n] den Mittelwerth der osculirenden mittleren Bewegungen bezeichnet. Von diesem Mittelwerth weiss man, dass er auf

* In der unmittelbaren Nähe von Lj ist zwar die Grösse [Ö2COs2Ai] nur von der ersten Ordnung der Masse ^ sie bleibt aber vom zweiten Grade der Excentricität, und also klein im Verhältnis zu den hier mitgenommenen Gliedern.

§ 5. lieber die Commensurabüität&n niedrigen Grades. 415

Zj gleich 896".2931 (= v^) ist. In der Nähe von L^ weicht auch [w] nicht viel von diesem Werth ab und folglich hat man im Gebiete G^ nahe der singulären Linie L^

n^ = 896".165 = <'.

Wir finden also, dass die wahre mittlere Bewegung beim Passiren der singulären Linie I/^ keinen Sprung macht, sondern continuirlich in die mittleren Bewegungen des Gebietes G^ über- gehen.

Dies ist insofern überraschend, als die singulären Linien Z^ und Z, in anderer Beziehung als Liscontinuitätslinien zu betrachten sind. Dies gilt nämlich in Bezug auf die Schwankung samplitude der Excentricität.

Im Gebiete G^ schwankt z (welche Grösse ja genähert gleich \e^ ist) zwischen q^ und q^, und die Schwankungsamplitude (= P3- 9i) ist (40) ^3 - p^ = + 0.000 7321 + 1/57- fD^.

Im Gebiete G^ werden aber die Schwankungen von z von den Wurzeln q^ und q^ begrenzt, und hier ist die Schwankungsamplitude

(41) Q,-Q, = 2iB;'.

Halten wir uns in unmittelbarer Nähe von Xj, ist D^ = 0 und folglich die Schwankungsamplitude

im Gebiete G^ : + 0.000 7321 + j/^ö^ = a^ , im Gebiete G^ : 2 ^D^ = a^ .

Zieht man in Betracht, dass D^ sehr klein angenommen worden ist, so hat man hier genähert

B^ = - 0.000 000 0579 + 0.001 4645 1 .

416 TJeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Beim Uebergang der Linie Z^ springt also die Schwankungs- amplitude vom Werthe a^ zum Werthe «23. Für sehr kleine Werthe von I (die indessen grösser als 0.000 0395 sein müssen) ist a^ > a^ Für I = + 0.000 4055 ist a^^ a^. Für noch grössere Werthe von I ist immer a^ > cl^-

Dieser Sprung in der Schwankungsamplitude, wenn die Inte- grationsconstauten die singulären Linien überschreiten, ist die am meisten charakteristische Eigenschaft der Integrale in der Nähe eines Commensurabilitätsfalles. Es ist zu bemerken, dass gleich- zeitig damit, dass die Schwankungsamplitude sich in dieser Weise sprungweise ändert, die Feriode — wie schon bewiesen worden ist — continuirlichen Aenderungen unterliegt.

Bis jetzt habe ich das Gebiet G-^ nicht mit in Betracht ge- zogen. Die Wurzeln O3 und o^ sind hier imaginär, und man würde erwarten, dass die Bewegung dann zwischen o^ und o^ stattfinden würde. Die Formel (29) zeigt aber, dass nunmehr o^ negativ ist. Da indessen die Grösse z ihrer Natur nach immer positiv ist, so kann in diesem Falle o^ nicht eine Grenze für die Schwankungen von z ergeben. Andererseits scheint es, ^ dass es innerhalb G^ ein Gebiet gibt, in welchem o^ positiv ist, und wo also positive r-Werthe mit den Differentialgleichungen vereinbar sind. Wie sollen die dementsprechenden Bewegungen untersucht werden, wenn sie über- haupt existiren? Die Differentialgleichungen (7) lassen uns hier im Stiche. Die Frage lässt sich am einfachsten studiren, indem man für y/^ und \ die neuen canonischen Veränderlichen (man vergleiche VI § 1)

u = y'2A^ cosA^ ,

V = ]/2 yJ^ sin Äj

einführt. Ich habe indessen diese Frage nicht weiter verfolgt. So viel lässt sich ohne Weiteres aussagen, dass diese Bahncurven,

^ Ich sage „scheint", weil das Gebiet der positiven ^1 innerhalb O^ immerhin sehr klein ist, und es deswegen nicht ausgeschlossen ist, dass der hier beobachtete Genauigkeitsgrad ungenügend sein kann, um die Frage end- gültig zu entscheiden.

§ 5. lieber die Commensurahilitäten niedrigen Grades. 417

wenn sie existiren, eine Libration in l^ um ^ = 0 aufweisen müssen, da ja der Werth 21^ — 180" mit diesen Werthen der Integrationsconstanten unvereinbar ist.

Wie man sieht, sind die Linien L^ und L^ nicht die einzigen Grenzlinien für die Integrationsconstanten. Die Werthe 0 und 1 für die Excentricität (also 0 und i für A.^) bilden auch Grenz- linien, die nicht überschritten werden dürfen.

Fassen wir unsere Resultate über die Commensurahilitäten vom Typus 1/3 zusammen, so haben wir also folgendes gefunden:

Die Integrale hängen von zwei Integrationsconstanten | und ?; ab. Von diesen fällt ?/ ungefähr mit der JACOBi'schen Constante zusammen, wogegen | von der Excentricitätsconstante abhängt. Werden | und // als rechtwinklige Coordinaten in einer Ebene dar- gestellt, so wird diese Ebene durch zwei gerade Linien Z^, L^ in vier Gebiete G^, G^, G^, G^ getheilt, die sich durch verschiedene Bewegungsformen charakterisiren. Liegt der Punkt (|, ;;) in G^, ist keine Bewegung möghch. In G^ wächst A^ über alle Grenzen, wo- wegen A^^ — und damit die Excentricität — zwischen zwei constanten Grenzen schwankt. In G^ schwankt auch die Excentricität zwischen constanten Grenzen und dies ist hier ebenfalls mit der Grösse A^ der Fall. Es findet Libration um den Werth 22^ = 180'^ statt. Indem der Punkt (|, ?;) vom Gebiete G^ aus die singulare Linie L^ über- schreitet und in das Gebiet G^ übergeht, ändert sich die Schwan- kungsamplitude der Excentricität sprungweise, wogegen die Periode dieser Schwankungen sich continuirlich ändert. Im Gebiete G-^ kann möglicherweise eine Libration in A^ um den Werth A^ = 0 statt- finden. Auf der Linie L^ nähert sich die osculirende mittlere Bewegung, für alle Werthe von | und i], dem Werthe 896".293; auf der Linie L^ hat sie den Werth 898".264. Die wahre mittlere Bewegung hat auf diesen Linien bez. den Werth 896".165 und 898".264. Die Eigenschaften der Integrale geben keine directe Erklärung der Lücke in der Zahl der kleinen Planeten um den Werth 897" für die mittlere Bewegung.

lieber die kleinen Planeten vom T}-pus 1/2 liegen Unter- suchungen von verschiedenen Verfassern vor. Die Resultate sind ähnlich, aber nicht identisch mit denen, die wir hier für den

Charlibr, Mechanik des Himmels. 11. 27

418 TJeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Typus 1/3 gefunden haben. Unter diesen UntersuchuEgen nenne ich die von Gtlden (in mehreren seiner Schriften), Haezee (M6m. de l'Acad. de St. Pötersbourg, 1886), Brendel (A. N. Bd. 140, 1896 und in seiner „Theorie der kleinen Planeten"). Schwaezschild (A. N. Bd. 160, 1902), Poincaee (B. A. T. XIX, 1902), Andoter (B. A. 1903) und Hill (Trans. Amer. M. Soc. 1900). Von diesen sind die von Beendel und von Andoyer die vollständigsten. Der letztere hat unter Anderem bewiesen, dass beim Typus 1/2 singu- lare Linien und Librationsbewegungen nicht nur für Zj = 0 und 7.^ = 180°, sondern auch für einen zwischenliegenden Werth von /.j auftreten können, worauf wir oben aufmerksam gemacht haben. Indessen ist dieser Typus noch nicht erschöpfend behandelt, eben- sowenig wie der Typus 1/3, und es wäre jetzt Zeit, nachdem die Voruntersuchungen so weit fortgeschritten sind, diese beiden inter- essanten Fälle, die für die Mechanik des Himmels von so grossem und so actuellem Interesse sind, zum Gegenstand eines eingehenden Studiums zu machen.

§ 6. Lieber Commensurabilitäten höheren Grades.

Die Commensurabilitäten niedrigen Grades geben zu grossen Störungsgliedern Veranlassung, welche schon in ziemhch kurzer Zeit grosse Veränderungen in den Coordinaten verursachen. Nicht so mit den Commensurabilitäten höheren Grades. Diese können erst in langer Zeit bemerkbar werden. Sie sind aber nichtsdesto- weniger vom grössten Interesse, da gerade diese Glieder für die Stabilitätsfrage die wichtigsten sind. Wir werden eine solche Commensurabilität untersuchen, und zwar unter Anwendung der- selben Methode wie im vorigen Paragraphen.

Wir nehmen aus der Störungsfunction heraus: 1) die Glieder nuUter Ordnung [F^, 2) die secularen Glieder [i^], 3) die Glieder

wo

§ 6. lieber Commensurabilitäien höheren Grades. 419

ist, und Sj und s^ hohe Zahlen bezeichnen, von denen s^ als positiv betrachtet werden kann. Es handelt sich dann um Commensura- bilitäten vom Grade s^.

Indem wir (1) R = ',j + F, + [F} + ^G,co^ig

setzen, wo unter i] eine noch unbestimmte Constante verstanden wird, werden wir also zu der Differentialgleichung (3*) des vorigen Paragraphen geführt.

Was die Coefficienten G^ betrifft, so wissen wir nach § 4, dass G^ vom Grade s^ in den Excentricitäten ist. Weiter ist G^ vom Grade 2.92 und allgemein G^ vom Grade is^. Da s^ hier als eine sehr große Zahl betrachtet wird, so ist somit G^ sehr klein und die Reihe 2 ^i convergirt sehr rasch.

Um die Bewegungsgleichungen auf einen Freiheitsgrad zu reduciren, setzen wir

^i = h Vi - ^2 ^2 ^

wo s^ und ^2' vorläufig unbestimmt sind. Wenn noch ^1= s^A{^rs(A^,

gesetzt wird, so bilden auch A^^ A^, 1( und X^ ein System von canonischen Coordinaten mit derselben charakteristischen Func- tion B. In Bezug auf A^ und A^ aufgelöst, lauten die letzteren Gleichungen

AA{=^- s^y^ — s(x^ ,

AA^ = «2 ^1 + ^■'i -^2' wo

^ = - ^1 ^'2' + ^2 *l'

gesetzt worden ist.

27*

420 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Wir nehmen noch eine Transformation vor, indem wir setzen:

J/L^ = Aj'; ^2 = ~ ^2''

A^ = AA^\ A^=-A^,

und die neuen Coordinaten A^, A^, \, l^ bleiben immer noch canonisch.

Die Wahl der Zahlen s^' und s^' ist willkürlich. Man könnte z. B. diese Wahl so ausführen, dass man

A = 1

bekommt. Diese Wahl ist in einigen Fällen angemessen (z. B. für den Typus 1/2), führt aber bei hohen Commensurabilitäten zu Coor- dinaten A-^^ und A^, die in Folge der Zahlencoefficienten s^, s^, s^', s^ sehr gross sind, was nicht bequem ist. Hier führt eine andere Wahl besser zum Ziel. Ich setze:

ä/ = - 1 ; «2' = 0 , so dass A = — s^ ist und

(2)

\ ^-—Vl +^2»

welche Coordinaten wir der folgenden Untersuchung zu Grunde legen werden.

Da die Störungsfunction nach Potenzen von x^ (oder richtiger von "|/x^) entwickelt ist, so erscheint es angemessen, x^ als die eine Coordinate beizubehalten. Die Grösse A^ unterscheidet sich

nur um die kleine Grösse ^^x^ von x^, und endlich ist das Argu- ment g^ gleich — s^ly

§ 6. lieber Commensurabüitäten höheren Grades. 421

Die Differentialgleichungen

{dA_ ^ _dR_ dX^ _ dB

dt ~ dl^' dt ~ dA'

dÄ^^dR_ dl, _ dB

dt ~ 0X2' dt ~ dA^

besitzen das Integral

A^ = Constans,

welche Constante wir mit ]/a bezeichnen wollen. Ausserdem hat

man das Integral

(4) 0 = Ä,

da die entsprechende Integrationsconstante in r] einbegriffen werden kann.

Die Differentialgleichungen

-p.. dAi _ dB dX^ _ _ dB

^^ 'dT ~ öAi ' ~di' ~ dAy

sind durch einige singulare Punkte charakterisirt, welche man aus den Gleichungen

(6) 0 = * = l| = 4f

erhält. Die letzte dieser Gleichungen lautet 0 = 2* &'.sin?^

und da, wie wir oben bemerkt haben, die Glieder dieser Reihe hier sehr rasch an Grösse abnehmen, so besitzt diese Gleichung nur die Lösungen g = k%{k = 1, 2, 3, ...) oder

(6*) A, =^ (A=l, 2, .

422 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Da indessen in der charakteristischen Function B die Grösse \ nur in der Combination s^ \ vorkommt, so reduciren sich diese Lösungen auf die beiden folgenden:

(6**) hK=^ ^^d s^\=%.

Setzt man diese Werthe in die erste Gleichung (6) ein, so nimmt sie die Formen

(7)		0 =	B,	= ^ + ^o + m + 2^i»
und
(7*)		0 =	R.	= V + F, + iF] + ^[-\yG,
an.
Indem	man	A	zwischen diesen Gleichungen und den Glei-
chungen
(8)				o=L^ ■
(8*)				o = lf

eliminirt, erhält man die Gleichungen für die beiden singulären Linien L^ und L^. Wir wollen diese Gleichungen bez. in der Form

(9) i^,(«, 7?) = 0,

(9*) i?3 [a, 7]) = 0

schreiben. Die Functionen D^ und D^ können als die Discrimi- nanten von B^ und B^ angesehen werden.

Es ist nicht nothwendig, diese Discriminanten zu bilden. Wir können in der That hier die Discussion der Integrale einfacher ausführen. Wir wollen im Folgenden, der Kürze wegen, und da es übrigens hier keinen Zweck hat, mehr Glieder mitzunehmen, die Summe 2 ^i cos ig auf das erste Glied

G^ cos g = G^ cos ^2 \

§ 6. lieber Commensurabüitäien höheren Grades. 423

beschränken. Weiter setzen wir

(10) 0K A,) = F, + [F], so dass nunmehr

(11) Ii = v -\- ^{ci, yii)+ G^coss^X^ ist, wo G^ eine Potenzreihe in A^ ist, die mit

BA',

,»W2

anfängt, wo B eine Constante bezeichnet.

Da ö^j eine sehr kleine Grösse ist, so weicht das Integral von (5) nicht viel vom Integrale der Gleichungen

(]0\ dÄ, _ d 0 , dkl _ 0 0

^ ^ dt ~ dkl ' dt ~ dÄi

ab. Wenigstens können wir versuchsweise von diesen Gleichungen ausgehen, um die Integrale der Gleichungen (5) zu finden. Die Integrale der Gleichungen (12) lauten

(13) {	A^ = Constans = A^^
^1 = «1 ^ + Cj ,
wo (13*)	80 ''i = dA,o
ist. Die Gleichungen (5) haben die Form

dÄ, ^ ■ ,

-j^=-s^G^^ms^l^,

dL d 0 BO, ,

dt dAi dAi 2 1

424 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Um die Integrale dieser Gleichungen zu erhalten, setzen wir

\=n^t-\- c^ + d\, und entwickeln die Function ^D nach Potenzen von 8 A. :

'^=*o + 4f*A+i||l(M)^ + ...

Nimmt man zuerst nur auf die erste Potenz von b A^ Rück- sicht, so erhält man folgende Differentialgleichungen für d A^ und 8\

-jf- = - *2 ^1 sm ^2 (^1 1 + Ci),

'vSA,--^coss,l

'i ÖA" ^ öA

2 '1 '

mit den Integralen

( SA^= -^ cos s^{n^t+c^),

(14)

Diese Ausdrücke zeigen, dass A^ und Aj in Folge des Gliedes G^ cos «2 \ im Allgemeinen nur kleine und periodische Abweichungen von den durch die Gleichungen (13) gegebenen Werthen erleiden.

Dieser Schluss gilt aber nicht, wenn die Grösse n^ sehr klein oder gar gleich NuU ist, in welchem Falle die Ausdrücke (14) un- endlich gross werden. Um diesen Fall zu untersuchen, gehen wir von einem solchen Werth für A^ aus, für welchen n^, d.h.dfpjdAj^ verschwindet. Es sei A^ = q ein solcher Werth, so dass

(^)..-

ist. Wir haben dann

§ 6. Ueber Commensurabilitäten höheren Orades. 425

wo 00 und ihre Ableitungen für den Werth A^ = q zu be- rechnen sind.

Für R erhält man den Werth

R = n+ (Ji^+^^^[öA,f + G, C0S.2 A,

Es sei 7}^ ein solcher Werth, dass man hat

(16) ,;^ + 0„ = O.

Dann setzen wir

so dass die charakteristische Function die Form

(17) i2 = J./ + i 1^ [8A,f + G, cos s, \

bekommt und die Differentialgleichungen das Integral

(17*) 0 = R

besitzen.

Unsere Differentialgleichungen lauten also jetzt:

(18)

In R haben wir die Variation vernachlässigt, welche die Grösse G in Folge des Ueberganges vom Werthe A^ = q zum Werthe A^ = q + AA^ erleidet.

426 Ueher die Form der Integrale im, Problem, der drei Körper.

Die singulären Werthe von J rj werden aus den Gleichungen

erhalten, welche geben

§Ä^ = 0,

h K ^ ^ °^®^ ^ » so dass die Discriminanten lauten

iO = Z», = Ai] -\- G,, und 0 = 7^2 = ^ '/ - ^1 •

Es existiren also nur die beiden singulären Punkte Arj^ — G^ und J r/ = + (?^ .

Aus den Gleichungen (18) und (17*) erhalten wir nun

ddÄ.

(20*) _^ = _ y_2a>"(J^+G^iCOS.9,AJ .

Es genügt die eine dieser Gleichungen zu integriren.

Zuerst wollen wir den Werth von 0" untersuchen Es gilt vorläufig, nur das Zeichen dieser Grösse zu bestimmen.

Man hat hier nach (2) und der Gleichung (1) des vorigen Paragraphen

und also ist

dF^ s, 1 _ Si + s<i jj

^^^ '^ (A-^ä,

Ueh&r Commensurabüitäten höheren Grades.

427

Die Ableitungen von 0 sollen für den Werth A^ = q be- rechnet werden, welcher Werth so gewählt ist, dass d0:dA^ ver- schwindet. Man hat also

" h-t')'

Das letzte Glied in diesem Ausdrucke ist mit der störenden Masse multiplicirt und also sehr klein. Der Factor von s^ : s^ im ersten Glied fällt mit der osculirenden mittleren Bewegung — n — für A^ — Q zusammen. Man hat also genähert

so dass für den betreffenden Werth von A^ die mittlere Bewegung des kleinen Planeten mit derjenigen des Jupiter nahe commen- surabel ist.

Die zweite Ableitung von <i> fällt sehr nahe mit der zweiten Ableitung von F^ zusammen. Die obige Formel für F^" zeigt also, dass ^" positiv ist.

Wir betrachten nun die Gleichung

(21)

1^

dSA,

T

s,^G,^-{Aii-\-\(li"{dA,)y

= -f <I^"]/-{^'A,-e,){ÖA,-e,){dA,-e^){SA,-e,),

(21*)

y 0"

Ar])

2(ö, + jTj)

'2^1/ 0"

M)

428 üeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Die singulären Werthe von Ar] sind nach (19) A7j= — G^ und At] — -\- G^. l^i Ai] > G^ (welche Grösse wir als positiv annehmen wollen), so sind sämmtliche Wurzeln imaginär, und dann wird dSA^:dt auch imaginär, so dass solche Werthe von Arj nicht in Betracht gezogen zu werden brauchen.

Wir haben somit folgende vier Fälle zu untersuchen:

a)	A7]<-G,,
b)	Jv=-G,,
c)	-G,<A7]<G,
d)	Arj = G,.

Fall a). Die Gleichung (21) zeigt, dass 8A^, wenn nicht Limitation stattfindet, zwischen den beiden grössten oder zwischen den beiden kleinsten der Wurzeln e^, e^, e^, e^ oscilliren muß. Die Grössenordnung im Falle a) ist

e^<e^<e^<e^,

so dass 8A^ entweder zwischen e^ und e^ oder zwischen e^ und e^ periodisch oscillirt. Die Winkelgrösse \ wächst mit der Zeit ins Unendliche.

Fall b). Für Ar} ■= — G^ fallen die W^urzeln e^ und e^ zu- sammen. Es entsteht Limitation in öA^, so dass A^ sich asympto- tisch dem Werthe q nähert, entweder von der positiven oder von der negativen Seite.

Fall c). Die Grössenordnung der Wurzeln ist hier

«1 < ^2 •

Die Wurzeln e^ und e^ sind imaginär. Hier oscilHrt SA^ zwischen den Grenzen

-l/^^%^ und +|/^<^^;^.

§ 6. lieber Commensurabüitäten höheren Grades. 429

Die Gleichung (20*) zeigt, dass die Grösse s^X^ nicht mit der Zeit ins Unendliche wächst, sondern periodisch um den Werth Ä2>lj = 180° schwankt. Es findet also hier Libration in \ statt. Wäre G'j negativ, so würde die Libration um den Werth 7^ = 0 stattfinden.

Ist endlich im

Fall d) Ai] = G^, so muss 8A^ identisch gleich Null sein, und also A^ identisch mit q zusammenfallen.

Die Schwingungsamplitude im Falle a) ist

i/J-(v^i-^^-y-(^i+^^))

und also dieselbe, sei es, dass 8A^ zwischen e^ und e^ oder zwischen e^ und e^ oscillirt.

Im Falle c) ist diese Amplitude

l/^

-An)

Liegt der Werth von Ai] nahe dem singulären Punkt — G^ , so dass angenähert A7] = — G^ ist, so ist die Amplitude im FaUe a)

und im Falle c)

[/ 0"

^l/f

SO dass also beim Uebergang über den singulären Funkt vom Falle a) zum Falle c) die Schwingungsamplitude verdoppelt wird. Der singu- lare Punkt A 1] = — G^ ist somit ein Discontinuitätspiinkt für die Schwingungsamplitude, der sich in ähnlicher Weise verhält, wie für den Typus 1/3 die entsprechende singulare Linie.

Wie verhalten sich die mittleren Bewegungen von l^ und A,? Erleiden diese auch discontinuirliche Veränderungen im Punkte Ari=- G,?

430 üeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Die Gleichung (21) giebt uns für die halbe Schwingungs- periode T im Falle a) den Werth

(22) T=-^f- '^^^'

Yie, - Öyi,){dÄ, - e,){e, - dA,){e, - Ö A,)

wenn die Schwingung zwischen e^ und e^ stattfindet. Würde die Schwingung zwischen e^ und e^ geschehen, so erhielte man die Halbperiode, wenn das obige Integral zwischen den Grenzen e^ und e^ genommen wird.

Wie ändert sich T, wenn J t] sich dem Werthe — G^ nähert? Wir reduciren das Integral auf die Normalform der elliptischen Integrale, indem wir setzen

(23) 8A,= ^^; + y\

wo

(23*) ä2 _ ^A^J^

ist, und erhalten dann

j,^ 4 r dy

s, 0"y{e, - 63) (e, - e,) J l/(l - y^) (l-k^:

WO der Modul k den Werth

V {e,- ej (e, - e,) V O, - A rj + ]/-(&, + An)

hat. Wenn A t] sich dem Werthe A 1] = — G^ nähert, so nähert sich k der Einheit und gleichzeitig wächst T über alle Grenzen. Ganz denselben Werth für T würden wir erhalten haben, wenn die Bewegung zwischen e^ und e^ stattfände.

Wir finden also, dass für den FaU, dass sämmtliche Wurzeln gj, e^, 63 und e^ reell sind, die Schwingungsdauer immer langsamer

§ 6. lieber Commensurabüitäten höheren Orades. 431

wird, wenn sich Ji] dem singulären Punkt J ry = — (9^ nähert. Die Bewegung geht allmählich und ohne Sprung in die Limitations- bewegung über.

Wir können die Sache auch so ausdrücken, dass die mittlere Bewegung von \ allmählich gegen Null geht, wenn Arj, allmählich wachsend, sich dem Werth A i] = — G^ nähert.

Wie verhält sich die Sache im Librationsfall (also im Falle c))? Die mittlere Bewegung von Aj ist dann immer Null; die Grösse \ schwingt aber periodisch um den Werth l^ = 180°. Wie gross ist die Periode dieser Schwingung?

Die Grösse SA.^ schwankt zwischen e^ und e^ ; die Wurzeln ^3 und e^ sind rein imaginär. Die Halbperiode T hat hier den Werth

döA,

(25) T= -^ f

1/(62 - 8 A,) (Ö yli - e,) {8 A^^ - O

ei

den wir mit Hilfe der Substitution

(25*) 8A^=e,J\-z^

auf die Normalform bringen. Man erhält

s,V0"oJ 1/(1 -*2)(1 -P

x^)

wo

(25«) ^ = \/^or

ist.

"Wenn A fj sich dem Werthe — G^ nähert, so wächst der Modul k gegen die Einheit, und gleichzeitig wächst die Halb- periode T über alle Grenzen. Auch im Librationsgebiete werden also die Schwingungen immer langsamer, wenn man sich dem singulären Punkte — G^ nähert. Die Beioegung geht also auch hier continuirlich in die Limitationsbewegung über.

432 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Erinnern wir uns, dass nach (2)

\= "-{1 + n — Nt)- it + Nt,

^2 = l + n — Nt,

ist, 80 folgt aus dem Umstände, dass die mittlere Bewegung von l^ beim Durchgang durch den singulären Punkt Ai] =— G^ einen regelmässigen (continuirlichen) Lauf hat, nicht, dass dies auch mit den mittleren Bewegungen von / und 7t der Fall ist. Damit dies eintreffe, muss die mittlere Bewegung von Ag eine continuirliche Function von J?/ sein. Nun ist aber

dt dA^ dÄ^ ^dyii^dA.2^ ^' dA^ 2 i

Die Frage ist, wie es sich mit dem mittleren Werth von [SA^f verhält, wenn At] den Punkt — G^ überschreitet. Ist All <— G^, so lautet die Umkehrung von (21)

§A^ =^

+ e^y

7/ = snu

ist, und u den "Werth

u = ^s^ 0" 1/(^4 — ej (^2 - e^) t + Constans

hat!

Die Grösse S A^ ist also eine periodische Function von u mit der Periode 2K. Dies ist auch mit {SA^f der Fall. Wird {ÖA,f in eine FouRiER'sche Eeihe entwickelt, so ist das constante Glied in dieser Entwickelung gleich dem mittleren Werth von {d'A^f. Dies hat also den Werth

[{SA

1^-1- KJ [ k^ + sn^u J '^'''

§ 6. lieber Gommensurabilitäten höheren Grades. 433

Man kann dies Integral genau ermitteln. Es genügt aber, seinen Werth in der Nähe des Punktes Arj = — G^ kennen zu lernen. Wir haben schon gesehen, dass k dann den Werth Eins bekommt. Weiter wird h^ = 1 und

und folglich

K

(25) [(^^,)=]=^yj_ii«_,

0

wo K ins Unendliche wächst, wenn k"^ gegen Eins convergirt. Man hat aber

so dass

und somit ist.

r 'idu i_

r 4rf

Im Librationsfall lautet die Umkehrung von (21)

Mj = .?2 Yg~W' t + Constans

ist, und der Modul den Werth (25**) hat. Der Mittelwerth von [öA-^f la,utet hier

Man hat aber

0 K

0 Chaklier, Mechanik des Himmels. II.

434 JJeher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

wo K und E die elliptischen Integrale der ersten und zweiten Gattung bezeichnen. Wenn ä^ gegen Eins geht, so nähert sich E der Einheit, wogegen K ins Unendliche wächst. Es ist also auch hier

Die mittlere Bewegung von 'K^ erleidet also keine discontinuir- liche Veränderung, wenn A ij den singulären Punkt — G^ über- schreitet.

In Bezug auf die Commensurabilitäten höherer Ordnung sind wir also zu folgenden Schlüssen gekommen:

1) Ein Glied

G^cos{s^7/^ --^2^2)

in der Störungsfunction veranlasst nur kleine periodische Ver- änderungen mit einer Amplitude, welche in der Nähe der Commensurabilität von der Grössenordnung ]/(r^ ist.

2) Die Winkelgrösse ä^ y^ — s^ ?/.., wächst im Allgemeinen mit der Zeit ins unendliche. Liegt aber die jACOBi'sche Con- stante ?] innerhalb eines gewissen (übrigens sehr kleinen) Ge- bietes, so entsteht Libration in dieser Winkelgrösse, so dass s^y^ — s^y^ um den Werth 180'^ oscillirt, wenn G^ positiv ist. Ist G^ negativ, geschieht die Libration um den Werth

3) Beim Ueberschreiten der Grenzen dieses Gebietes, von dem „gewöhnlichen" Fall zum Librationsfall , wird die Schwingungsamplitude von A-^ verdoppelt. Die mittleren Be- wegungen von / (der mittleren Anomalie) und der Perihel- länge erleiden aber dabei nur continuirliche Veränderungen.

§ 7. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der drei Körper in rein trigonometrischer Form.

Die ersten Versuche — im achtzehnten Jahi'hundert — , die Integrale des Problems der drei Körper aufzufinden, ergaben das Resultat, dass bei den Störungen der ersten Ordnung in der

§ 7. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 435

Excentricität und der Neigung Glieder auftreten, welche proportional der Zeit wachsen. Durch die sog. Stabilitätsbeweise von Laplace und Lageange ergab sich, dass diese Glieder nur als die ersten Glieder einer Potenzentwickelung von langperiodischen trigono- metrischen Gliedern anzusehen sind und damit war die Möglichkeit vorhanden, die Ausdrücke für die Coordinaten der Planeten in rein trigonometrischer Form darzustellen. Die grosse Bedeutung, so- wohl in theoretischer wie in praktischer Hinsicht, einer solchen Darstellungsweise Hegt auf der Hand. Wenn nämlich eine be- liebige Coordinate x iu der Form

X = ^A cos [i^ ic^ 4- Z2 ?<?2 + • • • + is '^'J

dargestellt werden kann, wo xo^^ il\^, . . ., w^ lineare Functionen der Zeit bezeichnen, und wenn die Summe

endlich ist, so kann man erstens die Grenzwerthe der Coordinate x berechnen, Avomit die Stabilitätsfrage endgültig beantwortet ist, und zweitens lässt sich die obige Eeihe für x für alle Werthe der Zeit anwenden. Wenn also für einen beliebigen Himmels- körper eine ähnliche Eeihe abgeleitet worden ist, so ist sie für alle Zeit gültig. Die hauptsächliche Arbeit in einer Störungs- rechiiung bestände dann in der genauen Bestimmung der Inte- grationsconstanten. Jede neue Beobachtung des Gestirns liefert einen Beitrag zu dieser Constantenbestimmung und erlaubt die Coefficienten Ä und die mittleren Bewegungen der „Argumente" w^ noch genauer als vorher zu berechnen.

Ganz anders gestaltet sich eine Störungsrechnung, wenn die Coordinaten durch Reihen dargestellt werden, welche nui' eine be- schränkte Zeit Gültigkeit haben. Die ganze Störungsrechnung muss dann von Zeit zu Zeit wieder von Grund aus neu gemacht werden. Die Form der Darstellung kann zwar dieselbe bleiben, aber die Coefficienten der verschiedenen Glieder ändern unaufhör- lich ihre Werthe.

436 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Die Versuche, den Gedanken von Laplace systematisch durch- zuführen, um zu dieser trigonometrischen Form der Integrale zu gelangen, erwiesen sich indessen als mit grossen Schwierigkeiten verknüpft. In seinen grossartig angelegten Untersuchungen über die Bahnen der grossen Planeten machte zwar Leveerier ver- schiedene Versuche, diese Schwierigkeiten zu überwinden; er musste indessen auf die trigonometrische Form der Integrale ver- zichten und sowohl er wie Newcomb, der auch — zum Theil gleichzeitig mit Leveeeiek — vollständige Untersuchungen über die Bahnen der grossen Planeten angestellt hat, mussten, wenigstens theilweise, zu Entwickelungen nach Potenzen der Zeit ihre Zuflucht nehmen.

Derjenige, der das Problem der Darstellung der Coordinaten im Drei-Körper- Problem in rein trigonometrischer Form am ernst- haftesten angegriffen hat, ist Gtleiön. Seine Bestrebungen seit dem Erscheinen seiner „Undersökningar af theorien för himla- kropparnes rörelser'' (1881) sind in der That ausschliesslich auf dies Problem gerichtet gewesen. Viele wichtige Gesichtspunkte für die Behandlung des Problems hat er dabei entdeckt. Der Tod hat aber frühzeitig seinen Bemühungen ein Ende gesetzt, gerade als er selbst glaubte, dass seine Untersuchungen so weit forge schritten wären, um eine Grundlage für die Berechnung der „absoluten Bahnen" (d. h. der Hauptglieder in der trigonometrischen Form der Integrale) der grossen Planeten geben zu können.

Einem Einzigen ist es gelungen, in einem speciellen Falle diese Darstellung der Coordinaten in rein trigonometrischer Form voll- ständig durchzuführen. Dies ist Delaunay, dem es in seiner früher citirten „Theorie du mouvement de la lune" (1860) durch eine eigenartige Methode gelang, die Coordinaten dieses Gestirns in rein trigonometrischer Form darzustellen.^ Der praktische Er- folg seiner Methode hängt indessen zum grossen Theil davon ab, dass der störende Körper (die Sonne) sich in sehr grosser Ent- fernung von dem gestörten (dem Monde) bewegt, und es ist fraglich, '

^ Später haben Hill und nach ihm Brown in anderer Weise dasselbe Ziel erreicht.

§ 7. üeber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 437

ob die DELAXJNAY'sche Methode in allgemeineren Fällen numerisch verwerthet werden kann. Wahrscheinlich wird sie sich indessen für kleine Planeten, deren mittlere Bewegungen nahe commen- surabel mit derjenigen eines grossen Planeten sind, sehr taughch erweisen (man vergleiche den früher citirten Aufsatz von Hill über diesen Gegenstand). Sieht man indessen vom praktischen Werth der Methode ab, ist die ÜELAUNAY'sche Methode sehr ge- eignet, um darzulegen, wie man in formeller Hinsicht wirklich zu einer rein trigonometrischen Form der Integrale des Problems der drei Körper gelangen kann. Dieser Nachweis ist von Tisserand („Memoire sur le probleme des trois corps."^ Annales de l'obser- vatoire de Paris, T. XVIII 1885) gegeben worden. Ohne eine voll- ständige Durchführung dieses Gedankens zu beabsichtigen, will ich einige Andeutungen der diesbezüglichen Rechenoperationen geben. Ich nehme an, dass es sich um die Integration der DijEferential- gleichungen

dx^ _ dF_ dy^ __ dF

dt ö 2/i ' dt ö «1 '

I dx^ _ dF dy^ _ _ dF

dt öy,' dt ~ d x^

handelt, wo

(1*) F=: ^ + 2-^cos(^>, +j>2)

und 0 und A.. gegebene analytische Functionen von x^ und x^ sind. Aus der Störungsfuuction F nehmen wir ein beliebiges Glied

heraus, und setzen

F^= fli + Aj,cos{i^y^-\-j^y^).

Indem wir nun zuerst die Gleichungen

dx,^ dF\^ dy, _ dF,

dt ö «1 ' dt dx, (2)

d^ _ dF\ dii^ _ dFi

dt d y^^ dt dx^

(1)

438 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

betrachten, können wir die hierdurch bestimmten Coordinaten als die Coordinaten einer intermediären Bahn J^ ansehen. Durch geeignete Variation der Constauten von J^ können die exacten Gleichungen (1) befriedigt werden.

Die Integration der Gleichungen (2) ist indessen als ein specieller Fall des DELAUNAT'schen Problems, dass wir in § 4 be- handelt haben, zu betrachten. Setzen wir nämlich

wo i/ und j/ beliebige ganze Zahlen bezeichnen, die wir indessen, vorausgesetzt dass i^ und j\ relativ prim sind — was hier an- genommen werden kann — , so wählen können, dass die Deter- minante

hJx -Jih

den Werth + 1 hat, und bestimmen wir weiter zwei Grössen |j und I2 ^^s ^^^ Relationen

(3*)

^2 ~ J\ Si + Jl S2 '

SO wissen wir aus § 1, dass diese Transformation die canonische Form der Differentialgleichungen nicht verändert.

Die Differentialgleichungen für |^, ^^, 7]^ und ij^ sind aber nunmehr von der Form, die wir im DELAUNAT'schen Problem vor- ausgesetzt haben. Wir können also nach § 4 (10) die Ausdrücke für die Coordinaten in der intermediären Bahn J^ hinschreiben, nämlich

( -^i + ßi = 'n + 22|^sine;;,,

(4) ^

l -|^^ + ^. = '. + 22|fsinö,.

§ 7. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 439

(4*)

(5)

I2 = «2 •

Wir setzen nun

dG b «2

t-\-ß^

Eine Umkehrung der Gleichungen (4) giebt uns für r;j, i]^, 1^, I2 "iiö Form

»/2 = 'ya' + ^^si^^'V'

(6)

(6*)

Ix = «1 +2^.cos//y/, I2 = «2 '

wo indessen F^ nicht nothwendigerweise gleich Null zu sein braucht. Aus (3) und (3*) erhalten wir weiter unter Berücksichtigung der Voraussetzung über die ganzen Zahlen i^ und j'/

(7)

und

(7*)

yi = Jx '/i -Jx->h

■^1 ~ '1 ^^1 + '1' '^2+2 'i ^i ^^^ ^ ^h' ' ^2 = il ^1 + iV f^2 + 2il ^i cos 2 '// .

Zuletzt machen wir noch eine lineare Substitution, indem wir setzen

'Jx = Jx'W-Jx%>

(8)

440 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. und

«2 =— ii ^i' + h ^2''

welche Relationen auch in der Form

(9)

und

(9*)

'h	= h Vx +Ji 1/2
<	= h'Jl +Jl!/2
<	= ^>1 +h^2'
x^	= 7l«l +Jl^^2

dx^' dt

dF

dyi'

dy,' dF dt dx^'

dx,' dt

dF

dy.' dF dt dx.^'

geschrieben werden können.

Ich behaupte nun, dass die Differentialgleichungen (1) durch das Gleichungssystem

(10)

ersetzt werden können.

Wir haben in der That schon gesehen, dass der Uebergang von den Variabein

^1. -^2' yi' 3/2

ZU den Variabein

li» I2' Vi, V2

die canonische Form unverändert lässt. Weiter zeigt das Trans- formationstheorem von Jacobi in § 1, dass der Uebergang von den letztgenannten Variabein zu den Variabein

«1, «2' Vl> ^2

auch die canonische Form beibehält. Man hat in der That nach §4 (9)

§ 7. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 441 SG.,o dS , dS

öC . 5.5 dS

wo /S eine gewisse Function von //j , 7/2 , cc^ und cTg ist, die nach der Formel (8*) des genannten Paragraphen die Form

S= a^ ij^ + W{i]^ , a^ , u^

hat. Nach dem JACOBi'schen Transformationstheorem bilden also «u <^2' '^i' '^% ^^^^ ®i^ canonisches System mit derselben charakte- ristischen Function F. Endlich lassen offenbar die linearen Sub- stitutionen (9) und (9*) die canonische Form unverändert.

Nach (7) und (7*) sind die alten Veränderlichen x^, x^, y^, y^ mit den neuen Veränderlichen x^, x^ y^', y^ durch folgende Glei- chungen verbunden

Vi = 3/1' + 2 ^s sin * [h Vx +ii y^) '

^ 2/2 = ^2' + 2 ^; sin s [i^ y; ^rh Vt) '

^1 = ^1' + 2 -^/ cos 5 (fj y; + jj y:) , •^2 = -^2' + 2 ^/ cos s [i^ y; -h j^ 3/2') '

wo 5 von 0 bis 00 geht und F^ und G^ nicht nothwendigerweise verschwinden müssen.

Die Coefficienten J. . in der Störungsfunction sind sämmtlich mit der störenden Masse ^a multiplicirt. Wäre Ai^^^ = 0, so würden offenbar sämmtliche Coefficienten der periodischen Glieder in (11) verschwinden und man hätte

Vi = Vx ' 1/2 = 1/2 ' ^1 = ^'i' > ^2 = ^2 ■

Diese Bemerkung ist von Bedeutung, wenn man die Aende- rung der Störungsfunction durch die Einführung der Grössen x^', x^, y^. y^ an Stelle von x^, x^, y^, y^ beurtheilen will.

442 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Wir wollen in der That die neue Form der Störungsfanction betrachten.

Wir setzen

F=F, +F,\

Indem wir x^, x^, y^, y^ durch die neuen Veränderlichen •^1' ^2' Vx^ Vt. ausdrücken, reducirt sich F^ nach § 4 (3*) auf eine Function von x^ und x^, in welcher also weder ?// noch y^ vor- kommt. Wir setzen also

(12) F,^ f/>:(•^•,^<)•

Was F( betrifft, so enthält diese Function alle Glieder in F mit Ausnahme der „secularen" Glieder, die in 0 enthalten sind, und des periodischen Gliedes

Werden nun in F^ die neuen Veränderlichen x^', x^^, y/, y^ eingeführt, so nimmt F^ die Form

(13) ^i' = 2-^o-cos(^v;+j>/)

an, und nach der obigen Bemerkung über die Substitutions- reihen (11) unterscheiden sich die neuen Coefficienten J-j von den entsprechenden Coefricienten A^. in der Reihe (1*) nur durch Grössen von der Ordnung des Quadrates der störenden Massen. Es kann auch eventuell in (13) ein Glied von der Form

j;^^ cos (/j?// +7,3/2')

vorkommen. In solchem Falle ist aber der Coefficient dieses

Gliedes mit dem Quadrat der störenden Massen multiplicirt, wo- gegen das Glied

(14) ^,-,- cos («,?/, +ii3/2),

das wir in der intermediären Bahn /, mitgenommen haben, die störenden Massen in der ersten Potenz als Factor enthält.

§ 7. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 443

Mit Hilfe der intermediären Bahn /^ haben wir also eine

Störungsfunction erhalten, in welcher das Glied (14) entweder nicht vorkommt, oder doch einen sehr verkleinerten Coefficienten be- kommen hat.

Wir machen jetzt eine neue DELAUNAY'sche Transformation oder Operation, wie Delaunay selbst diese Transformation nennt.

Aus der Störungsfunction F^' wählen wir ein Glied

(14*)

Ak^^i^ihi/i +J2I/2)

und definiren eine neue intermediäre Bahn J^ durch die Gleichungen

(15)

wo

(15*) ist.

dx,' dF^

dy,' BF,

dt dy,"

dt ö x,'

dx,' dF^

d t dy,''

dxj.^ ,dF, d t B X,'

F,= ^i + 4w.cos(z;y/+J2y2')

In ähnlicher Weise wie vorher können wir das Integral dieser Gleichungen in der Form

(16)

I/i = I/i" + 2 ^s" sin *• (^2 1/i" + J2 1/2") >

2/2' = 3/2" + 2 ^/' sin s [i^ y/' + j^ j/3") ,

•^1' = -^-i" + 2^/' cos5(22 y/' + J2.y2"),

^2 = ^2" + 2 (^s" cos s (?; ?//' + 72 ?/^")

schreiben, und nun können wir die Differentialgleichungen (1) gegen die Gleichungen

(17)

dx^" IT

dx." TT

BF By."

BF By-i"

dy," dt

dy£ dt

BF Bx,"'

BF

ÖX2" '

444 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

vertauschen, wo nunmehr die charakteristische Function F folgende Form hat. Setzen wir

F^F, + F^',

so reducirt sich F.^ auf eine Function von x^" und x.^"

^2 = ^^ K"' ^2") •

Was F^' betrifft, so ist

^2' = 2 ^O- cos (z y/' +JJ/^")

und in dieser Summe kommen Glieder von der Form (14) und (14*) entweder gar nicht vor, oder sie haben viel kleinere Coefficienten als in der ursprünglichen Störungsfunction.

In dieser Weise können wir fortfahren und durch neue „Operationen" das eine Glied nach dem anderen aus der Störungs- function wegschaffen oder verkleinern.^

Wir nehmen an, dass wir nach einer Reihe von r solchen Operationen zu einer Störungsfunction F^ gelangt sind, in welcher die periodischen Glieder — numerisch genommen — so klein sind, dass man sie ganz ausser Acht lassen kann. F^ reducirt sich dann auf das seculare Glied (p^, das nun von den Veränderlichen arW und x^p abhängt. Wir erhalten dann die Gleichungen

dx['^ _ 8 0. dt dy'r'

dy'[^ 8 0. dt dx'[^

dyP _ 6 0.

dt ' dy^p'

dy^P _ 8 0r dt dx^p

(18)

welche für x'p und x'p constante Werthe, und für i/P und t/^ die Werthe

* Es ist zu bemerken , dass man gleichzeitig mit einem Glied Ä cos («■ ^1 + j y^) auch alle Glieder von der Form A, cos s (* y^ + j y^) „weg- schaffen" kann. Man vergleiche § 4.

§ 7. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w.	445
(19) 1	yV = n^t + c.
geben, wo man hat
«1 =

Fülirt man jetzt alle Substitutionen, welche durch die Glei- chungen (11), (16) u. s. w. angedeutet sind, aus, so bekommt man endlich

/ yi = Wj ^ + Cj + 2 ^ij si^ U (^1 ^ + ^i) + ./ (^2 ^ + ^2)] ?

.72 = "2 ^ + ^2 + 2 ^^ij sin [«■(«! i + ^1) + j(^2 ^ + ^2)] '

•^1 = 2 ^ij COS [^■ (??! ^ + c J + j (^2 ^ + C2)] ,

A-2 = 2 ^'?i ^^^ t«' (^1 ^ + ^1) + i (^2 ^ + ^2)] '

(20)

und damit sind die Coordinaten in rein trigonometrischer Form ausgedrückt.

Wir haben hier vorausgesetzt, dass es sich um Bewegungen mit nur zwei Freiheitsgraden handelt. Die obige Methode lässt sich aber offenbar auf canonische Differentialgleichungen von be- liebiger Ordnung anwenden. Es ist ersichtlich, dass man, allgemein genommen, für ein canonisches System mit p Freiheitsgraden auch p verschiedene sog. Ärgumerde

n^t + c^, n^t^ c^, . . . , ri^t+c^

bekommt.

In V § 10 haben wir gefunden, dass die Differentialgleichungen

für das Problem der drei Körper auf vier Freiheitsgrade reducirt

werden können. Die Elemente

L, r, L', r

l, 9, l', 9

des genannten Paragraphen können deswegen durch trigonometrische Reihen mit vier Argumenten ausgedrückt werden. Will man die

446 üeber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

rechtwinkligen Coordinaten in ähnlicher Weise ausdrücken, so kommt noch dasjenige Argument dazu, das die mittlere Länge der gemeinsamen Knotenlinie der beiden Bahnebenen auf der unver- änderlichen Ebene ausdrückt, welches Argument durch die Glei- chung V § 10 (12) erhalten werden kann.

Die rechtwinkligen Coordinaten im Problem der drei Körper können also durch rein trigonometrische Reihen mit fünf Argu- menten — die alle lineare Functionen der Zeit sind — aus- gedrückt werden.

Findet die Bewegung in einer Ebene statt, so werden die Coordinaten durch trigonometrische Reihen mit vier Argumenten ausgedrückt.

Im asteroidischen Drei-Körper-Problem in der Ebene, mit einem störenden Körper, der sich in einem Kreis um die Sonne bewegt, lassen sich die Coordinaten durch trigonometrische Reihen mit drei Argumenten ausdrücken. (Bei drei Dimensionen kommt noch ein Argument dazu.)

Die geniale Methode von Delaunat ist sehr allgemein und hat ihre grossen Vorzüge vor anderen Methoden, die man versucht hat, um zu einer trigonometrischen Form der Integrale des Pro- blems der drei Körper zu gelangen. Sie leidet aber unter zwei bedenklichen Mängeln, welche ihre Anwendung sehr beschränken müssen. Erstens ist sie in praktischer Hivsicht sehr mühsam und zeitraubend. Delaünay führte nicht weniger als 497 Operationen aus, bevor er eine Störungsfunction erhielt, die — innerhalb der Genauigkeitsgrenzen, die er sich gesteckt hatte — keine perio- dischen Glieder enthielt. Eine solche Riesenarbeit mag am Platz sein, wenn es sich um die Bahn unseres Satelliten handelt. Für andere Himmelskörper müssen kürzere Methoden aufgefunden werden.

Zweitens hat man mit einem noch bedenklicheren theoretischen Mangel zu rechnen. Wir haben im Obigen stillschweigend vor- ausgesetzt, dass keine von den eingeführten intermediären Bahnen eine Libration in y^ oder y^ [bez. y^, y^ oder y^', y^' u. s. w.) auf- zuweisen habe. Wäre dies aber der Fall, so hätte man mit der Möglichkeit zu rechnen, dass bei der Variation der Elemente einer

§ 8. Ueb&r die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 447

solchen intermediären Bahn diese Variationen uns bisweilen inner- halb der Librationsgrenze der betreffenden Bahn, bisweilen ausser- halb derselben führen würden. Wie sollte man aber in einem solchen Falle die trigonometrische Form der Integrale ableiten können? Es ist wohl zu bemerken, daß bei den hohen Commensurabilitäten solche Fälle kaum zu vermeiden sind. Damit wird aber der ver- meinte Nachweis der trigonometrischen Form der Integrale des Problems der drei Körper mit Hilfe der ÜELAUNAY'schen Methode hinfällig. Ob dies Kesultat in der Natur der Sache liegt, oder durch die Mängel der Methode zu erklären ist, lasse ich für den Augenblick dahingestellt.

§ 8. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der drei Körper in trigonometrischer Form. Fortsetzung.

Will man die Coordinaten des Drei-Körper-Problems in trigono- metrischer Form ausdrücken, so muss man sich in der einen oder anderen Weise einer intermediären Bahn bedienen, deren Parameter man in solcher Weise variirt, dass man die wahre Bahncurve darstellen kann. Gewöhnlich wird zu diesem Zwecke die KEPLER'sche Ellipse eingeführt. Sie ist indessen zu diesem Zwecke sehr wenig geeignet. In der That liegt eines der grössten Verdienste GtldSin's darin, dass er in verschiedenster Weise ge- zeigt hat, dass eine Hauptbedingung für die Convergenz der successiven Annäherungen ist, dass man schon vom Anfang an von einer beweglichen Ellipse ausgeht, und nicht von einer Ellipse mit stillstehender Apsidenlinie, wie der gewöhnlichen KEPLEE'schen Ellipse. Diesen einfachen aber wichtigen Grundgedanken findet man in der einen oder anderen Form wieder in allen Methoden, die man in letzter Zeit aufgestellt hat, um diese trigonometrische Form der Integrale abzuleiten.

In formaler Hinsicht erweist sich die HAMiLTON-.lACOBi'sche partielle Differentialgleichung als sehr geschmeidig, wenn man diese Integrale aufsuchen will. Sie wird auch in ausgiebiger Weise von PoiNCAEi; benutzt in seineu Untersuchungen über dieses Thema im zweiten Theil seiner „Möthodes nouvelles". Ein grosser

448 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Vorzug der partiellen Differentialgleichungen liegt in der fast unerschöpflichen Möglichkeit, welche sie darbieten, überzählige Integrationsconstanten einzuführen. Indem ich mich dieser Eigen- schaft bediene, habe ich, von der PomcAEfi'schen Methode aus- gehend, in den „Meddelanden frän Lunds Observatorium" Nr. 24 gezeigt, wie man in der verschiedensten Weise zu einer trigono- metrischen Form der Elemente in dem asteroidischen Drei-Körper- Problem gelangen kann. Ich werde hier diese Untersuchungen näher ausführen. Wenn ich mich dabei auf das asteroidische Drei-Körper-Problem beschränke, so beruht das nicht nur darauf, dass hierdurch die Auseinandersetzungen kürzer werden, sondern vor allen Dingen auf dem Umstand, dass bis jetzt keine praktischen Methoden vorliegen, um die Coordinaten im allgemeinen Drei- Körper-Problem numerisch in trigonometrischer Form auszudrücken. In Bezug auf die theoretische Möglichkeit einer solchen Dar- stellungsweise verweise ich auf den vorigen Paragraphen. Wir benutzen die Variablen des § 3, also

^^ = ]/ö! ; i/j^ = l -i- 71 — JV t ,

1 ^2 = 1/a (1 -	■yi--^); y.=	- n + Nt,
und haben
n*^ dx, BF ^' ' dt - Byr	dVi BF dt ~ Bx,	(^■=1, 2),
wo	F=F, + f.F,
ist, und Fq den Werth

(2) ^0 = ^ + -^(^1 - ^-2)

hat. Die Störungsfunction F^ hat die Form (2*) F,^^F^:'zo^[iy,-s{y^+y^)].

Die Coefficienten Pf sind nach Potenzen von ]/^ entwickelt.

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 449

Wir wollen die Differentialgleichungen (1*) mit Hilfe der HAMiLTON-jACOBi'schen partiellen Differentialgleichung

integriren. Ist

ein Integral dieser Gleichung mit den beiden unabhängigen Inte- grationsconstanten x^^ und x^'^, so werden x^, x^, j/^, ?/, aus den Gleichungen

(3*) {

dS _ dG_ o _5Ä_ _

dx,^~ dx^'^P^' dy, ""^1

dS _ d_C_ ^ _dS_ _

erhalten.

Es wird sich zeigen, dass man in verschiedener Weise S als eine periodische Function von t/^ und t/^ ausdrücken kann. Zu diesem Zwecke bedienen wir uns des folgenden Kunstgriffes. Wir setzen

(4) H^F. + fiu,, so dass

(41 F=2l + ,,{F^-yj)

ist. Hier ist unter ^ eine vorläufig vollständig unbestimmte Function von x^ und x^ verstanden. Ferner setzen wr

(4**) C=C, + fiC,+fji'-C,+...

und nehmen an, dass wir die Differentialgleichung (3) durch folgende Reihe integriren wollen

(5) S=S^ + (xS, + ^'S, + ....

Charlier, Mechanik des üimmels. 11. 29

450 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Zieht man die Form (4*) für F in Betracht, so erhalten wLr die folgenden Differentialgleichungen zur Bestimmung von S^, S^, S^ u. s. w,

und allgemein für /? ^ 1 :

wo 0p eine von 5^, /S^, ..., Sp_^ abhängige Function bezeichnet, die also durch die vorhergehenden Integrationen als bekannt an- gesehen werden kann.

Betrachten wir zuerst die Gleichung (6) für S^. Man kann die Lösung derselben etwa in der Form

(8) -^0 = ^iVl + ^2'y2

schreiben, wo x^^ und x.,^ zwei willkürhche Constanten bezeichnen. Zwischen C^, x^^ und x^^ muss dann die Relation

(8*) C,=-B{x^', X3")

bestehen. Setzen wir weiter

/ ^0- dB _dC,

1 "" ö»i« dx,"' (9)

so können die Gleichungen für -5'^ und S in der Form

(10) V||+%»-|| = ^,-V' + t'>

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 451

(10*) 71, » 1^ + n„o -1^ = ^„ + C„

geschrieben werden.

Betrachten wir die Form (2*) für F^, so lässt sich offenbar das Integral von (10) in der Form

(") ■^i = 2\i-SLsn.f ^» ['>. - ^ (3'i + 2'^a

schreiben, wo der Strich oben am Summenzeichen andeutet, dass die Werthe i = s = 0 (gleichzeitig) auszuschliessen sind. Die Summe (11) befriedigt offenbar die Gleichung (10), vorausgesetzt, dass Cj so gewählt worden ist, dass die von y^ und i/^ unab- hängigen Glieder auf der rechten Seite von (10) verschwinden. Be- zeichnet [#j] den secularen Theil der Störungsfun ction, so muss also Cj der Bedingung

(12) [F^-]-rp{a^^o^ ,^^0)+C^ = 0 genügen.

Die Differentialgleichungen für S^, S^, u. s. w. sind offenbar ganz ähnlicher Art wie die Differentialgleichung für Sy Man be- kommt für 0^ die Form

a>^ = 2 ^i^^ cos [e>, - Ä (3/, + yj]

und bezeichnet man das von y^ und ?/.-, unabhängige Glied mit [0 ] und bestimmt C in solcher Weise, dass

(13) [^J + C^ = 0 ist, so erhält man für S^ die Form

29*

452 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Das Integral von (3) wird also von folgender Form

(14) S == x,'j/, -}- X,' ^J, + ^' £,^8m[i^^ - s{ij, + ,jj],

wo die Coefficienten ^.^ nach Potenzen von fx entwickelt sind. Die Gleichungen (3*) lauten

(15)

ö^ + A=yi+2' -Q^ sin[2>, -s(y^ +^2)],

^0 1 + ß, = ^2 +2' Iff sin [z>i -s{i/^i- y,)] , ^1 = ^1° + 2' (' - ^) A.cos [?>! -5(1/1+ 3/2)] , ^2 = ^2" - 2' ^ A-.cos [i>, - 5 (^1 + ^2)] '

womit die Integrale die gesuchte rein trigonometrische Form er- halten haben.

Diese Formeln gelten, was für einen Werth der Function ip{x^, x^) auch zuertheilt wird. Dies ist an sich nichts Merk- würdiges, da wir nach (4) und (4*) nur die Grösse ix-ip zu i^^ hinzu- gefügt haben, um sie von fx F^ wieder abzuziehen. Wir werden aber finden, dass die geeignete Bestimmung der Grösse w von grossem Einfiuss auf die Eigenschaften des Integrales S ist.

Wie ip auch bestimmt wird, so zeigt die Formel (15), dass die wahre mittlere Bewegung n^ von y^ gleich dC:dx^^ und die wahre mittlere Beicegung n^ von y^ gleich dC:dx^^ ist. Man sagt näm- lich, dass eine Winkelgrösse g die wahre mittlere Bewegung n be- sitzt, wenn

g =. rit -\- eine periodische Function von t ist.

Weiter bemerken wir, dass die Wahl der Function \p auf die Werthe der Grössen n^^ und n^'^ Eintluss hat. Die Divisoren, welche in den Summenformeln für S^, S^, S^ u. s. w. vorkommen, sind aber alle von der Form

{z — s)n^^ — sn^^ .

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 453

Folglich sind die Werthe der Divisoren von der Wahl der Function ip abhängig. Wir können \p so wählen, dass diese Divisoren solche Werthe haben, dass die Reihen für S^, S^ u. s. w. sämtlich con- vergent sind. Wir können andererseits eine solche Wahl treffen, dass n^^ und n^*^ mit den zur Zeit ^ = 0 oscuHrenden mittleren Bewegungen zusammenfallen, oder dass sie mit den wahren mittleren Bewegungen identisch werden, oder dass sie für eine Reihe von Werthen von .r^° und x^^ unveränderliche Werthe haben. Es empfiehlt sich, um diese verschiedenen Zwecke zu erreichen, die oben abgeleitete Methode ein wenig nach den Umständen zu variiren.

Wollen wir erreichen, dass die Reihen für S^, S^ u. s. w. sämmtlich convergent sind, so hat man nach dem Theorem von Beuns, das wir in X § 5 auseinandergesetzt haben, die Grösse -ip in solcher Weise zu wählen, dass der Quotient n^^:n^^ die Wurzel einer algebraischen Gleichung mindestens zweiten Grades mit ganz- zahligen Coefficienten ist. Sämmtliche Reihen S^, 8^ u. s. w. werden dann für diese Werthe von n.^^-.n^'^ convergiren. Hieraus folgt natürlich nicht, dass auch die Reihe

auch convergirt.

Will man bewirken, dass die ivahren mittleren Bewegungen der Grössen g^ und g,^ in die Divisoren eingehen, so kann man zweck- mässig den folgenden Weg einschlagen. Man setzt

R = F, + fin, + fi^'n, + ...,

wo ß^, ßg' • • • vorläufig unbestimmte Functionen von x^ und x^ bezeichnen. Man hat dann

F=R + (i{F^- Q^)+ ^\F, _ ß^) + . . . .

Indem man die Gleichung

j^fdS dS \ ^

Rl-^, IßA =_c

454 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. durch die Eeihe

zu befriedigen sucht, erhält man für S^ die Gleichung

BS, ^ BS, Byi ' 8y^ welche giebt

wo x^^ und x^^ zwei Integrationsconstanten bezeichnen.

Setzt man dann

_ _ BB _ BC ^1 ~ Bx," ~ B «,» '

_ BR _ BC "2 - dx,' ~ ö^'

SO fallen offenbar nach (15) n^ und n^ mit den wahren mittleren Bewegungen von ?/^ und 1/^ zusammen. Die Grössen Q^, Q.^, ... werden so bestimmt, dass die nicht periodischen Glieder in der Gleichung für S^, S^, ... verschwinden. Da man

erhält, so findet man somit den folgenden genäherten Ausdruck für die wahren mittleren Bewegungen im asteroidischen Drei-Körper- Problem :

BF, -1= Bx}	B[F,] 1 ,. B\F,] ^ÖV-V^ ^ ^BxJ
	S[F.]^ j^j B[F,] ^ B X' ^ ^ B x,^

Werden diese Ausdrücke mit den Formeln (1) verglichen, so findet man hieraus folgende Werthe für die mittlere Bewegung des Perihels und der mittleren Anomalie l:

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 455

(IG)

dn'\ dt	^ 0X2»
dl ' dt	1

d\F^\ d\F,

/^^:r^-^

welche Formeln bis zu den Gliedern der ersten Ordnung incl. richtig sind. Der Ausdruck für [i^'J findet sich in § 3.

Eine andere Art, die Divisoren zu wählen, ist von nicht ge- ringerem Interesse. Man kann die Grössen n^^ und n^° so wählen, dass sie mit den zur Zeit ^ = 0 osculirenden Werthen der mittleren Bewegungen von y^ und y^ zusammenfallen. Man kann dies in folgender Weise erreichen.

Wir setzen

C'=6', + ^6', + ^2^', + ...,

und erhalten zunächst

2/i ' dy^,

Wir wollen die Functionen S^, S^, ... so bestimmen, dass die Integrationsconstanten :r^*' und ^2'' mit den zur Zeit ^ = 0 oscu- lirenden Werthen von x^ und x^ zusammenfallen.

Für S^ gilt die Gleichung

(17) "1" 4f + < 4f = ^1 K"' -2^ ^h . yJ + ^i ,

und allgemein

wo 0^ von 6"^, /S'g, . . ., /S'^_j abhängt. Hier ist

(in v=-jÄ> v=-|§-

456 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Das Integral von (17) können wir in der Form

(18) S,^a,+ ß, J/i + /i y^ + X ^l'^iii [^>i - ' (//i + 3/2)] schreiben, wo

(18*) BT

(t — .s)??.i" — s n.^

ist. Wir haben vorher die überzähligen Integrationsconstanten cjj, ß^, y^ gleich Null gesetzt, wollen aber jetzt in anderer Weise über sie verfügen. Die nämlichen Constanten können offenbar willkürlich gewählt werden, wenn nur die Relation

(18-) V/^i + </?. = ra + ^i

besteht. Diese Gleichung kann durch eine geeignete Wahl von C^ befriedigt werden.

Nachdem S^ bestimmt ist, erhält man S.^ in ähnlicher Weise. Wir setzen:

V

und erhalten dann

^p = 2^^*'cos[^>, -.(y, +^,)]

(19) -^^ = «^ + /^^ 2/1 + 7, y. + 2' ^'?^ sin \iy, - 5 (y^ + y^'\ ,

wo

(19*) ^Sr =

ist. Die Constante C wird aus der Gleichung

(in n,'ß^-\-n,'r^^A[^> + C^

bestimmt.

Wir können nun S in der Form

(20) Ä = ^/yi+V3/2 + « + /^2/i+r3/2 +2' A*sin[^■y, -5(^1+^3)] schreiben, wo

§ 8. Ueher die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 457 « = ((i «^ + ju^ «2 + . . . ,

r = f^ n + ^' 72 + • • • .

ist. Aus (20) erhalten wir die Integrale

dS

es

und

(21)

1- Sy^ =^i' + ß + ^'{^-^)^iS^0^U?h-'{l/i+I/2)']>

•^^ = "ö^ = ^2" + r - 2' ^ A-.cos[z>i - s{7/^ +^2)]

{2V

dC ^ , da , dß , dy

ö^ ^ + ^1 = 3/1 + ^^0 + ö^o^A + ö^y2

+ 2' ^ sin [i?/^ ^ s (j/i + y^)] ,

ÖC

ö(9

e^ ^ + ''1 -1/2 + ö^^o H- 3^o.Vi + -e^oi/2

^ TD

+ 2' ö^o sin [«>! - .^ (yi + ^2)]

Die Grössen a, ß, y, die willkürlich sind, sollen so gewählt werden, dass für ^ = 0 ^j = x^'^ und x^ = x^^ ist und dass ausser- dem die Constanten c^ und c^ mit den Werthen von 7/^ und yg für t = 0 zusammenfallen. Wir bezeichnen diese Werthe mit y^^ und y.^^ und erhalten somit die Bedingungen

(22)

0 = ß+ ^'[i- ^) A-. cos [^•y,o - . (y,« + y^«)] ,

0 = « + /?y,« + ry^« + 2' ^i. sin [^'y/ - ' il/i' + .^2")] .

aus denen 0;, /? und / bestimmt werden sollen.

458 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Da aTj** und x^^ die osculirenden Werthe von x^ und x^ sind, so ist

der osculirende Werth der mittleren Bewegung von l. Folglich ist nach (1) die zur Zeit ^ = 0 osculirende mittlere Bewegung von 7/^ gleich

und die osculirende mittlere Bewegung von t/^ gleich

so dass also n^^ und n^^ in diesem Falle die zur Zeit ^ = 0 oscu- lirenden mittleren Bewegungen von y^ und ^^ bezeichnen. Aus (22) erhält man

<ß-\- < r = - 2' [(^' - -') < - ' "2'] ^i. cos [i z// - s (3// + 3//)] .

Werden die Coefficienten der gleichen Potenzen von fx rechter und linker Hand gleich gesetzt, so erhält man hieraus nach den Gleichungen (19*) und (19**)

(^P = - AI - 2 ^'^ cos [ry,« - s (3/,« + 3/,«)] = - 0^ (y,°, y,«) .

Die Constanten C müssen also so bestimmt werden, dass die rechte Seite der Gleichung (17*) für ;= 0 verschwindet. Da ausserdem

so hat man

§ 8. üeber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 459

so dass
1		-^,'\:%.\y.\
(23) \
\	0X2« 2	-2/::r(y.".y.r

Die Werthe der wahren mittleren Bewegungen n^ und n^ lassen sich leicht aus (21*) und (23) ableiten. Wir brauchen zu diesem Zwecke nur die periodischen Glieder in (21*) fort- zulassen und die Gleichungen nach y^ und y^ aufzulösen. Die Coefficienten der Zeit in diesen Ausdrücken geben uns dann die Werthe von n^ und n^, und zwar bekommt man die linearen Glei- chunsren

(24)

Werden durch (23) die partiellen Ableitungen von C eliminirt, so kann man hieraus die wahren mittleren Bewegungen als Func- tionen der osculirenden Elemente ausdrücken.

Beschränken wir uns auf die erste Potenz der Masse, so hat man nach (23)

dC . „ dP!^

"öxT

[ dC

-[^-

+

dr

«2'

dc

l öx,« "

=

Bß

+ (1.

Br\

^2-

- ^i' - ^^ 2 TTT^ COS [^>,« - . (j// + y^o)] ,

BC d P^^'^

ÖX:

Wir bemerken, dass in diesen Summen auch das Glied .5 = 0, i = 0 vorkommt.

Weiter ist dann nach (24) mit derselben Annäherung

BC ^ Bti

^2 ~ Bx^" '^1 öx^« "2 0^,0

460 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

und

n, V + ^2 V = - it*2' ^^ cos [^•^/,« - . [y^^ + y/)] .

Wird diese Gleichung nach a:/ und x^^ differentiirt und man beachtet, dass

öV ^ 3_ ÖWi« _ „

ist, so bekommt man

(25)

Hieraus erhält man endlich

'h = V-*'^ + |Ä2'„4i;^.cos[,>/-.{,,« + y/)], 2 ^ '^ dx^"

welches die gesuchten Relationen zwischen den wahren mittleren Bewegungen [n^ und n^ und den osculirenden (w^" und Wg") sind.

Der Unterschied zwischen den wahren mittleren Bewegungen und den osculirenden kann offenbar unter Umständen, auch für kleine fx, bedeutend werden, besonders wenn kleine Divisoren niedrigen Grades vorkommen.

Die Anwendung der osculirenden mittleren Bewegungen in den Divisoren hat nicht nur den Vortheil, dass man in dieser Weise die Berechnung der Coefficienten in der Entwicklung der Störungsfun ction direct ausführen kann, was unter Anwendung

§ 8. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 461

anderer mittleren Bewegungen nicht immer ohne Umwege ge- schieht, sondern sie hat auch den wichtigen Vorzug, dass man die Störungen der verschiedenen Ordnungen mittelst convergenter Aus- drücke erhält.

Nimmt man auf die Relationen (22) Rücksicht, so bekommt man in der That beispielsweise für x^ den Ausdruck

^1 = ^'i" + /^2'^■^i■i^[cos(^>l +jy.^ - cos(iyi« +jy.^)'\,

wo nur die Störungen erster Ordnung mitgenommen und die Indices etwas verändert sind.

In der Summe rechter Seite betrachten wir Glieder drei ver- schiedener Arten und setzen

^iB,.lto^[iy, +jy^:) - cos(^>/ +jy,')-\ = ^, + 2,+^,.

In 2^ nehmen wir alle solche Glieder auf, die bei einer (ge- dachten) numerischen Berechnung thatsächlich mitgenommen werden. Die Summe 2^ umfasst alle solchen Glieder, in denen die kleinen Divisoren nicht unter eine bestimmte endliche untere Grenze sinken. Da die Summe 2 P}^ convergent gedacht wird, so kann also ^"2 für beliebige y^ und y^ einen bestimmten endlichen Werth nicht überschreiten. Die Summe ^3 enthält die sog. kritischen Glieder, die mit kleinen Divisoren verschiedener Ordnungen be- haftet sind. Wir wollen zeigen, dass ^3 für endliche Werthe der Zeit einen endlichen Werth nicht überschreiten kann.

Es ist in der That

Xsinf.-^S^-f-j-^

Nun ist aber für kleine Werthe der Zeit genähert

y2 = ^j2' + <i'

462 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

wo n^^ und n^^ die osculirenden mittleren Bewegungen bezeichnen, und folglich bekommt man für ^3 den genäherten Werth

Vi + 2/1" , • ?/2 + ?

2,=-at^iP^m\i^^^^^^j

welche Summe endlich ist. Die kleinen Divisoren bewirken also nicht die Divergenz der Reihe für x^ — wenigstens nicht für kleine Werthe der Zeit — , dagegen sehen wir, dass die Wirkung dieser Glieder dieselbe ist, als ob in x^ und x^ seculare Glieder un- bekannter Grösse vorhanden wären. Ist die numerische Rechnung nicht genügend umfassend, so dass kritische Glieder niedrigen Grades in ^3 vorkommen, so wird der Unterschied zwischen Rechnung und Beobachtung sich bald als proportional der Zeit zeigen. Ist die numerische Rechnung dagegen hinreichend weit getrieben, werden die kleinen Divisoren sich erst nach Hunderten oder Tausenden von Jahren bemerkbar machen.

Führen wir in y^ und y^ die Werthe von a, ß und y ein und machen wir dieselbe Eintheilung der Glieder wie oben, so finden wir, dass die kleinen Divisoren hier bewirken, dass der Unterschied zwischen Rechnung und Beobachtung, in Bezug auf y^ und ^2, proportional der zweiten Potenz der Zeit wächst, oder wenigstens wachsen kann. Ist die Summe

B.. bez. :E^

'J dx

convergent, so muss ^3 immer unterhalb einer endlichen Grenze bleiben.

Die obigen Betrachtungen beziehen sich nur auf die Störungen erster Ordnung. In Bezug auf die Störungen höherer Ordnung gelten indessen ähnliche Schlussfolgerungen, nur das hier höhere Potenzen von t (oder richtiger von iit) zum Vorschein kommen.

Man vergleiche in Bezug auf diese Auseinandersetzungen die Betrachtungen in X § 6 über die Reihen in der gewöhnlichen Störungstheorie.

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 463

Die HAMiLTON-JACOBi'sche partielle Differentialgleichung er- laubt, wie wir gesehen haben, eine grosse Freiheit in der Wahl der Integrationsconstanten. Ich will zuletzt noch eine solche Wahl erwähnen, die bei einer systematischen Berechnung der Störungen der kleinen Planeten von grosser Bedeutung ist.

In der Methode von Bohles^, die wir im nächsten Para- graphen näher besprechen wollen, werden bekanntlich die Störungen einer Gruppe Planeten an bestimmte Werthe der Integrations- constanten geknüpft, für welche die mittleren Bewegungen der Planeten eben commensurabel sind. Es ist indessen keineswegs nothwendig, solche Gruppenstörungen an eine Commensurabilitäts- stelle anzuschliessen, sondern man kann ebenso wohl von ganz be- liebigen Werthen der Elemente ausgehen und an dieselben die Störungen einer Gruppe Planeten anschliessen. Es ist sogar im Allgemeinen vortheilhafter, eine Nicht-Commensurabilitätsstelle zu wählen, da man dann die Function S nach Potenzen von fi, und nicht von ]///, entwickeln kann. Auch in anderer Hinsicht ist es nur in Ausnahmefällen vorzuziehen, Gruppenstörungen an eine Commensurabilitätsstelle anzuschliessen.

Wir setzen nochmals

S = S, + !jiS, + ^''S,-\-...,

und erhalten zuerst

-El ( dSp dSo\ _ _ ^ "[öy^' dyj - "^0' woraus folgt

Weiter hat man

eine Gleichung, deren Integral wir in der Form

-S'j == ß^T/^ -)- y^ y^ -\- ■periodische Function von y^ und y^ schreiben.

464 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Wir können nun den beiden Constanten x^^ und x^^ beliebige numerische Werthe zuertheilen und ß und y als Integrations- constanten betrachten. Praktisch genommen setzt dies offenbar voraus, dass man den Grössen ß und y nicht allzu grosse Werthe giebt.

Für Cj wird ein solcher Werth gewählt, dass

ist.

Die Bestimmung von 6*2 und IS3 u. s, w. geschieht dann in ge- wöhnlicher Weise, etwa nach der Formel (10*), und man kann jedesmal die S^ [p ^ 2) in rein trigonometrischer Form schreiben.

Da es hier bisweilen nothwendig wird, die Glieder zweiter Ordnung zu berücksichtigen, so wollen wir die Differentialgleichung

dF\ BS, BF, dS, ^ ö iCj B y^ B X2 6 y.2 ^

Im asteroidischen Drei-Körper-Problem ist nach (2)

K^J14^ = ^^0

und

B x^Bx^ Bx.^

B'F, ^ 3 B Xi^ Xi^

(h 3 fBS,Y I dF, BS, BF, BS,

2 2x1»* \ByJ '^ Bx, By, Bx.^ B y..

ist.

Schreiben wir so ist

§ 8. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 465

wo A^., n^^ und n^" für die Werthe x^ = x^^, x^ = x^ zu be- rechnen sind.

Man hat also

Wir bemerken, dass 02 ^^^^^ Function zweiten Grades in ß und ;' ist. Da wir indessen die Constante C^ so bestimmen wollen, dass die constanten Glieder in (p^ + C^ verschwinden, so erscheint 02 + ^2 ^^^ ®i^® lineare Function von ß und / von der Form

02 + <^2 = ^'^' + ß ^'^' + /' ^'^'

und hier ist

In denjenigen Fällen, wo man, bei einer direkten Berechnung der Störungen, die Störungen zweiter Ordnung nicht zu berück- sichtigen braucht, ist es erlaubt T*^' — welche Function etwas mühsamer zu berechnen ist — zu vernachlässigen und

02 -\-C^ = ß T^^ + y T'*^) zu setzen.

Bei der Anwendung dieser Methode zur systematischen Be- rechnung der Störungen der kleinen Planeten giebt man der Grösse x^^ eine Reihe äquidistanter Werthe und berechnet die

Charller , Mechanik des Himmels. II. ''*'

466 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

entsprechenden Werthe von A^. und ihren Ableitungen. Die nämlichen Grössen erscheinen als Potenzreihen in x^*^, welche Grösse man unbestimmt lassen kann. Ich habe numerische Rech- nungen für die kleinen Planeten nach dieser Methode angefangen, bin aber noch nicht so weit fortgeschritten, dass ich einige Bei- spiele zur Erläuterung der Methode mittheilen kann.

§ 9. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems der drei Körper in trigonometrischer Form. Zweite Fortsetzung.

Ist die algebraische Relation

(1) Fix, y) = F,[x) + ,xF,{x, y) - C= 0

zwischen x und y gegeben, so giebt es im Allgemeinen eine Wurzel dieser Gleichung, die nach Potenzen von i.i, in der Um- gebung von |ti = 0, entwickelt werden kann, Ist nämlich x^ einer der Werthe von x, welche der Gleichung

F,{x,)-C=0 genügen, und setzt man

X =■ Xq -\- 8 X , so bekommt (1) die Form

dx kann also, für kleine Werthe von fi, nach positiven Potenzen von // entwickelt werden, vorausgesetzt, dass nicht

(2) 4^ = 0

ist. Hat aber C einen solchen Werth, dass die Gleichung (2) be- friedigt ist, so kann dx nicht mehr nach Potenzen von fx ent-

§ 9. Ueber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 467

wickelt werden, wohl aber existirt dann eine Entwickelung von dx nach den Potenzen von ypi .

Läge statt der algebraischen Gleichung (1) eine Differential- gleichung von der Form

vor, so existirt im Allgemeinen eine Lösung

wo 8q, S^, S^, ... Functionen von g sind, also eine Lösung, die nach den Potenzen von fx entwickelt erscheint. Ist aber die Glei- chung (2) erfüllt, so ist die entsprechende Lösung von (3) von der Form

(4) S=S, + yjiS, + fxS, + /.]/|tr63 + . . ..

Aehnliches gilt, wenn, statt der ordinären Differential- gleichung (3), eine partielle Differentialgleichung für S mit zwei oder mehreren unabhängigen Veränderlichen g^, g^, g^, ... vor- gelegt wäre, und Fq nur von

dS dS dS dVi' ö 2/2 ' dys' '"

nicht aber explicite von g^, g^, g^ abhängig ist. Nur bekommt hier die Bedingung (2) eine andere Formulirung.

Kehren wir zum asteroidischen Drei- Körper-Problem zurück, so ist F^ eine periodische Function von g^ und g^ , mit der Periode 2 71 in beiden. Im vorigen Paragraphen haben wir gesehen, dass man durch eine geeignete Wahl der willkürlichen Function ip{x^^, x^^) bewirken kann, dass die Grössen n^^ und n.^^, welche in den Divisoren

in^^+jn^'

468 Ueber die Form de?- Integrale im Problem der drei Körper.

eingehen, beliebige Werthe annehmen, was für einen Werth auch die Integrationsconstanten x^^ und x^*^ haben mögen. Wir haben auch gefunden, dass das Integral S der Hamilton -jACOBi'schen Differentialgleichung

= - C

f-\ TP { ^^ ^^\ ^ w i ö'5 dS

im Allgemeinen befriedigt wird durch eine Reihe

(6) S=S, + (xS^ +^2^^ + ...,

die nach den Potenzen von ^ fortschreitet.

Im vorigen Paragraphen haben wir aber auch gesehen, dass dies nicht mehr gilt, wenn zwischen den Ableitungen

14 und M

eine lineare Relation mit ganzzahligen Coefficienten besteht.

Bas Integral lässt sich alsdann nach Totenzen von ^f^ ent- wickeln. Dies wurde zuerst von Bohlen gezeigt in seiner Ab- handlung: „Ueber eine neue Annäherungsmethode in der Störungs- theorie" (1888). Seine Methode ist von PoiNCAEf; im zweiten Band seiner „M6thodes nouvelles" zum Gegenstand eines eingeheoden Studiums gemacht worden.

Führen wir die Function ip des vorigen Paragraphen ein,

(7) F^B,^i,[F^~^) mtd

ist, so nehmen wir an, dass die willkürliche Function i// einen solchen Werth erhalten hat, dass

(8) ^>i^+ioV = 0

§ 9. Ueher die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 469 ist, wo gesetzt ist:

In der Gleichung (8) bedeuten ^^^ und j^ zwei ganze Zahlen, Was für einen Werth auch die icahren mittleren Bewegungen von ?/j und ^2 haben, immer kann man ipix^, x^ so wählen, dass eine Gleichung von der Form (8) befriedigt wird.

Wir machen jetzt eine lineare Transformation:

(9)

'/l = 'O J/l +io ^2 ' -^1 = ^0 ll + ^V h

'/2 = hlh +J0I/2 y ^2 =ioli + Jo'l2

Jq' werden so gewählt, dass

hJo -ioV = + 1

ist. Hierdurch erreicht man, dass die Störungsfunction auch eine

periodische Function von vy^ und ij^ wird mit der Periode 2 71.

Setzen wir

(10*) F=B, + fji2i^,

§0 ist also

(10) i?i=24iC0s(e;;, +i7y2>,

wo A^j von Ij und Ig abhängig sind. Man hat nun

dB, _ . BR, dR„

und also ist nach (8)

(11) |f. = o,

wenn |j*', 12" die Werthe von |^ und I2 sind, welche den Werthen ^1 = -^i"' ^'2 = ^2*^ entsprechen.

470 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Wir betrachten nun die Differentialgleichung

ds ds\ . -n ids es

^^) ^- lö;?, ' dnJ ' ^^'1 \dri' d

und suchen dieselbe mit der Reihe

(12*) -^ = -^0 + V/^'^i +1^^ +^YfiS, +

zu befriedigen, indem wir gleichzeitig

(12**) C=C^ + !,C, + f,'^C, + ...

setzen.

Zur Abkürzung führen wir die Bezeichnung

(IS) ''/ = -|f.

ein.

Die Differentialgleichung für -S'^ lautet

^ ,e^^ ö^\ _

wir nehmen an, dass die Lösung derselben in der Form

(14) '^0 = ll''/l+l2°'/2

geschrieben wird. Folglich hat man

(14*) ^o(li°, l3°)=-^0-

Die Einführung der Hilfsfunction i// hat den Vortheil, dass man |j^° und ^^^ icillkürlich loählen und somit als Integrations- constanten hetr achten kann. Nachdem |^° und ^^^ gewählt worden sind, erhält man den entsprechenden Werth von iij aus der Glei- chung (11).

Wird die Eeihe (12*) in (12) eingeführt, erhält man nun die folgenden Gleichungen zur Bestimmung von -S'^, S^^, S^ u. s, w.

§ 9. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. lo. 471

^"■'^ ^^2 Qrj, B^^ dri, 8,}, +2 ö |^2 ^ g ^ J +

, a^igp (Bs.y BS, , 53 jg^ /l^Vi^ 1 r

'^^ di,'(BvJ dr,, -^--B^.Bf.AdriJ 8v2 '^'

Die Gleichung (I) lässt sich durch eine beliebige Function von r]^ befriedigen. Es sei

(15) S, = S,{,^,)

diese Lösung. Die Function S^ wird so bestimmt, dass die Glieder in der rechten Seite von (II), icelche im Argumente der trigono- metrischen Functionen nur i]^ und nicht t/^ enthalten, verschwinden. Ist </> eine beliebige Function von der Form

oder von der Form

so werden wir mit (0) die Summe derjenigen Glieder in (^ be- zeichnen, welche nur 7/^ enthalten, so dass also im vorigen Falle

(0) = an^ +2/ioSin2?/i und im späteren Falle

ist.

472 Ueber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Wii- bestimmen also S^ so, dass

(16) ii^(4^r+TO+c.=o

ist.

Die Function S.^ wird dann aus der Gleichung

^^'^ = ^1 - (^i) = 2' 4, cos (r,-, +jv,,)

bestimmt; der Strich oben am Summenzeichen bedeutet hier, dass alle solche Grlieder in der Summe auszuschliessen sind, wo j = 0 ist.

Das Integral dieser Gleichung lautet

(17) ^^2 = -^ 2' 7 A^ sin [i .,, + j ;,Vj + (^,) .

wo die Function [S^ nur von ?yj abhängig, und vorläufig un- bestimmt ist. Sie wird in solcher Weise gewählt, dass die von r,.^ unabhängigen Glieder in (III) verschwinden. Zu diesem Zweck muss die Gleichung

^ ^ Ö^Bo 1^ ö(^ ^ Ö^i?o /^ ö^i''' ö»?i Ö;?i "^6 51^3 (^ö//,

oder

erfüllt sein. Nach (16) hat diese Gleichung die Form welche giebt

§ 9. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 473

[S.^ = c^,V, + ^^ 2 T ^.-0 siii ^ Vi

wo a.-, eine Constante bezeichnet, deren Werth von C^ abhängig ist. Bei der Integration von (III) wird eine willkürliche Function von 1]^ in .S3 eingeführt, die so bestimmt wird, dass alle von 1,^ allein abhängigen Glieder in der rechten Seite von (IV) ver- schwinden. Indem man in dieser Weise fortfährt, erhält man wie im vorigen Paragraphen S in der Form

(19) S = an, +ßv, + ^B..sm{i7,, +jrj,),

oder, wenn die Grössen i/, und y, wieder eingeführt werden, S = c^>i + ß' j/2 + 2 A-'j sin (^>i + J>2) •

Wir erhalten also eine Lösung in rein trigonometrischer Form, aber die kleinen Divisoren kommen hier nicht mehr zum Vorschein.

Ziehen wir die erhaltene Lösung etwas näher in Betracht!

Die Operationen, die man auszuführen hat, sind im All- gemeinen von derselben Natur wie im vorigen Paragraphen. Eine Ausnahme macht die Gleichung (16) für *S\. Diese hat die Form

i^o"(-|-|)^=-^.-24oCOseX-

Ist 6*2 + ^00 hinreichend gross, so erhält man hieraus ^1 = «i'^i +2Asin«?/i-

Wenn aber 2 I ^;o > I ^2 + ^00 1 i^*» ^^ ^^^ ^^ Schwankungen von 7/j zu einem Theil des Umkreises begrenzt, und man hat Libration in ;/^.

Wir wollen den vorigen Fall näher betrachten.

474 Ueher die Form der Integrale im Problem der drei Körper.

Indem wir |j° und Ig" ^Is Integrationsconstanten betrachten, lauten nunmehr die Gleichungen zur Bestimmung von 1^, |,, i]^^ i]^ folgendermassen :

y^ = li = « -}-^iB,jCos{iv^ +7^2)'

^ = I2 = /^ + 2iA■iC0s(^7/, +jv,),

öC , , du ^ dS , ^ ÖS . ,. , . ,

-^0 ^ + Ci = -^0 '^1 + öTfo ^/2 +^01^0 sm (« ^1 +7^/2) '

dC ^ , da as , ^ öS . ,. , . ,

ÖV + "^2 = ^17«'^! + öiro''2 + 2 ö|7oSm(e77, +7^2)-

Die wahren mittleren Bewegungen v^ und i^, von ij^ und 7^2 erhält man aus den Gleichungen

dC

=

öa ö|,o

^1

+

63

dC

ö|,°

=

öa

^1

+

Sie werden als Reihen dargestellt, welche nach den positiven Potenzen von ]/^ fortschreiten. Von derselben Form sind auch die Coefficienten £. ..

Da die kleinen Divisoren, welche ein Haupthindemiss für die Convergenz in den gewöhnlichen Methoden bilden, hier gar nicht auftreten, könnte man meinen, dass es hier mit der Convergenz besser bestellt wäre, als es mit den Reihen des vorigen Para- graphen der Fall war. In der That findet man auch, dass die Reihen für S^^, S^, S^ u. s. w. hier convergiren, wenn die Entwicke- lung der Störungsfunction convergent ist. Wir haben aber ge- sehen, dass ähnliches auch bei den Reihen des vorigen Paragraphen erreicht werden kann. Daraus wissen wir aber noch nichts über die Convergenz der Reihe

(20) S, + ]/],S, + ^>S, + fi ]/fiS, + . . . ,

§ 9. lieber die Darstellung der Integrale des Problems u. s. w. 475

und in der That hat Poincaeä bewiesen, dass diese Reihe zu den divergenten Reihen gehört.

Es ist leicht einzusehen, wie diese Divergenz zu Stande ge- bracht wird.

Wir wollen zu diesem Zweck ein beliebiges Glied

Jcos(2?yj +JV2)

aus der Störungsfunction herausgreifen. Dasselbe giebt zu einem GHed

5sin(M;^ +J7;,)

in S Veranlassung. Wir wollen nun die Form von B untersuchen. In S„ erhalten wir ein Glied

-4-:sin(i>i+J7?2)

*^2 J

und daraus

dS.' Ä

d,, - V ^. cos(^•7;,+7 7;3).

Bezeichnet man das constante Glied in dS^:di]-^ mit ß, so entsteht hieraus nach (III) in ^3 ein Glied von der Form

und also

»'2 "2 j

Ö Co rt -ftft A. l' I • , • \

In dS^:di]^ bekommt man in derselben Weise ein Glied

4f = ^/3'^|cosN,+i„,)

476 lieber die Form der Integrale im Problem der drei Körper. Folglich giebt es in S ein Glied

£ cos {ij]^ -\-jV2), wo der Coefficient £ nach Potenzen von

entwickelt ist; was für einen Werth auch die Grössen /x, ß, B^" und ?'2*^ haben, immer können wir solche Werthe von i und j auf- suchen, wo X einen beliebig hohen Werth hat, so dass B durch eine divergente Eeihe dargestellt wird.

Sachregister.

Asteroidisches Drei- Körper- Problem 64, 104, 245, 290, 352, 367, 448 u. f.

B

BoHLiN'sche Reihen 466 u. f. Brüns' Theorem über die Convergenz 307 u. f.

Caüchy's Existenztheorem 172 u. f.

Convergenz der Reihen im Zwei-Körper- Problem 255 u. f.

Convergenz der Reihen in der ellip- tischen Bewegung 257 u. f., 274 u. f.

Convergenz der Reihen in der para- bolischen Bewegung 277 u. f.

Convergenz der Reihen in der hyper- bolischen Bewegung 278 u. f., 288u.f., IV.

Convergenz der Reihen in der gerad- linigen Bewegung 287.

Convergenz der Reihen, wenn die Kraft repulsiv 285 u. f.

Convergenz der Reihen in der Störungs- theorie 804, 321, 453, 461 u. f.

Convergenz der Entwickelungen nach Potenzen der Massen 296.

Commensurabilitäten niedrigen Grades 388 u. f.

Commensurabilitäten höheren Grades 418 u. f.

Commensurabilitäten vom Typus Vs 390 u. f.

DELAUNAv'sches Problem 375 u. f. DELAUNAY'scheTran8formationen437u.f.

E

Entwickelung der Störungsfun ction

202 u. f., 367 u. f. EüLER'sche Summationsformel 3 u. f.

Harmonia, Asteroid 296.

HiLL'sche Grenzcurve 111 u.f., 289 u. f.

Jacobi's Transformationstheorem 383u.f.

Librationscentra 98 u. f., 111 u. f.

Mechanische Quadratur 1 u. f.

Periodische Lösungen 87 u. f. Periodische Lösungen in der Nähe der Librationscentra 102 u.f., 117 u.f.

478

Sachregister.

Periodische Lösungen in der Umgebung

der Massen 137 u. f. Periodische Lösungen erster Gattung

206 u. f. Periodische Lösungen zweiter Gattung

215 u. f. Periodische Lösungen dritter Gattung

231, III u. f. Poincare's Methode zur Aufsuchung

periodischer Lösungen 187 u. f.

S

Schleifen im Drei-Körper- Problem 169. Seculare Beschleunigung der Länge

des Mondes 328. Seculare Störung des Perihels des

Merkur 328. Stabile Asteroidenbahnen 290 u. f. Stabilitätsfragen VI.

Strenge Lösungen des Problems der drei Körper 89 u. f.

Systematische Berechnung der Stö- rungen der kleinen Planeten 463 u, f.

Thule, Asteroid 294. Trigonometrische Form der Integrale des Problems der drei Körper 434 u. f.

W

Wahrscheinlichkeit der Divergenz der Reihen in der Störungstheorie 318 u. f.

Zwei-Centren-Problem 353 u. f.

Berichtigungen zum ersten Bande.

Seite 92. Zeile 4 von oben statt u lies: w.

71 T

„ 93. Zeile 2 von unten statt j lies: f

0 0

„ 103. Zeile 5, 6, 7 von oben statt Fiidu\-h ... + F„^dw„ lies:

Fn ßi d u\ + ... + F„Jnd tVn. „ 109. Zeile 9 von oben statt Ä^ + Cj lies: Ä^ + e-j. „ 150. Zeile 15 von oben statt relative lies: nicht relative.

2 /TT r) T

„ 232. Zeile 1 von oben statt -^ — lies: -rr—r' d qi d qt

„ 247. Zeile 6 von oben statt TTlies: W^.

„ 247. Zeile 8 von oben statt TF lies: TTg.

„ 261. Zeile 5 von unten statt w« lies: fif

„ 261. Zeile 5 von unten statt ntt lies: (ia-

„ 307. Zeile 11 von unten statt r,„^ lies: Tga^.

„ 310. Zeile 10 von oben statt niafni, lies: k^mamt.

„ 340. Zeile 2 von unten statt k'^ lies: ^k^.

„ 389. Zeile 5 von unten statt ilfg^" lies: Jlf^™.

„ 390. Zeile 21 von oben statt Saturn lies: Uranus.

„ 411. Zeile 5 von unten statt — ~- lies: ^ ., •

„ 421. Zeile 8 von unten statt ti^^ lies: ti^.

„ 428. Zeile 5 von oben statt - l/ — lies: "j/

3

„ 430. Zeile 12 von oben statt 2]/^ lies: 2 "J/T.

Ausser diesen Druckfehlern sind folgende zwei Verbesserungen sachlicher Natur zu berücksichtigen:

S. 142. Im Fall VQ des Zwei-Centren-Problems muss, wie von Herrn Prof. Lehmann-Filhes in V. J. 1903 bemerkt worden ist, geradlinige und nicht asymptotische Bewegung auftreten.

S. 314 und 315. Gestrichene und nicht gestrichene Buchstaben müssen überall vertauscht werden. Man vertausche also | gegen |', tj gegen rj', j) gegen j}', q gegen q', A gegen A', a gegen V und umgekehrt.

Ich verdanke diese Bemerkung Herrn Dr. Wilkens.

11^

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!;B Charlier, Carl Vilhelri Ludvig

351 Die j Mechanik des HiiBnels

C5 Bd. 2

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